利用灰色模型預測長春市公路客運量

【摘要】 本文選取2003—2012年吉林省長春市公路客運總量數據，運用灰色預測模型對長春市的客運總量進行分析，建立灰色預測GM（1，1）模型，并進行一系列檢驗：殘差檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗及誤差分析. 同時，預測未來兩年長春市的客運總量.

【關鍵詞】 殘差檢驗；關聯度檢驗；后驗差檢驗；誤差分析

【項目來源】 吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目，吉教科合字[2013]第142號.

公路客運量是一個受多層次、多因素影響的復雜關系量，為了準確預測它，必須考慮各種影響因素，需要收集大量信息，由此帶來的問題是建模困難，計算量大. 有時，即使模型能夠建立，往往又因缺少足夠的信息不能確定模型的參數，導致無法實現預測. 灰色系統理論所提出的灰色系統模型預測方法，避開了這些復雜的相互關系，它不要求那么多的信息，而只是著眼于系統本身的灰色信息，尋找系統本身的內在規律，達到使灰色系統白化的目的.

灰色系統預測模型是基于灰色系統的理論思想，將離散變量連續化，用微分方程代替差分方程，用生成數序列代替原始時間序列，弱化原始時間序列的隨機性，再通過一定的步驟建立生成數的數學模型，此模型只適用于短期和中期預測，不適于長期預測.

一、灰色GM（1，1）模型

灰色預測模型直接使用的不是原始數據，而是原始數據產生的生成數. 生成分為累加生成和累減生成，分別記為AGO和IAGO.

設原始數據為X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），由它產生的r次累加生成r - AGO為X（r）=（x（r）（1），x（r）（2），…，x（r）（n）），其中x（r）（k）=■x（r-1）（i）=x（r）（k-1）+x（r-1）（k），x0（1）=x0（2） = … = 0，k = 1，2，…，n，r = 1，2，….

令Z（1）為X（1）的緊鄰均值（MEAN）生成序列Z（1） = （z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中z（1）（k） = 0.5x（1）（k） + 0.5x（1）（k - 1）.

則GM（1，1）的灰微分方程模型為

x（0）（k） + az（1）（k） = b.（1）

式中a稱為發展系數，b為灰色作用量. 設■為待估參數向量，即■ = （a，b）T，則灰微分方程（1）的最小二乘估計參數列滿足■ = （BTB）-1BTYn，其中

B=-z（1）（2） -z（1）（3） … -z（1）（n） 1 1 … 1T，

Y=[x（0）（2） x（0）（3） … x（0）（n）]T.

稱方程■+ax（1） = b為方程（1）的白化方程. 其解■（1）（t）=x（1）（0） - ■e-at + ■也稱為時間響應函數，時間響應序列

■（1）（k + 1） = x（1）（1） - ■e-ak + ■，k = 1，2，…，n

即為預測方程. 還原值

■（0）（k + 1） = ■（1）（k + 1） - ■（1）（k）.

二、 模型檢驗

GM（1，1）模型的檢驗分為三個方面：殘差檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗.

（一）殘差檢驗

即對模型值和實際值的殘差進行逐點檢驗. 首先按模型計算■（1）（i + 1），將■（1）（i + 1）累減生成■（0）（i），最后計算原始序列x（0）（i）與■（0）（i）的絕對殘差序列

Δ（0）={Δ（0）（i），i = 1，2，…，n}，Δ（0）（i） = |x（0）（i） - ■（0）（i）|

及相對殘差序列

？準 = {？準i，i = 1，2，…，n}，？準i = ■%

并計算平均相對殘差■ = ■■？準i . 給定α，當■ < α，且？準i < α（i = 1，2，…，n）成立時，稱模型為殘差合格模型.

（二）關聯系數與關聯度檢驗

關聯系數：設數據列

■（0）（k） = {■（0）（1），■（0）（2），…，■（0）（n）}

X（0）（k） = {X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}

關聯系數定義為：

η（k） =

■

其中ρ稱為分辨率，0 < ρ < 1，一般取ρ = 0.5.

關聯度：各類關聯系數的平均值r = ■■η（k），稱為■（0）（k）序列與X（0）（k）序列的關聯度. 關聯度檢驗，即通過考察模型值曲線和建模序列曲線的相似程度進行檢驗. 根據經驗，關聯度大于0.6便是滿意的.

（三）后驗差檢驗

后驗差檢驗，即對殘差分布的統計特性進行檢驗.

設原始序列X（0）的均方差和殘差的均方差分別為：

S1 = ■，

S2 = ■.

令S0 = 0.6745S1，ei = |Δ（0）（i） - ■|，則小殘差概率

p = P{|Δ（0）（i） - ■| < 0.6745S1} = P{ei < S0}.

記方差比C = S1/S2，若對于給定的C0 > 0，當C < C0時，稱模型為均方差比合格模型；如對給定的P0 > 0，當P > P0時，稱模型為小殘差概率合格模型.

若相對殘差、關聯度、后驗差檢驗在允許的范圍內，則可以用所建的模型進行預測，否則應進行殘差修正.

