杠桿應(yīng)該向哪端下沉

成聯(lián)國(guó)

(昆明市官渡區(qū)第六中學(xué),云南 昆明 650217)

在最新義務(wù)教育教科書2012版的滬科版8年級(jí)物理“科學(xué)探究 杠桿的平衡條件”的習(xí)題中有這樣一道題(課本第190頁(yè)第6題):

圖1

一根杠桿兩端分別掛著質(zhì)量不相等的兩鐵塊,如圖1所示,此時(shí)杠桿靜止.若將兩鐵塊同時(shí)浸沒于水中,杠桿是否依然平衡？若不平衡,哪端下沉？

很多學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該向右邊下沉.因?yàn)楦軛U的左右兩邊都是鐵塊,密度相同,且左邊的鐵塊的質(zhì)量M1明顯大于右邊的質(zhì)量M2,左邊鐵塊的體積V1大于右邊的體積V2(即V1＞V2),左邊鐵塊受到的浮力F1′大于右邊鐵塊受到的浮力F2′,因此應(yīng)向右邊傾斜,右端下沉.

一些教材解讀類參考書中,給出的習(xí)題解答是“杠桿不再平衡,右端下沉”,解析和上面學(xué)生的說(shuō)法基本一致,甚至某出版社的“‘十二五’重點(diǎn)課題高效課堂研究成果”的教案與作業(yè)設(shè)計(jì)書,也是給出這樣的答案.很多教師稍有疏忽也這樣講解,也就不足為奇了.但是真是這樣的嗎？

杠桿應(yīng)向哪端傾斜,主要是看哪端的力和力臂的乘積大,即力矩大,就向哪端傾斜并下沉.

為了簡(jiǎn)化題目,我們認(rèn)為杠桿是在水平位置平衡,如圖2.這樣支點(diǎn)到左端末的長(zhǎng)度L1即為左邊物體通過(guò)細(xì)繩的作用力F1的力臂,支點(diǎn)到右端末的長(zhǎng)度L2即為右邊物體通過(guò)細(xì)繩的作用力F2的力臂.

圖2

1 杠桿兩端掛的是同種物質(zhì),浸沒在水中

當(dāng)杠桿水平位置平衡,且不考慮質(zhì)地均勻的杠桿的質(zhì)量時(shí),左邊的鐵塊受到重力G1和繩子拉力F1的作用而靜止,如圖3.因此F1＝G1＝ρgV1,同理右邊鐵塊也有F2＝G2＝ρgV2.則根據(jù)杠桿平衡原理有F1xL1＝F2xL2,可得

ρgV1L1＝ρgV2L2,所以有V1L1＝V2L2.

當(dāng)把靜止的杠桿上的鐵塊浸沒入水中后,如圖4.杠桿左右兩邊的鐵塊都受到的水對(duì)他們的浮力F1′和F2′.此時(shí)

圖3

圖4

杠桿左右兩端的作用力分別是F1－F1′和F2－F2′,而F1＝ρgV1,F2＝ρgV2,F1′＝ρ水gV1,F2′＝ρ水gV2,所以杠桿左端的力矩為M1＝(F1－F1′)L1＝(ρgV1－ρ水gV1)L1＝(ρ－ρ水)gV1L1.杠桿右端的力矩為M2＝(F2－F2′)L2＝(ρgV2－ρ水gV2)L2＝(ρ－ρ水)gV2L2.

通過(guò)比較,浸沒后杠桿左右兩端的力矩M1＝M2,即(F1－F1′)L1＝(F2－F2′)L2.所以杠桿依然處于平衡狀態(tài).那是不是題目中要考慮質(zhì)地均勻的杠桿的質(zhì)量呢？

假設(shè)杠桿左右兩端的所受的重力分別為G1和G2,在空氣中靜止時(shí),由杠桿的平衡條件有

當(dāng)把靜止的杠桿浸沒入水中后,杠桿的左右兩端的力矩分別為

所以杠桿左右兩端的力矩之差為

假設(shè)杠桿單位長(zhǎng)度的密度為ρ0,則杠桿成為等臂杠桿,杠桿兩端的鐵塊質(zhì)量相等杠桿才能在空氣中平衡.不符合題意.因此不存在.

而又無(wú)法比較V2L2－V1L1＞0,還是V2L2－V1L1＜0.因此無(wú)法斷M1′－M2′＝ρ水g(V2L2－V1L1)大于0還是小于0,所以杠桿不再平衡,但無(wú)法判斷向哪端傾斜,哪端下沉.

