排列組合在數學解題中的技巧探討

【摘要】排列組合是數學學習中的重點和難點，在概率論中也有廣泛的應用.排列組合看似簡單，但其靈活性和變化性大，題型多樣，是很多學生不能很好把握的一個板塊.為了讓學生更好地掌握排列組合的解題技巧，提高他們解決問題的能力，本文從解題思路和解題方法等方面特針對排列組合的解題技巧做一個系統性的探討.

【關鍵詞】排列；組合；解題技巧

排列組合需要解決的問題往往與我們的生活息息相關，具有抽象性和靈活性.排列組合的概念很簡單，但是它的相關習題還是讓學生很難一下子抓住解題關鍵的.隨著近幾年考試的變化，排列組合出現在考題中的比例也有所增加，而且題型多變，有選擇題、填空題、應用題等.學生們在解答排列組合題型上的失利往往會讓他們形成畏懼的心理，就更不能順利地解決實際問題了.怎樣才能掌握解決排列組合的相關題型呢？

一、區分排列與組合

要想做好排列組合的相關試題，首先要對排列組合做一個清晰的認識和區分.

所謂排列，就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序.組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序.排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現的情況總數.

排列與組合的區別在于，排列是有順序性的，而組合是無順序的組合.雖然很多學生能夠清醒地認識到排列與組合的區別，但他們在做題時往往還是會將它們混淆在一起，最終導致沒有將題目解答正確.如下題：

例：桌子上有兩種顏色的杯子，其中藍色杯子有5個，粉色杯子有7個，如果將它們排成一排，共有多少種不同的排法？

有的同學如果不仔細看題，可能會認為是12個相同顏色的杯子的排列，從而得出A1212種排列方法.這種結果的產生是因為學生沒有考慮到杯子之間的顏色有所差別.我們可以這樣來打開解題思路：相同顏色的杯子即使換了位置，它們的排法也是同一種.因此，我們可以將12個杯子對應桌子上的12個位置，再在這12個位置中選出5個位置留給藍色杯子，那么剩下的7個位置就是粉色杯子的了.因為5個藍色杯子是同一種顏色，那么這道題就是藍色杯子和粉色杯子的組合問題，則應該有C512種擺放方法.

像這種類型的題，老師應該通過具體典型例題向學生們強調排列與組合的區別，可以更有利于學生在做題時清晰地辨別出來，達到事倍功半的效果.

二、解答排列組合的步驟和技巧

只有掌握一些具體的解題方法和技巧，才能更好地解決排列組合中的各種題型.

1.認真審題

認真審題是解決排列組合問題的前提.只有認真審題，分辨出題目要求，才能更好地運用正確的解題方法解決問題.在審題時，學生應該從以下幾個方面作出具體考慮：首先，學生要判斷出所給問題是排列問題還是組合問題；其次，學生應該清晰地認識到所給問題中出現了幾種元素，從而確定問題類型；最后，學生應考慮問題是簡單地“一步到位”還是需要分步計算的問題，這樣才能確定運用哪種解題方法.

2.掌握相關的解題方法

（1）捆綁法

捆綁法適用于幾個元素需要排在一起的情況中.捆綁法是用一個新元素來代替相鄰的若干元素，這個新元素再與其他元素一起進行排列.當然，捆綁在一起的若干元素之間也有要進行排列組合的情況.

例：把3個蘋果和7個橘子排成一排，但是3個蘋果要排在一起，會有多少種排法呢？

此題屬于排隊問題.因為必須要把3個蘋果排在一起，我們可以用捆綁法來解答此題.首先，我們可以將3個蘋果看成是一個元素，再與7個橘子進行排列，則有A88種排法；因為3個蘋果之間也可以進行排列，有A33種排法.兩種排法之間是相乘的關系，那么，一共有A33A88中排法.

（2）插空法

插空法是針對兩個或兩個以上的元素不能相鄰的問題而得到的解題方法.對于這類問題，我們可以先把沒有條件限制的元素進行排列，然后根據所限制的條件將有條件限制的元素插到無條件限制的元素之間.

