我教“正方形的概念與性質(zhì)”

【摘要】 從圖式建構(gòu)的視角對“正方形的概念與性質(zhì)”教學研究：通過研究特殊四邊形之間的演變，讓學生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念圖式；通過研究正方形的定義、性質(zhì)，讓學生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——“正方形的定義與性質(zhì)”的認知圖式；通過研究正方形知識的應用，讓學生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義與性質(zhì)的認知圖式.

【關鍵詞】 數(shù)學圖式；正方形的概念與性質(zhì)；同化的學習方式

正方形既是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形. 學習了平行四邊形、矩形、菱形的概念之后再來學習正方形，學生具有豐富的已有知識和經(jīng)驗，宜采用同化的學習方式來進行教學. 所謂同化的學習方式，是學習者原有認知圖式吸收要學習的新知識并將它固定在原認知圖式的適當部位而形成新的認知圖式的過程. 圖式是人腦中的知識單元、知識組塊和知識系統(tǒng)，包括核心概念與怎樣及何時應用核心概念的知識之間的關系. 讓學生構(gòu)建數(shù)學圖式，可讓學生更明白知識的緣由，以及可以讓學生擁有更好的知識結(jié)構(gòu)，因此對于學生分析問題、解決問題的能力就更有效.筆者從圖式建構(gòu)的視角對“正方形的概念與性質(zhì)”進行教學研究，供同行參考.

一、通過研究特殊四邊形之間的演變，讓學生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念圖式

學習“正方形的定義和性質(zhì)”的關鍵是激活平行四邊形、矩形、菱形的概念圖式.根據(jù)學生對平行四邊形、矩形、菱形之間關系的理解，以及對正方形概念的直觀經(jīng)驗（生活中的和小學數(shù)學中的一些直觀描述），筆者設計下面的問題1和問題2讓學生思考.

問題1 由前面幾節(jié)課我們知道，平行四邊形可以演變得到矩形和菱形，那么，平行四邊形、矩形和菱形是否可以通過演變得到正方形？如果平行四邊形、矩形和菱形分別可以通過演變得到正方形，那么請你用畫線的方式（帶箭頭）表示兩個圖形之間的關系，并在線上標明其演變過程，同時在畫的過程中思考：正方形是否還具有原圖形的性質(zhì)？如果平行四邊形、矩形和菱形不能通過演變得到正方形，則請說明理由.

先讓學生獨立思考，教師巡視或?qū)Π嗉墏€別同學指導.當看到大部分同學都有了自己的“成果”，于是請同學們在全班交流自己的研究“成果”，交流后師生共同歸納得到：

結(jié)論：因為正方形是特殊平行四邊形，是特殊的矩形，是特殊的菱形，所以正方形還具有平行四邊形、矩形、菱形圖形的性質(zhì).

在此基礎上，教師繼續(xù)提出問題2讓學生探究.

問題2 結(jié)合前面幾節(jié)課及剛才同學們的“研究成果”，請你設計一幅“圖”來表示平行四邊形、矩形、菱形、正方形圖形之間的關系.

學生獨立設計.在大部分同學完成的基礎上，教師用多媒體展示不同學生設計的“成果”，并讓學生討論設計中存在的問題，譬如，學生設計中存在的問題有：① 缺乏關系連接；② 結(jié)構(gòu)線條的箭頭指向不清晰等.在討論的基礎上，老師繼續(xù)讓學生完善自己設計的“作品”得到：

至此，通過問題1和問題2的解決及學生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式，學生已初步將正方形納入到原有的概念圖式之中，此時新舊知識通過相互作用建立起合理與實質(zhì)的聯(lián)系.

二、通過研究正方形的定義、性質(zhì)，讓學生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——“正方形的定義與性質(zhì)”的認知圖式

學習是一個圖式獲得和完善的過程.圖式的形成是一個復雜的過程，需要教師設計多樣化的學習活動，多方位地豐富和完善圖式.接著，教師繼續(xù)提出下面的問題3和問題4，目的是讓學生構(gòu)建特殊四邊形圖式的子圖式——“正方形的定義、性質(zhì)”的認知圖式.

問題3 根據(jù)自己設計的“研究成果”，請你歸納出正方形的定義，并對比正方形與平行四邊形、矩形、菱形的定義，指出它們的聯(lián)系.

問題4 對比矩形和菱形的性質(zhì)，請你寫出正方形的性質(zhì).

先讓學生獨立思考，再全班交流，在交流的基礎上，教師要求學生通過點、線加工，獨立構(gòu)建正方形定義與性質(zhì)的認知圖式：

三、通過研究正方形知識的應用，讓學生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義與性質(zhì)的認知圖式

問題5 如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.

（1）圖中有多少個三角形？這些三角形有什么特點？請說明理由.

（2）AB︰AO︰AC = __________.

問題6 如圖2，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在BD上有一動點P， PE⊥AB， PF⊥AD， 垂足分別為E，F(xiàn)，試指出△EOF的形狀并給予證明.

問題7 請你將平行四邊形、矩形、菱形和正方形的定義與性質(zhì)以表格的形式制作成圖表.

先讓學生獨立制作，再全班交流，最后得到如下的特殊四邊形的定義與性質(zhì)的圖式（圖表中空格的內(nèi)容略去）：

以上的教學設計，以圖式的建構(gòu)為主線，先建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式，再建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——正方形的認知圖式，又通過正方形知識的應用“操作”，讓學生從新的視角，從特殊四邊形的邊、角、對角線、對稱性等角度再一次構(gòu)建平行四邊形、矩形、菱形和正方形的認知圖式，從而引發(fā)學生從縱向和橫向溝通了特殊四邊形知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以進入更高層次的圖式.此時，學生不僅體驗到圖式不斷完善的過程，更為重要的是，在這一過程中學生頭腦中建構(gòu)的圖式也臻于完善，從而形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

圖式的形成是學生的一種動態(tài)建構(gòu)和再建構(gòu)活動.在數(shù)學教學中，教師要為學生提供主動構(gòu)建圖式的平臺，給學生留有充裕的時間，讓學生獨立思考、合作、展示和交流關于某一主題所形成的圖式，這將有利于削減因為概念等知識難度所帶來的認知障礙，促進學生從整體上把握數(shù)學的知識、方法和觀念，增強學生學習數(shù)學的整體意識和結(jié)構(gòu)意識.

【參考文獻】

鮑建生，周超，著.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.