與正方形有關的幾何習題的規律解析

用解析幾何的方法證明與正方形有關的幾何習題，可由正方形的特性給出求解規律.這方法是：首先在與正方形有關的習題圖上建立起合適的平面直角坐標系.何謂合適的平面直角坐標系？其內涵就是圖形與軸越相融合越好，坐標點的設定越簡單越好，譬如使得頂點落在軸上，使得邊與軸重合，如此為之，則建成的坐標系謂之合適.然后有選擇性地過正方形的頂點作平行x軸或y軸的輔助線，此時正方形的邊與輔助線們便會形成若干組直角三角形，通過對三角形全等的證明，這使得欲求點（即由需要論證的結果逆向推理而選定的未知點）的坐標成為了已知，而圍繞點的各種運算都是我們所熟悉的.于是這類習題的求解過程，經此一番轉換變得非常規范和有趣.為了證明該說法的可行性，特舉例如下.

例1 如圖（一），已知

O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，

求證：O1O3⊥O2O4.

證明 在圖（一）上（按上

述建標之要求）建立平面直角

坐標系，然后過E，H 作x軸

的平行線分別交y軸于E1，H1，過 Q，D，R，作y軸的平行線分別交

x軸于Q1，D1，R1，設點：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我們由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出Rt△ABO≌Rt△BEE1（注：本文推出全等的過程都略而不寫的理由附記于后），再由全等（注：點坐標與線段的聯系其正負符號的選用存在訣竅，隨后亦有自行體驗的說明）推出：

AO=BE1=-a，BO=EE1=-b

綜合（13）、（14）給出的信息（此即確定欲求點的條件），我們立刻可求得下列各欲求點的坐標：D（a-6b，-a），F（a+6b，a-4b），設DF的中點為R1（x，y），由中點公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F三點共線，且同時由此而知R必平分DF.證明完畢.

特別說明：該證明過程所建立的直角坐標系分別與正方形的邊垂直和平行，這也是最合適的建標方式中的一種，在這一操作之下，同一正方形共有三個頂點落在了坐標軸上，這樣的頂點坐標使整個圖形最為簡潔，以這些頂點為頂點的輔助三角形們又通過套路證全等的途徑將設定點（本題中我們要注意OA=4b的設定有一定特色，這也是簡化運算過程的一種設定，且很多情況下都可以這樣操作）的信息傳遞給了欲求點，從而為下一步操作做出貢獻.

以上兩例與正方形有關的平面直角坐標系的建立，瞄準的都是一個“簡”字，在這個“簡”字下，繁難變得清晰，迷途中沒有驚慌，特別是在我們自行體驗求角相等的套路之后，對輔助三角形全等的確定有了充分的把握，進而有效地推進了向欲求點信息的傳遞，不用說這為中點公式的利用、斜率公式的利用、距離公式的利用……立下了汗馬功勞.總之，這么一個“簡”字，一次次為我們的后續論證提供了實實在在的方便，也一次次為我們展示了可圈可點潛能.

我們認為熟練地掌握幾種習題的演證過程，會使人們的思緒進入一種自信狀態，而自信是破的基礎，本文采用的這種與正方形有關的規律解析習題的方法簡單易記、切實可行，是建立起這種自信心理的加速劑.就例1的情形來說吧，如果用平面幾何的方法來求解，則必須用既靈且巧的一些特殊方法來助陣，否則將勞而無功，由于該題的非解析求解存在相當大的難度，誤時誤事的情形時常有之.為從根本上解除這種困擾，我們建議有意諸君不妨將例1的兩種求解方式一一探試，體驗其不同求解思路的風韻.兩相比較之下，我們當然地更喜歡本規律解析的直觀和明朗.希此心得的交流能獲共鳴，并希就此能形成一種求解共識，從根本上解決這類與正方形有關的幾何習題的求解.由此進一步議而論之：對于比較繁難或凡難于上手的一類幾何習題的求解（譬如與三角形、與圓、與其組合形式有關的幾何習題），在使用平面幾何的方法暫時不得要領的情況下，大多可參考這一求解規律的思路而直明真諦.