例：學校要照畢業照，第一排的人數是12人，其中學生有8人，老師有4人.照相師傅為了顯示出老師與學生之間打成一片，要求老師坐在學生之間，且老師與老師之間不能挨著.請問：第一排有多少種坐法？

不能相鄰的問題在本例題中涉及了.我們可以運用插空法來進行解答.通過題目可以看出，學生是沒有條件限制的元素，我們可以將他們進行排列，得到學生有A88種坐法.將學生排好之后，我們可以將有條件限制的老師穿插到學生當中去.由于學生之間有7個位置，老師有4人，得出A47種坐法.那么第一排一共有A88A47種坐法.

（3）插板法

插板法是將復雜多變的題型轉化成相對簡單且可以直觀操作的題型之后，通過在元素之間插板就可以將元素分開，找到解題思路的一種解題方法.

例：學校組織中二年級5個班的學生參加學校的學生會，但要求中二年級必須有8人參加此次會議，且每個班至少有1人參加才行.請問：這樣的分配方案一共有多少種？

這個例題一開始容易讓人找不到解題思路，即使有解題思路也是雜亂無章.我們不妨把這道題的意思稍作改變，使其可操作化、模型化.我們可以將此題轉化成如下題目：桌子上有8個蘋果，我們要將它們分成5份，請問：有多少種分法？這樣的題目就相對簡單很多.我們可以在8個蘋果之間的7個空位上放入5個木板，得到C57種方案.那么，上面的例題也就解答出來了.

（4）對等法

對等法是針對限制因素和不受限制因素數量相等的情況下運用的解決問題的簡單方法.運用對等法的解題思路是：解答出全部的排列方法，然后除以2就得到了問題的答案了.

例：桌子上有4種不同顏色且不同標號的氣球.現在，將這4種氣球排列開來，且1號氣球必須放在2號氣球的后面，請問：有多少種排法呢？

根據解題思路，我們可以很容易得出如果讓4種氣球任意排列的方法有C44種.由于1號氣球要放在2號氣球的后面，我們可以得到

（5）逆向思維法

逆向思維法在解決排列組合問題過程中是經常被用到的.對于有些無法從表面直觀看出解題方法的題型，我們可以通過其他角度來審視問題，再從整體上去排除，得出與之相應的解題方法.

例：有6個完全相同的小球，分別將它們用1～6進行編號.請從這6個球中抽出2個球，且抽出的球不能是5號和6號.那么一共有多少種抽法呢？

這類題如果從正面解答的話會比較繁瑣，我們不妨換個角度，用逆向思維法來解答.我們可以求出從6個球中抽出2個球的方法有C26種，從6個球中抽取出沒有5號和6號的方法有C24種，那么一共有C26-C24種抽法.

以上所介紹的排列組合問題的幾種解題技巧并不總是單獨運用的，很多時候需要結合運用才能把問題解答出來.

3.掌握必要的驗算方法

簡單的排列組合問題還相對容易解決，但對于那些或復雜或難度比較大的排列組合問題容易有出錯的可能，得進行有必要的驗算才行.

驗算的方法主要有：

（1）通過多種多樣的方法來解答問題，然后對兩次解答的結果進行比較，這樣既可以保證正確率，還能很好地找出解答錯誤的原因.

（2）用具體化、簡單化的可直觀事物代替題目中的數據，通過更直觀的方法找出解題思路或者把題目解答出來，一次驗證答案正確與否.

4.要讓排列組合更有趣味性

為了提高學生學習排列組合的積極性，解除他們對排列組合畏懼的心理，老師在講解排列組合的過程中要聯系生活，運用更為直觀的例題，還可以讓學生自己進行相關題目的操作.

這樣既可以將枯燥的講解或練習變得趣味無窮，也可以增加學生們學習的興趣.

三、結 語

雖然排列組合靈活多變，不好掌握，但只要細心研究還是能夠發現解答排列組合問題的解題步驟和解題技巧的.這種研究既能梳理相關知識，又能很好地指導教學實踐.

【參考文獻】

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