比例定理及其在幾何上的應用

楊永青

（江蘇省高港中等專業學校，江蘇 泰州 225300）

比例定理及其在幾何上的應用

楊永青

（江蘇省高港中等專業學校，江蘇 泰州 225300）

證明線段的比例關系是數學幾何中的一個難點，我們不妨把證明線段的比例式轉化成線段乘積之間的等式，而線段的乘積常常可用面積公式來表示，在證明線段的比例關系時，可用面積比代替線段的比。因此，應用面積關系證明線段的比例式常常是比較簡便的。

比例定理；比例關系；幾何上的應用

在幾何中，把兩個線段的比轉化為某兩個三角形面積的比，這類方程在證明或求解兩線段的比的有關問題中用處很大，下面我們將介紹有關這方面的一個命題。

在證明這個命題之前，我們先介紹用來證明這個命題的一個定理，三角形面積的斜高公式。

斜高公式：在ABC中，設BC=a，在直線BC上任取一點P，設AP=b（我們不妨把AP叫作ABC在BC邊上的斜高），AP與 BC所成的角（銳角或鈍角任取其一）為C，那么有：absinC，其中S△ABC表示△ABC的面積。

如圖（1）的情形，直接應用三角形的面積公式有：

如圖（2）的情形，可以由S△ABC=S△APC-S△APB作類似推導證得：

如圖（3）的情形也可作類似地證明，這里從略。

下面我們用斜高公式來證明上面所提到的命題—比例定理。

比例定理：若直線PQ交直線AB于M，那么有：

證明點P、Q、A、B的位置有四種情形。

如圖（4），由三角形面積的斜高公式有：

如圖（5）、（6）、（7）的情形可作類似推導，這里從略。

下面我們來看看比例定理在幾何上的重要應用。

例：如圖（10），ABC的中線AD、BE相交于點M，求證：

上例是大家所熟知的命題，讀者不妨將這里的證法與教科書上常用證法作下對比，體會一下應用比例定理解題的優點。

G632.0

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1674-9324（2014）17-0098-01