二維數控精密轉臺精度計算與分析

周銳琦++史國權++胡明亮

摘 要：根據二維轉鼓的生產要求和提出的技術指標，對二維數控精密轉臺進行了精度計算和分析。介紹了對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差，得到二維數控精密轉臺的指向誤差，并對指向誤差進行分配，得出二維數控精密轉臺三類誤差指標。

關鍵詞：二維數控；轉臺精度；指向誤差

中圖分類號：V216 文獻標識碼：A

1 概述

針對非規則（二維）光學轉鼓在掃描探測器中的廣泛應用和產量需求，自主研發能夠和Ultraform250超精密切削機床配套使用的二維數控精密轉臺夾具。

由于二維數控精密轉臺是針對非規則光學轉鼓的高效、高質量飛切加工的，在加工過程中，產生加工誤差的因素很多。如果對轉鼓規定一系列技術指標，那么轉臺的有關誤差對轉鼓的技術指標的影響是很大的。因此，要盡可能設法減少這些誤差，所占的比重越大，留給補償其他各類誤差的空間就越小。其結果不是降低零件的加工精度，就是增加加工難度。根據所生產轉鼓的技術指標：平行度誤差15角秒，傾角誤差20角秒，轉角誤差20角秒，對轉臺結構的精度進行逆推，經過計算得出轉臺各主要誤差指標。

2 轉臺的系統誤差

由于轉臺的結構是二維數控工藝裝置夾具結構，對靜態條件下的轉臺性能指標要求比較高，下面對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差給出定義 ：

回轉誤差是指各軸在進行轉動時，軸端的運動軌跡所形成的包絡線擺動范圍的最小圓錐角度。它能夠直接影響軸的空間指向。

垂直度誤差是指轉臺空間直角坐標系中兩軸軸線之間的實際空間夾角與90°角的差值。

位置誤差是指在靜止狀態下，轉臺的實際位置和理想位置的差值。

3 二維數控精密轉臺的指向誤差

3.1 指向誤差的定義（見圖1）

轉臺的指向誤差指的是在橫滾軸上確定一個單位向量λ0，當轉臺轉動一定的角度后，轉臺的理想指向λ1與實際指向λ2之間的角度偏差。指向誤差實際上是一種空間角度誤差，能夠直接反應出轉臺的定位精度。在三維空間坐標中的單位向量的指向誤差如圖1所示。

指向誤差的空間幾何意義可以這樣描述：設與橫滾軸軸線重合的一個單位向量λ0，按照歐拉變換的順序，將橫滾軸和方位軸依次旋轉一定角度，則單位向量λ0回轉到一個新的位置，在新的方向上得到新的單位向量λ1，則有：

式中，R0（Ω）為歐拉變換矩陣。

可是，二維數控精密轉臺在做回轉運動時，會存在一系列的誤差E，這會導致單位向量λ0經過兩軸回轉后，達不到預期的位置，也就得不到新的單位向量λ1，而是得到了單位向量λ2，正因為這些誤差的存在，可推出公式：

這里誤差E代表各個誤差，它主要由三類誤差組成：軸之間的垂直度誤差α，軸的回轉誤差β，以及軸的位置誤差γ，則有：

那么指向誤差則可表示為由單位向量λ1和單位向量λ2兩個向量差的模長△Φ：

其中，

3.2 指向誤差的算法

下面通過矩陣形式，把指向誤差的公式求解出來。

轉臺兩軸依次繞X，Z軸轉動X1，X2角度，在沒有誤差的情況下，單位向量λ0將變成λ1 ：λ1= R0（Ω）λ0，其中

由于存在誤差因素E，單位向量λ0會變成λ2。設垂直度誤差α1；回轉誤差β1， β2；位置誤差γ1，γ2。在轉動兩軸時，根據軸的三類誤差，得到指向轉換所產生的中間變量的歐拉變換矩陣：

X軸轉動X1角度時，產生位置誤差γ1和回轉誤差β1：

Z軸轉動x2角度時，產生位置誤差γ2和回轉誤差β2：

兩軸之間垂直度誤差α1：

于是，得到含有三類誤差的變換矩陣為

進而可以用公式（4），求出指向誤差△Φ。

4 轉臺的指向誤差分配

由于指向誤差受正交性誤差α，回轉誤差β和定位誤差γ三類誤差的影響，但三類誤差對指向誤差的影響程度不同。所以要對指向誤差進行分配。

根據控制變量法，可計算出三類誤差對指向誤差的影響程度。當垂直度誤差變化時，分別取值0″，1″，2″，3″，4″，5″得到各自的實際指向，再計算相鄰兩個實際指向的余弦值，從而得到相鄰兩個實際指向的夾角。

