采用DGCMG的空間站擾動辨識動量管理

王 磊，范高潔，魏傳鋒

（中國空間技術研究院載人航天總體部，北京100094）

采用DGCMG的空間站擾動辨識動量管理

王 磊，范高潔，魏傳鋒

（中國空間技術研究院載人航天總體部，北京100094）

研究長期在軌空間站的動量管理問題。針對動量管理過程中力矩平衡姿態的求解與穩定性進行分析，應用李亞普諾夫方法，給出一種考慮常值姿態干擾的動量管理控制方法，使用雙框架控制力矩陀螺作為姿態控制執行機構，進行動量管理控制仿真。仿真結果表明該方法控制準確、收斂快速，可以作為空間站姿態控制的工程參考。

動量管理；力矩平衡姿態；李亞普諾夫；雙框架控制力矩陀螺

1 引言

空間站平臺長期在軌運行，測控通信、自主導航、熱控以及出艙等任務的約束要求其保持穩定的姿態。同時，重力梯度力矩、大氣阻力力矩以及光壓力矩等干擾將迫使空間站平臺的姿態發生擾動。如果在空間站全壽命過程要求其保持精確的對地定向或其它的固定姿態，意味著將消耗大量的能源、施加持續不斷的姿態保持控制，以抵消所有的干擾力矩。實際上，基于空間站平臺的幾何構型以及質量特性，進行一定的姿態變化可以最大限度的減少干擾力矩的影響，同時空間站絕大多數任務并不要求精確的姿態保持［1］。因此，可以對空間站進行動量管理以滿足上述要求。

大型空間站一般采用控制力矩陀螺（CMG）進行姿態控制，這種動量交換裝置控制的實質就是利用CMG角動量的改變吸收外界力矩對空間站的干擾，從而實現平臺動量的相對穩定。理想情況下，動量管理的目的是將平臺控制在力矩平衡姿態（TEA）處。因此，TEA姿態的研究成為首要問題。早在1966年，Robenon［2］假設氣動力矩為零得到24種可以唯一確定平衡姿態；而文獻［1］在確定TEA的分析過程中考慮了氣動力矩，但假設氣動力矩不隨時間變化。文獻［3］介紹了考慮氣動干擾的力矩平衡姿態和動量平衡姿態求解，文獻［4］在模型線性化的基礎上進行了TEA姿態的穩定性分析，但并未針對非線性模型進行相應結論的推導。本文將分析非線性模型下TEA姿態的穩定性。

目前常用的動量管理方法建立在小角度線性化［5，6］的基礎上。其思路是把空間站的運動模型在期望的力矩平衡姿態附近進行線性化，然后針對得到的線性模型進行控制器的設計。這種方法的優點是控制器設計簡單、方便，但是實際應用中該方法有一定的局限性。首先，這種方法只能用于在軌正常運行的空間站。這時假設平臺姿態偏離TEA并不很大，線性化后的模型可認為具有足夠精度，但如果出現較大異常姿態偏差，則上述控制器不再適用。其次，由于沒有精確的干擾力矩信息，TEA姿態無法準確得知，給模型線性化帶來相當困難。若采用非線性方法則可克服線性控制器的上述局限。首先，非線性控制器基于系統的非線性模型進行設計，沒有小角度條件的限制。其次，無需知道干擾的精確信息，就可以保證系統漸近收斂于TEA［7，8］。

本文首先討論力矩平衡姿態的求解和穩定性分析，接著針對非線性動量管理模型給出擾動辨識動量管理控制器設計，并采用雙框架控制力矩陀螺（DGCMG）作為執行機構進行仿真計算，以驗證動量管理控制器設計的有效性。

2 空間站的力矩平衡姿態

動量管理的目的是使空間站保持力矩平衡姿態。

力矩平衡姿態是指無控情況下，平臺所受所有外力矩作用之和為零時的姿態。這些力矩一般包括系統的慣性力矩、重力梯度力矩和環境力矩等。由于環境力矩難以確定，真正的力矩平衡姿態并不存在［2］。為討論方便，本節假設地球和空間站構成只受中心引力的保守系統，不存在外界擾動。這種忽略環境擾動的假設并不影響分析力矩平衡姿態的力學本質。

