應變能密度的積分方法研究

摘 要：建立應變能密度積分公式，以彈性力學的物理方程為基礎，研究在彈性體中應變能和應變與應力之前的關系。主要通過廣義格林公式下的積分和全微分形式下的積分。在這兩種方式的求解下，都證明了應變能密度和應變與應力的關系是一致的。

關鍵詞：彈性體；應變能密度；應變

1 引言

在普遍的彈性力學的教材中[1]，都只給出了

這個公式，而沒有直接對應變能密度的積分給出詳細的求解過程。這就使得讀者產(chǎn)生疑惑，當應力展開成與彈性模量的關系式代入積分方程中，就出現(xiàn)了問題。

在 中，我們在利用張量公式的展開：當 ？著kl的下標k，l的取值和deij的下標i，j的下標取值相同：k=m=i；l=n=j；我們可以直接積分得出 （注：此公式不帶啞標，且？著mn=？著nm），當k取值不等與i和j，或者l取值不等于i和j時，那么？著kl是不是就與？著ij沒有關系，而可以直接把eij積出來。例如

。對于？著ij與？著kl取值不相同的部分，直接積分得出的結果不是■倍的關系而是1倍的關系。這就與應變能密度的公式矛盾，顯然是我們把積分簡單化了，因此我們要改變積分方式，由于彈性力學里的物理方程是肯定成立，所以我們從積分路徑考慮。

2 線彈性應變

對圖1所示積分，從面積就知道 成立。但是對非線彈性應變時，面積不是那么輕易算出，所以我們必須從積分本身出發(fā)。

3 非線彈性應變

圖1 圖2

對應變能密度 進行證明，其中？滓ij=Cijkl？著kl，？滓ij為應力，？著ij為應變， Cijkl為彈性模量。

4 數(shù)學求解

首先對Cijkl進行簡化，通過？滓ij=Cijkl？著kl，對于各向異性彈性體應力張量的對稱性？滓ij=？滓ji，于是Cijkl=Cjikl，再由應變張量的對稱性？著kl=？著lk，得出Cijkl=Cijlk，于是把原來81個分量降為36個分量，整理成：

（1）

對U（？著）求二階偏導得出：

（2）

又因為

將 代入可得出 此式就稱之為廣義格林公式[2]

所以有

（3）

對U（？著）展開的

（4）

再將（1）式代入（4）式得

對此式整理

（5）

我們?nèi)∑渲腥我鈳捉M研究：

其中■x和■y是終止狀態(tài)的彈性應變，在求解

時，由（3）式得到C12=C21，所以由格林公式可知此積分與路徑無關。不妨設？著y=k？著x，

對其他部分采用同樣的方法，整理得

（6）

再把（6）式比照（1）式進行整理得到（4）式，因此得應變能密度公式得證 。

如果從全微分形式 出發(fā)，因為原函數(shù)U（？著）的存在，可以利用牛頓-萊布尼茨公式同樣可以得到結果： 。

這說明積分與路徑無關，所以 即

廣義格林公式 是成立的。這就從正反兩面證明了廣義格林公式，從而說明積分與路徑無關。

5 結束語

對于多元函數(shù)的積分應同時聯(lián)系實際的物理背景，不能簡單的從一方面考慮，否則就會出現(xiàn)差錯或使問題復雜化，此題也可以從功的方面考慮。高等數(shù)學中在曲線積分中提到了格林公式，這里需要用到廣義格林公式。這兩種解法都是為了尋找應變能密度求解中積分與路徑無關這條件。

參考文獻

[1]陸明萬，羅學富.彈性理論基礎[M].北京：清華大學出版社，1990.

[2]徐芝綸.彈性力學簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2002.8.