根據公式：

得到相鄰兩個實際指向的夾角：

同理，當回轉誤差和定位誤差變化時，利用同樣的方法，觀察實際指向的變化情況。則計算得出以下結論：

回轉誤差每增加1角秒，指向誤差大約增加1.4角秒；而垂直度誤差和定位誤差每增加1角秒，指向誤差均大約增加1角秒左右。

根據三類誤差對指向誤差的影響，采用加權方法對三類誤差進行誤差分配，設

（12）

其中，M、N、L為加權系數。

為了讓產生指向誤差的三類誤差對指向誤差的影響具有相同的程度，則可確定加權系數為M=1，N=0.71，L=1。

由于三類誤差均對轉角誤差、傾角誤差有影響，那么就可以把加權系數代入，從而計算出三類誤差。因為要保證轉鼓相鄰的兩個加工面的轉角誤差不大于20角秒，需要把各個面的加工誤差控制在10角秒以內。計算得到橫滾軸和方位軸的三類誤差指標分別為：回轉誤差2.6角秒，定位誤差3.7角秒，垂直度誤差3.7角秒。同樣，方位軸在轉動過程中，也要保證每次回轉時產生的傾角誤差在10角秒以內，則前面計算得到的三類誤差滿足要求。根據加工轉鼓的加工工序可知道，加工完一個面后，需要轉動橫滾軸180°，所以影響轉鼓平行度誤差的是橫滾軸的回轉誤差和定位誤差。由于橫滾軸每次轉動時產生的誤差要控制在7.5角秒以內，而前面計算出來的回轉誤差和定位誤差之和小于這一數值，則滿足轉鼓的加工要求。

結語

本文通過對二維數控精密轉臺的精度計算和分析，確定了對轉臺精度起主要影響作用的三類誤差指標。計算結果表明：三類誤差對指向誤差的影響程度不同。根據這一結論，對誤差進行分配。本文的結論可作為轉臺精度的技術要求，為轉臺的設計提供依據，因此對轉臺的制造具有重要的指導意義。

參考文獻

[1]張文濤.金剛石飛切二維轉鼓加工精密轉臺定位精度分析.新技術新工藝，2011，11：40-42

[2]白雪峰.單軸速率三軸位置慣性測試轉臺誤差及傳遞分析.航天控制，2006，24（02）：26-29

[3]Louis A DeMore.Design Study for a High-Accuracy Three-Axis Test Table.AIAA Guidance and Control Conference，1985，10（01）：104-114

[4]周銳等.飛行仿真轉臺指向誤差分析及誤差分配.航天控制.1996，14（03）：66-72

[5]曲智勇.仿真轉臺誤差分析及誤差建模.計算機仿真，2006，23（03）：301-303endprint

摘 要：根據二維轉鼓的生產要求和提出的技術指標，對二維數控精密轉臺進行了精度計算和分析。介紹了對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差，得到二維數控精密轉臺的指向誤差，并對指向誤差進行分配，得出二維數控精密轉臺三類誤差指標。

關鍵詞：二維數控；轉臺精度；指向誤差

中圖分類號：V216 文獻標識碼：A

1 概述

針對非規則（二維）光學轉鼓在掃描探測器中的廣泛應用和產量需求，自主研發能夠和Ultraform250超精密切削機床配套使用的二維數控精密轉臺夾具。

由于二維數控精密轉臺是針對非規則光學轉鼓的高效、高質量飛切加工的，在加工過程中，產生加工誤差的因素很多。如果對轉鼓規定一系列技術指標，那么轉臺的有關誤差對轉鼓的技術指標的影響是很大的。因此，要盡可能設法減少這些誤差，所占的比重越大，留給補償其他各類誤差的空間就越小。其結果不是降低零件的加工精度，就是增加加工難度。根據所生產轉鼓的技術指標：平行度誤差15角秒，傾角誤差20角秒，轉角誤差20角秒，對轉臺結構的精度進行逆推，經過計算得出轉臺各主要誤差指標。

2 轉臺的系統誤差

由于轉臺的結構是二維數控工藝裝置夾具結構，對靜態條件下的轉臺性能指標要求比較高，下面對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差給出定義 ：