2.1 系統平衡位置

為便于論述，首先給出用四元數表示的完整空間站姿態動力學模型［9］：

其中，ω為空間站角速度向量；ωf為空間站軌道角速度，數值為n；I為空間站慣量（不包含動量交換裝置部分）；空間站姿態控制系統的執行機構（CMG）相對空間站的動量矩在本體坐標系Fb中的投影記為h；C為軌道坐標系到本體坐標轉換矩陣，可記為：C=［c1，c2，c3］，其中q=［q1，q2，q3］T。

坐標轉換矩陣C用四元數表示為式（2）：

不考慮干擾力矩的作用，系統平衡點的充分條件是上述各式均為零，則可得到式（3）。

上述方程稱為平衡點方程。對于該方程有兩點需要說明：

1）由平衡方程所滿足的條件，ω=ωf，可知力矩平衡姿態需要滿足空間站本體系與軌道系相對靜止。由此可見，動量管理的效果就是使得空間站盡可能處于平衡位置。

2）為避免動量交換裝置出現飽和奇異，空間站處于平衡姿態時總角動量h應盡可能小。考慮理想無擾情況，假設總角動量達到極限值，即h=0，將該條件以及運動學關系（1）代入平衡點方程（3），進而空間站的平衡點表達式可表示為式（4）。

上式不顯含姿態項，相關的姿態關系包含在列向量c2、c3中。

2.2 平衡姿態的求解

根據坐標轉換矩陣C的性質，可以把c1、c2、c3看作三個相互正交的單位向量。將c1、c2、c3所表示的抽象空間用下圖的歐氏三維空間形象表出。

圖1 C陣空間Fig.1 Space of matrix C

根據向量幾何可知，上式左邊項3n2c3×Ic3，必存在關系3n2c3×Ic3⊥c3，即3n2c3×Ic3位于由c1、c2所組成的平面∏1中。同理可得n2c2×Ic2⊥c2，即n2c3×Ic2位于c1、c3所組成的平面∏2中。由于慣量矩陣I必為正定矩陣，故而有3n2c3×I c3=n2c2×I c2=0。又因為

上式說明在平衡點處，c2、c3為慣量I的特征向量。

由力學知識可知，慣量I的特征向量的物理意義為慣性主軸相對于體坐標系的方向余弦。而根據坐標轉換矩陣的定義可知，c2、c3分別為軌道坐標系相對于體坐標系的方向余弦，因此，在力矩平衡條件下必有空間站軌道坐標系與慣性主軸坐標系的各軸相互平行。對于大型空間站而言，通常假設航天器本體坐標系的各軸與慣性主軸重合，因此無擾動條件下空間站的力矩平衡姿態可以簡述為“空間站本體系與軌道系的坐標軸相互平行”。由于上述兩坐標系各軸均有方向，故而組合之下共有24種力矩平衡姿態。

2.3 力矩平衡姿態的穩定性

實際工程通常將當地水平當地垂直姿態（LVLH）定義為穩定的平衡姿態，這將給控制器設計帶來一定的方便。但所有的24個力矩平衡姿態穩定性有所差別。下面將利用李雅普諾夫穩定性理論來討論力矩平衡姿態的穩定性問題，然后依據平衡姿態的穩定性設計相應的控制器。

系統的廣義能量積分如式（5）所示。

其中V1為相對動能函數，其表達式如式（6）所示。

其中，ωα=ω-ωf。Φ為動力學勢能函數，其表達式見式（7）所示。

由于c2、c3是單位向量，因此式（8）所示關系恒成立。

設o1、o2、o3分別為空間站軌道坐標系的三軸，b1、b2、b3為空間站本體系的三軸。當且僅當o2‖bmax、o3‖bmin時等號成立，其中bmax、bmin分別為慣量最大主軸和慣量最小主軸。從而由上面的分析知，廣義能量積分滿足H≥0當且僅當o2‖bmax、o3‖bmin時等號成立。又對于理想約束的的保守動力學系統而言，積分函數的導數為零，即H·=0。

綜上，廣義能量積分H滿足李雅普諾夫穩定性條件，空間站系統的平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin在李雅普諾夫意義下穩定。

需要注意的是，平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin實質上對應四個力矩平衡姿態，它們分別是：