很明顯題目中是不需要考慮質(zhì)地均勻的杠桿的質(zhì)量的,而且這是針對(duì)8年級(jí)學(xué)生的習(xí)題.

歸納:當(dāng)杠桿兩端掛的是同種物質(zhì)時(shí),浸沒在水中后,杠桿依然平衡.

2 杠桿兩端掛的不是同種物質(zhì),浸沒在水中

2.1 杠桿兩端掛的是質(zhì)量相同的不同種物質(zhì)

例如:杠桿左右兩端分別掛有質(zhì)量相等的鐵塊和鋁塊,在空氣中杠桿平衡,若將鐵塊和鋁塊同時(shí)浸沒在水中,則杠桿

(A)不平衡,鐵塊一端下沉.

(B)不平衡,鋁塊一端下沉.

(C)平衡.

(D)無(wú)法判斷.

解析:由于鐵塊和鋁塊的質(zhì)量相同,杠桿在空氣平衡時(shí),杠桿是等臂杠桿L1＝L2＝L.而鐵的密度大于鋁的密度,即ρ鐵＞ρ鋁,所以鐵塊的體積V鐵小于鋁塊的體積V鋁,即V鐵＜V鋁.鐵塊受到的浮力F1′就小于鋁塊的浮力F2′.所以(G－F1′)L1＞(G－F2′)L2,杠桿不再平衡,應(yīng)該向鐵塊那一端傾斜并下沉.故選擇(A).

2.2 杠桿兩端掛的是體積相同的不同種物質(zhì)

例如:杠桿左右兩端分別掛有體積相等的鐵塊和鋁塊,在空氣中杠桿平衡,若將鐵塊和鋁塊同時(shí)浸沒在水中,則杠桿

(A)不平衡,鐵塊一端下沉.

(B)不平衡,鋁塊一端下沉.

(C)平衡.

(D)無(wú)法判斷.

解析:由于鐵塊和鋁塊的體積V相同,鐵的密度大于鋁的密度,即ρ鐵＞ρ鋁,所以鐵塊質(zhì)量大于鋁塊質(zhì)量,即m鐵＞m鋁,相應(yīng)的有G鐵＞G鋁.又根據(jù)杠桿平衡原理G鐵L1＝G鋁L2,因此鐵塊一端力臂小于鋁塊那一端的力臂,L1＜L2.當(dāng)鐵塊和鋁塊浸沒入水中后,鐵塊和鋁塊體積相同受到水的浮力相等,F1′＝F2′.由于F1′L1＜F2′L2,G鐵L1－F1′L1＞G鋁L2－F2′L2.所以杠桿不再平衡,應(yīng)向鐵塊那一端傾斜、下沉.故選擇(A).

歸納:當(dāng)杠桿兩端掛的是不同種物質(zhì)時(shí),浸沒在水中后,杠桿不再平衡,杠桿向密度大的那一端傾斜并下沉.

3 杠桿兩端掛的物體的密度小于液體的密度

杠桿兩端懸掛的物體的密度小于液體的密度時(shí),杠桿在空氣中平衡,將物體放入液體中后,物體受到液體的浮力等于物體的重力,細(xì)繩對(duì)杠桿拉力為0.則有:(1)當(dāng)不考慮質(zhì)地均勻的杠桿質(zhì)量時(shí),杠桿依然平衡;(2)當(dāng)考慮質(zhì)地均勻的杠桿質(zhì)量時(shí),杠桿向力臂長(zhǎng)的那一端傾斜,并下沉.

因此,以下所有討論中物體的密度(包括等效后的密度)都大于液體的密度.

4 杠桿兩端掛上物體后的特殊情況

(1)杠桿兩端所掛的物體是空心物體,或有一個(gè)是空心物體.

以上問(wèn)題討論都是建立在不考慮杠桿的質(zhì)量,杠桿兩端所掛的物體是實(shí)心物體,且物體的密度大于液體的密度.如果杠桿兩端掛的不是實(shí)心物體情況又會(huì)怎樣呢？受影響于空心部分體積大小,但主要取決物體的總體積和質(zhì)量,經(jīng)等效后物體的平均密度(即物體的質(zhì)量與總體積的比值).

①若等效后左右兩端的平均密度相同,則物體浸沒于液體中后,杠桿依然平衡;②若等效后左右兩端的平均密度不同,則物體浸沒于液體中后,杠桿向密度大的一端傾斜,并下沉.