回轉誤差是指各軸在進行轉動時，軸端的運動軌跡所形成的包絡線擺動范圍的最小圓錐角度。它能夠直接影響軸的空間指向。

垂直度誤差是指轉臺空間直角坐標系中兩軸軸線之間的實際空間夾角與90°角的差值。

位置誤差是指在靜止狀態下，轉臺的實際位置和理想位置的差值。

3 二維數控精密轉臺的指向誤差

3.1 指向誤差的定義（見圖1）

轉臺的指向誤差指的是在橫滾軸上確定一個單位向量λ0，當轉臺轉動一定的角度后，轉臺的理想指向λ1與實際指向λ2之間的角度偏差。指向誤差實際上是一種空間角度誤差，能夠直接反應出轉臺的定位精度。在三維空間坐標中的單位向量的指向誤差如圖1所示。

指向誤差的空間幾何意義可以這樣描述：設與橫滾軸軸線重合的一個單位向量λ0，按照歐拉變換的順序，將橫滾軸和方位軸依次旋轉一定角度，則單位向量λ0回轉到一個新的位置，在新的方向上得到新的單位向量λ1，則有：

式中，R0（Ω）為歐拉變換矩陣。

可是，二維數控精密轉臺在做回轉運動時，會存在一系列的誤差E，這會導致單位向量λ0經過兩軸回轉后，達不到預期的位置，也就得不到新的單位向量λ1，而是得到了單位向量λ2，正因為這些誤差的存在，可推出公式：

這里誤差E代表各個誤差，它主要由三類誤差組成：軸之間的垂直度誤差α，軸的回轉誤差β，以及軸的位置誤差γ，則有：

那么指向誤差則可表示為由單位向量λ1和單位向量λ2兩個向量差的模長△Φ：

其中，

3.2 指向誤差的算法

下面通過矩陣形式，把指向誤差的公式求解出來。

轉臺兩軸依次繞X，Z軸轉動X1，X2角度，在沒有誤差的情況下，單位向量λ0將變成λ1 ：λ1= R0（Ω）λ0，其中

由于存在誤差因素E，單位向量λ0會變成λ2。設垂直度誤差α1；回轉誤差β1， β2；位置誤差γ1，γ2。在轉動兩軸時，根據軸的三類誤差，得到指向轉換所產生的中間變量的歐拉變換矩陣：

X軸轉動X1角度時，產生位置誤差γ1和回轉誤差β1：

Z軸轉動x2角度時，產生位置誤差γ2和回轉誤差β2：

兩軸之間垂直度誤差α1：

于是，得到含有三類誤差的變換矩陣為

進而可以用公式（4），求出指向誤差△Φ。

4 轉臺的指向誤差分配

由于指向誤差受正交性誤差α，回轉誤差β和定位誤差γ三類誤差的影響，但三類誤差對指向誤差的影響程度不同。所以要對指向誤差進行分配。

根據控制變量法，可計算出三類誤差對指向誤差的影響程度。當垂直度誤差變化時，分別取值0″，1″，2″，3″，4″，5″得到各自的實際指向，再計算相鄰兩個實際指向的余弦值，從而得到相鄰兩個實際指向的夾角。

根據公式：

得到相鄰兩個實際指向的夾角：

同理，當回轉誤差和定位誤差變化時，利用同樣的方法，觀察實際指向的變化情況。則計算得出以下結論：

回轉誤差每增加1角秒，指向誤差大約增加1.4角秒；而垂直度誤差和定位誤差每增加1角秒，指向誤差均大約增加1角秒左右。

根據三類誤差對指向誤差的影響，采用加權方法對三類誤差進行誤差分配，設

（12）

其中，M、N、L為加權系數。

為了讓產生指向誤差的三類誤差對指向誤差的影響具有相同的程度，則可確定加權系數為M=1，N=0.71，L=1。

由于三類誤差均對轉角誤差、傾角誤差有影響，那么就可以把加權系數代入，從而計算出三類誤差。因為要保證轉鼓相鄰的兩個加工面的轉角誤差不大于20角秒，需要把各個面的加工誤差控制在10角秒以內。計算得到橫滾軸和方位軸的三類誤差指標分別為：回轉誤差2.6角秒，定位誤差3.7角秒，垂直度誤差3.7角秒。同樣，方位軸在轉動過程中，也要保證每次回轉時產生的傾角誤差在10角秒以內，則前面計算得到的三類誤差滿足要求。根據加工轉鼓的加工工序可知道，加工完一個面后，需要轉動橫滾軸180°，所以影響轉鼓平行度誤差的是橫滾軸的回轉誤差和定位誤差。由于橫滾軸每次轉動時產生的誤差要控制在7.5角秒以內，而前面計算出來的回轉誤差和定位誤差之和小于這一數值，則滿足轉鼓的加工要求。