由上述分析可知，整個系統存在四個穩定的平衡點。顯然每個平衡點均不是全域穩定的，即每個平衡點附近必然存在一個鄰域εi，使得在該鄰域內，此平衡點穩定。

3 擾動情況下的動量管理

針對受常值干擾力矩的空間站，設計動量管理的擾動辨識控制律，可保證系統達到力矩平衡姿態。

3.1 非線性系統控制分析

考慮一個如式（9）所示的簡單的非線性系統。

其中x為狀態變量，u為控制量，d為未知常值干擾。令xe為系統的平衡狀態，即滿足式（10）。

存在定理：假設在平衡點xe的某一鄰域內，存在一個正定函數V（x）且其導數具有如式（11）所示形式。

其中向量a僅在平衡點xe處為0，b·可寫成式（12）。

設計相應的控制律使得式（13）成立。

其中Ka、Kz均為正定矩陣，且有式（14）。

則該控制律可保證系統漸近穩定。

證明：構造李雅普諾夫函數如式（15）。

其中K為一個正定矩陣。那么對該函數求導可得式（16）。

上式可整理為如式（17）所示形式：

其中X定義滿足式（18）。

顯然，必存在正定矩陣K使得P正定，因此有

并且充要條件為X=0，即有式（19）。

由LaSalle不變集原理［10］可得，在該控制律下，系統狀態將漸近收斂于式（20）所示不變集W。

進而證明系統漸近穩定。證畢。

3.2 常值擾動下控制律設計
由于針對不同的空間站質量分布情況，廣義積分的符號特性有差別，所以廣義積分函數不能直接作為李雅普諾夫函數。因此，根據空間站重力梯度穩定特性，分別設計相應的動量管理控制器。
對于重力梯度穩定的空間站，控制律如式（21）所示。

其中z滿足式（22）。

于是上述控制律又可改寫為式（23）。

李雅普諾夫函數如式（24）所示。

對于重力梯度不穩定的空間站，控制律如式（25）～（26）所示。

同時，根據式（20）、式（22）以及式（28）可知，控制收斂后，常值干擾力矩d可由d=-Kzz估算得出。需要指出的是，實際工程中控制結果收斂往往是在期望值附近的某個精度區域內，同理，利用上式進行擾動力矩估算也收斂于實際值的附近區間，而非精確環境力矩值。因此，該方法中的擾動辨識側重在控制計算過程中對干擾力矩的量級以及范圍進行估算，進而提高控制精度和穩定性。

4 DGCMG操縱律

系統控制力矩由五平行構型DGCMG提供。

4.1 相關知識

設初始時刻外框架軸、內框架軸和轉子軸兩兩垂直。DGCMG采用平行構型。

陀螺坐標系定義為初始時刻外框架軸為X軸，內框架軸為Z軸，Y軸由右手定則確定。同時，αi表示第i個DGCMG的內框架角，βi表示第i個DGCMG的外框架角，i=1，2，…，n。五陀螺平行構型DGCMG系統的總角動量如式（29）所示。

其中：

Hi為第i個DGCMG角動量，i=1，2，3，4，5。Hi=IwxΩi。Iwx為轉子軸向慣量，Ω為轉子轉速。

輸出控制力矩uc滿足公式（30）。

4.2 操縱率設計

篇幅所限，下面簡要給出DGCMG操縱律的設計思想和計算公式，詳細內容可參見文獻［11］。

n個DGCMG構成的系統具有2n個自由度，輸出指令力矩需要三個自由度，那么系統擁有2n-3個冗余自由度。利用這些冗余自由度可以在保證指令力矩輸出的前提下對框架角分布進行設計，以期獲得良好的框架角分布以躲避奇異。這也正是本操縱律的設計思想。

在平行構型中，所有陀螺外框架軸平行。由式（30）可看出，外框軸方向的力矩輸出只與內框架角和內框架角速度有關，而與外框架軸相垂直平面內的力矩輸出由外框架角及其速度和內框架角及其速度共同決定。因此，這個控制問題可分解為一個沿外框架軸的一維輸出問題和一個與之正交的二維平面輸出問題。其中，一維問題用以確定內框架指令角速率，而二維平面問題用以確定外框架指令角速率，并對理想分布時的力矩輸出進行補償。具體見公式（31）。