三、誤差分析

評價預測方法好壞的標準用平均絕對百分誤差MAPE來衡量：

MAPE ≤ 10% 高精度預測

10% < MAPE ≤ 20%良好預測

20% < MAPE ≤ 50%可行預測

MAPE > 50% 錯誤預測

四、歷史數據的收集、分析與處理

收集了長春市2003—2012年各季度公路客運量，見附錄1. 畫出散點圖（如圖1）. 從圖中可以看出，總體來說，長春市的客運量逐年上升，2007年2月，客運量明顯大于其他月份，如在預測時不作任何數據處理，會影響預測精度，但如果將異常數據剔除掉，又會因為樣本數的減少而影響預測的準確度，本文對異常值做了簡單的處理.

理論上，正常的序列{Xt}是平滑的，則應有■t - kSt < Xt+1 < ■t + kSt，其中

■t = ■■Xj，St2 = ■ - ■t2，■ = ■■Xj2，k ∈ [3，9]，這里k = 4.

用上面的公式對異常值點的進行檢驗，由數據可得：（■ - 4St，■+ 4St）=（96.6763，545，7827）. 易見559.07？埸（■ - 4St，■ + 4St），其他點都落在（■ - 4St，■ + 4St）中，故559.07為異常值，需要進行修正：

如果Xt+1是一個異常點，我們可以用■t = 2Xt - Xt-1來修正. 本文中，Xt為2007年1月的客流量，算得■t = 2 × 115.98 - 76.95 = 155.01，把2007年2月的客運量修正為155.01萬人次. 再次畫散點圖（如圖2）：

所以，將2007年2月的客運量修正為155.01萬人次，2007年第一個季度的總客運量為360.24萬人次.

五、實證分析

（一）灰色模型的建立

設原始數列為：

X（0）（k） = {968.77，1082.78，1217.62，1291.02，1299.32，

1391.19，1314.23，1365.13，1373.62，1346.65}.

經軟件S-PLUS計算，得

■ = ab = （BTB）-1BTYn = -0.02103791158.4025951.

得出預測模型

■（1）（k + 1）=56031.4234e0.0210379k - 55062.6534.

（二）灰色模型的檢驗

殘差檢驗 根據預測公式，計算■ （1）（k）：

■ （1）（k） = {968.77，2160.04，3376.638，4619.102，5887.981，

7183.838，8507.245，9858.789，11239.07，12648.69} （k = 0，1， … ，9）.

累減生成序列■ （0）（k）：

■ （0）（k） = {968.77，1191.27，1216.598，1242.464，1268.879，

1295.857，1323.407，1351.544，1380.281，1409.62}，k = 1，2， … ，10 .

絕對殘差和相對殘差序列分別是：

Δ（0） = {0，108.49，1.02，48.56，30.44，95.33，9.18，13.59，6.66，

62.97}，

？準 = {0，10.02%，0.08%，3.76%，2.34%，6.85%，0.70%，1.00%，0.48%，4.68%}.

可見，相對殘差不超過10.02%，模型精確度高.

關聯度檢驗 由絕對殘差序列Δ（0）（k），可得

min{Δ（0）（k）} = 0，max{Δ（0）（k） } = 108.49，

算得關聯系數

η（k） ={1，0.33，0.98，0.53，0.64，0.36，0.86，0.80，0.89，

0.46}，

關聯度ri = ■■ηi（k） = 0.685 > 0.6，滿足P = 0.5時的檢驗準則.

后驗差檢驗 算得序列X（0）的均方差及殘差的均方差分別是：

S1= 138.2405，S2 = 39.8141，

C = ■ = 0.2880，S0 = 0.6745S1 = 93.2432，

ek = |Δ（k） - ■| = {37.624，70.866，36.604，10.936，7.184，

57.706，28.444，24.034，30.964，25.346}.

所有ei都小于S0，故小殘差概率P{ei < S0} = 1 > 0.95，同時C = 0.2880 < 0.35，故模型x（1）（k + 1）= 56031.4234e0.021037912- 55062.6534預測精度優.

作出客運量實際值與預測值的對比圖如下，由圖3可見，兩者吻合得很好.

取k = 10，11時，分別得2013年、2014年長春市公路客運總量預測值：

x（0）（11） = 1439.742（萬人），x（0）（12）= 1470.355（萬人）.

即2013年、2014年長春市客運總量預計達1439.742萬人和1470.355萬人次.

（三）誤差分析

平均絕對百分誤差MAPE = ■■■ × 100% = ■ × 0.2991 × 100% = 2.99%，根據平均絕對百分誤差MAPE對預測的衡量標準，上述結果表明用該模型進行預測，效果為高精度預測（MAPE≤10%）.

【參考文獻】

[1]侯文超. 經濟預測——理論、方法及應用[M].北京：商務印書館，1993.

[2]徐國祥.統計預測和決策·第三版.上海：上海財經大學出版社，2008.

[3]肖枝洪，郭明月. 時間序列分析與SAS應用[J]. 武漢：武漢大學出版社，2009.

附錄

2003—2012年各季度長春市公路客運量（單位：萬人）