結語

本文通過對二維數控精密轉臺的精度計算和分析，確定了對轉臺精度起主要影響作用的三類誤差指標。計算結果表明：三類誤差對指向誤差的影響程度不同。根據這一結論，對誤差進行分配。本文的結論可作為轉臺精度的技術要求，為轉臺的設計提供依據，因此對轉臺的制造具有重要的指導意義。

參考文獻

[1]張文濤.金剛石飛切二維轉鼓加工精密轉臺定位精度分析.新技術新工藝，2011，11：40-42

[2]白雪峰.單軸速率三軸位置慣性測試轉臺誤差及傳遞分析.航天控制，2006，24（02）：26-29

[3]Louis A DeMore.Design Study for a High-Accuracy Three-Axis Test Table.AIAA Guidance and Control Conference，1985，10（01）：104-114

[4]周銳等.飛行仿真轉臺指向誤差分析及誤差分配.航天控制.1996，14（03）：66-72

[5]曲智勇.仿真轉臺誤差分析及誤差建模.計算機仿真，2006，23（03）：301-303endprint

摘 要：根據二維轉鼓的生產要求和提出的技術指標，對二維數控精密轉臺進行了精度計算和分析。介紹了對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差，得到二維數控精密轉臺的指向誤差，并對指向誤差進行分配，得出二維數控精密轉臺三類誤差指標。

關鍵詞：二維數控；轉臺精度；指向誤差

中圖分類號：V216 文獻標識碼：A

1 概述

針對非規則（二維）光學轉鼓在掃描探測器中的廣泛應用和產量需求，自主研發能夠和Ultraform250超精密切削機床配套使用的二維數控精密轉臺夾具。

由于二維數控精密轉臺是針對非規則光學轉鼓的高效、高質量飛切加工的，在加工過程中，產生加工誤差的因素很多。如果對轉鼓規定一系列技術指標，那么轉臺的有關誤差對轉鼓的技術指標的影響是很大的。因此，要盡可能設法減少這些誤差，所占的比重越大，留給補償其他各類誤差的空間就越小。其結果不是降低零件的加工精度，就是增加加工難度。根據所生產轉鼓的技術指標：平行度誤差15角秒，傾角誤差20角秒，轉角誤差20角秒，對轉臺結構的精度進行逆推，經過計算得出轉臺各主要誤差指標。

2 轉臺的系統誤差

由于轉臺的結構是二維數控工藝裝置夾具結構，對靜態條件下的轉臺性能指標要求比較高，下面對轉臺精度起主要影響作用的各項誤差給出定義 ：

回轉誤差是指各軸在進行轉動時，軸端的運動軌跡所形成的包絡線擺動范圍的最小圓錐角度。它能夠直接影響軸的空間指向。

垂直度誤差是指轉臺空間直角坐標系中兩軸軸線之間的實際空間夾角與90°角的差值。

位置誤差是指在靜止狀態下，轉臺的實際位置和理想位置的差值。

3 二維數控精密轉臺的指向誤差

3.1 指向誤差的定義（見圖1）

轉臺的指向誤差指的是在橫滾軸上確定一個單位向量λ0，當轉臺轉動一定的角度后，轉臺的理想指向λ1與實際指向λ2之間的角度偏差。指向誤差實際上是一種空間角度誤差，能夠直接反應出轉臺的定位精度。在三維空間坐標中的單位向量的指向誤差如圖1所示。

指向誤差的空間幾何意義可以這樣描述：設與橫滾軸軸線重合的一個單位向量λ0，按照歐拉變換的順序，將橫滾軸和方位軸依次旋轉一定角度，則單位向量λ0回轉到一個新的位置，在新的方向上得到新的單位向量λ1，則有：

式中，R0（Ω）為歐拉變換矩陣。

可是，二維數控精密轉臺在做回轉運動時，會存在一系列的誤差E，這會導致單位向量λ0經過兩軸回轉后，達不到預期的位置，也就得不到新的單位向量λ1，而是得到了單位向量λ2，正因為這些誤差的存在，可推出公式：