5 采用DGCMG的動量管理仿真算例

雖然針對不同空間站質量分布情況設計了兩種控制器，但其設計原理一致，而且控制方法相同，因此，僅需對其中一種控制器進行仿真驗證，即可證明控制方法的正確性。這里選擇對設計相對復雜的重力梯度不穩定情況的控制律進行仿真計算。

1）空間站初始條件：

空間站處于圓軌道，軌道角速率為n= 0.00675°/s；

空間站初始姿態為

（q1，q2，q3，q0）=［0.0447，0.0447，0.0447，0.997］；

空間站初始角速度為ω0=（0.001，-0.0637，0.001）T°/s。

表1 空間站仿真條件Table 1 Simulation conditions of space station

2）非線性控制器參數

3）陀螺參數

陀螺轉子旋轉軸方向慣量估計值為Iwx= 0.006 kg·m2，轉速為n=5000 r/s。考慮常值干擾。仿真結果如圖2～9所示。

圖2 四元數的時間歷程Fig.2 History of eular parameters

圖3 陀螺角動量的時間歷程Fig.3 History of anglemomentum

圖4 角速度的時間歷程Fig.4 History of angle rate

圖5 控制力矩的時間歷程Fig.5 History of torque

圖2 ～圖5顯示在動量管理控制器的作用下，四元素與姿態角速度都在5個軌道周期內收斂至期望值，同時作為控制執行機構的DGCMG的角動量與輸出力矩也在5個軌道周期內收斂至0。仿真結果一方面說明控制有效，另一方面收斂速度的一致也說明了仿真計算的正確性。需要指出的是：為證明非線性控制器的優點，空間站初始姿態距TEA姿態偏差選取較大，因此初始控制力矩值偏大，但持續時間較短，造成控制曲線的變化不明顯。

圖6 雙框陀螺內框架角曲線Fig.6 The curve of DGCMGs'inner gimble angle

圖6 ～圖9顯示控制力矩陀螺的內、外框架角與框架角速度在5個軌道周期內收斂至期望值。說明陀螺操縱率的正確。同時，對比控制力矩與姿態曲線可以證明陀螺輸出的仿真結果與控制輸出結果一致。進一步證明了控制器的有效性。最終，5只陀螺的內框架角收斂于零，外框架角在［-π，π］之間均勻分布，既體現了操縱率內框架角一致，外框角均布以躲避奇異的設計思想，又與圖3最終角動量收斂于0的結果一致。

圖7 雙框陀螺外框架角曲線Fig.7 The curve of DGCMGs'outter gimble angle

圖8 雙框陀螺內框架角速度曲線Fig.8 The curve of DGCMGs'inner gimble angle rate

圖9 雙框陀螺外框架角速度曲線Fig.9 The curve of DGCMGs'outter gimble angle rate

6 結論

本文研究了空間站力矩平衡姿態與動量管理的問題。首先針對考慮重力梯度力矩的空間站姿態動力學模型進行力矩平衡姿態的求解以及穩定性分析。接著利用李雅普諾夫方法設計了空間站非線性擾動辨識動量管理控制器，并介紹了雙框架控制力矩陀螺的操縱率設計，最后數值仿真證明動量管理控制器的設計合理、有效。可以為我國空間站的精確動量管理提供技術支持和工程參考。建議增加一句本研究成果的意義。

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M omentum M anagement and Disturbance Identification of Space Station Using DGCMG

WANG Lei，FAN Gaojie，Wei Chuanfeng
（Institute ofManned Space System Engineering，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

This investigation focuses on the momentum management of a long-term orbiting space station.Firstly，the solution and its stability of Torque Equilibrium Attitude duringmomentum managementwere analyzed.Then a momentum management controller considering a constant attitude disturbance was given using Lyapunov theory.Finally themomentum management control simulation was carried out to illuminate itwith the steering law of parallelmounted DGCMG.It is proved that the control result is correctand convergent.Themomentum management controller can be applied to the attitude control of space station.

momentum management；torque equilibrium attitude；Lyapunov；double-gimbaled controlmoment gyro

V448.2

A

1674-5825（2014）04-0312-07

2014-02-12；

2014-06-27

王磊（1983-），男，博士，工程師，研究方向為航天器總體設計。E-mail：tuobalei@126.com