這里誤差E代表各個誤差，它主要由三類誤差組成：軸之間的垂直度誤差α，軸的回轉誤差β，以及軸的位置誤差γ，則有：

那么指向誤差則可表示為由單位向量λ1和單位向量λ2兩個向量差的模長△Φ：

其中，

3.2 指向誤差的算法

下面通過矩陣形式，把指向誤差的公式求解出來。

轉臺兩軸依次繞X，Z軸轉動X1，X2角度，在沒有誤差的情況下，單位向量λ0將變成λ1 ：λ1= R0（Ω）λ0，其中

由于存在誤差因素E，單位向量λ0會變成λ2。設垂直度誤差α1；回轉誤差β1， β2；位置誤差γ1，γ2。在轉動兩軸時，根據軸的三類誤差，得到指向轉換所產生的中間變量的歐拉變換矩陣：

X軸轉動X1角度時，產生位置誤差γ1和回轉誤差β1：

Z軸轉動x2角度時，產生位置誤差γ2和回轉誤差β2：

兩軸之間垂直度誤差α1：

于是，得到含有三類誤差的變換矩陣為

進而可以用公式（4），求出指向誤差△Φ。

4 轉臺的指向誤差分配

由于指向誤差受正交性誤差α，回轉誤差β和定位誤差γ三類誤差的影響，但三類誤差對指向誤差的影響程度不同。所以要對指向誤差進行分配。

根據控制變量法，可計算出三類誤差對指向誤差的影響程度。當垂直度誤差變化時，分別取值0″，1″，2″，3″，4″，5″得到各自的實際指向，再計算相鄰兩個實際指向的余弦值，從而得到相鄰兩個實際指向的夾角。

根據公式：

得到相鄰兩個實際指向的夾角：

同理，當回轉誤差和定位誤差變化時，利用同樣的方法，觀察實際指向的變化情況。則計算得出以下結論：

回轉誤差每增加1角秒，指向誤差大約增加1.4角秒；而垂直度誤差和定位誤差每增加1角秒，指向誤差均大約增加1角秒左右。

根據三類誤差對指向誤差的影響，采用加權方法對三類誤差進行誤差分配，設

（12）

其中，M、N、L為加權系數。

為了讓產生指向誤差的三類誤差對指向誤差的影響具有相同的程度，則可確定加權系數為M=1，N=0.71，L=1。

由于三類誤差均對轉角誤差、傾角誤差有影響，那么就可以把加權系數代入，從而計算出三類誤差。因為要保證轉鼓相鄰的兩個加工面的轉角誤差不大于20角秒，需要把各個面的加工誤差控制在10角秒以內。計算得到橫滾軸和方位軸的三類誤差指標分別為：回轉誤差2.6角秒，定位誤差3.7角秒，垂直度誤差3.7角秒。同樣，方位軸在轉動過程中，也要保證每次回轉時產生的傾角誤差在10角秒以內，則前面計算得到的三類誤差滿足要求。根據加工轉鼓的加工工序可知道，加工完一個面后，需要轉動橫滾軸180°，所以影響轉鼓平行度誤差的是橫滾軸的回轉誤差和定位誤差。由于橫滾軸每次轉動時產生的誤差要控制在7.5角秒以內，而前面計算出來的回轉誤差和定位誤差之和小于這一數值，則滿足轉鼓的加工要求。

結語

本文通過對二維數控精密轉臺的精度計算和分析，確定了對轉臺精度起主要影響作用的三類誤差指標。計算結果表明：三類誤差對指向誤差的影響程度不同。根據這一結論，對誤差進行分配。本文的結論可作為轉臺精度的技術要求，為轉臺的設計提供依據，因此對轉臺的制造具有重要的指導意義。

參考文獻

[1]張文濤.金剛石飛切二維轉鼓加工精密轉臺定位精度分析.新技術新工藝，2011，11：40-42

[2]白雪峰.單軸速率三軸位置慣性測試轉臺誤差及傳遞分析.航天控制，2006，24（02）：26-29

[3]Louis A DeMore.Design Study for a High-Accuracy Three-Axis Test Table.AIAA Guidance and Control Conference，1985，10（01）：104-114

[4]周銳等.飛行仿真轉臺指向誤差分析及誤差分配.航天控制.1996，14（03）：66-72

[5]曲智勇.仿真轉臺誤差分析及誤差建模.計算機仿真，2006，23（03）：301-303endprint