(2)杠桿在讓兩端物體的下底面處在同一水平面上,實(shí)心物體從接觸水面到完全浸沒于水的過(guò)程中,杠桿應(yīng)向哪端傾斜呢？與物體形狀和質(zhì)量分布有著重大關(guān)系,情況也較為復(fù)雜,因此不再討論.

5 質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿,兩端掛上不同的物質(zhì)在空氣中平衡后放入同種液體中

質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿(不考慮杠桿的質(zhì)量),兩端掛上密度為ρ1和ρ2的物體在空氣中平衡,如圖5.當(dāng)把物體浸在密度為ρ液液體中,若該物為實(shí)心物體,密度ρ1和ρ2為兩物體的密度,若物為空心物體或有空心物體,密度ρ1和ρ2為兩物體的等效后的平均密度.情況又會(huì)怎樣呢？

圖5

當(dāng)杠桿在空氣平衡,很容易得到G1L1＝G2L2,即ρ1gV1L1＝ρ2gV2L2.

當(dāng)杠桿浸沒在水中,左右兩邊的物體都受到水的浮力F浮＝ρgV.此時(shí)杠桿左端的力矩M1＝ρ1gV1L1－ρ液gV1L1,杠桿右端的力矩M2＝ρ2gV2L2－ρ液gV2L2.

杠桿左右兩端的力矩之差為M1－M2＝(ρ1gV1L1－ρ液gV1L1)－(ρ2gV2L2－ρ液gV2L2)＝ρ液g(V2L2－V1L1).

(1)當(dāng)ρ1＝ρ2＞ρ液時(shí),由ρ1gV1L1＝ρ2gV2L2,得V1L1＝V2L2所以M1＝M2,杠桿依然平衡;

(2)當(dāng)ρ1＞ρ2＞ρ液時(shí),由ρ1gV1L1＝ρ2gV2L2,得V1L1＜V2L2,所以M1＞M2,杠桿不再平衡,杠桿向左端傾斜,即向物體密度大的一端傾斜;

(3)當(dāng)ρ液＜ρ1＜ρ2時(shí),由ρ1gV1L1＝ρ2gV2L2,得V1L1＞V2L2,所以M1＜M2,杠桿不再平衡,杠桿向右端傾斜,即向物體密度大的一端傾斜.

綜上論述,質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿兩端掛上不同的物體在空氣中平衡,浸在同種液體中后,杠桿是否再平衡,主要是討論兩端物體的密度(包括等效后的平均密度):①杠桿左右兩端密度相同物體,浸沒在同種液體中后,杠桿依然平衡;②杠桿左右兩端密度不相同物體,浸沒在同種液體中后,杠桿不再平衡,杠桿向密度大的一端傾斜,并下沉.

6 質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿,兩端掛上不同的物質(zhì),放入密度不同的液體中

圖6

質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿(不考慮杠桿的質(zhì)量),兩端掛上密度為ρ1和ρ2的物體在空氣中平衡,如圖6.當(dāng)把物體浸沒在密度為ρ3和ρ4液體中,若物體為實(shí)心物體,密度ρ1和ρ2為兩物體的密度,若物體為空心物體或有空心物體,密度ρ1和ρ2為兩物體的等效后的平均密度.情況又會(huì)怎樣呢？

當(dāng)杠桿在空氣中平衡時(shí)有ρ1gV1L1＝ρ2gV2L2＝M0(M0＞0).

當(dāng)把杠桿放入密度分為ρ3和ρ4液體中后,杠桿左端的力矩為M1＝ρ1gV1L1－ρ3gV1L1.杠桿右端的力矩為M2＝ρ2gV2L2－ρ4gV2L2.

則杠桿左右兩端的力矩之差為

(1)當(dāng)M1＝M2時(shí)物體密度與液體密度的比值相等時(shí),杠桿依然平衡;

(2)當(dāng)M1＞M2時(shí)杠桿不再平衡,向杠桿左端傾斜并下沉,即杠桿向物體密度與液體密度比值大的一端傾斜并下沉;

(3)當(dāng)M1＜M2時(shí),杠桿不再平衡,向杠桿右端傾斜并下沉,即杠桿向物體密度與液體密度比值大的一端傾斜并下沉.

綜上論述,質(zhì)地均勻的輕質(zhì)杠桿,兩端掛上密度不同的物體在空氣中平衡,浸在密度不同的液體中后,杠桿是否再平衡,主要是討論兩端物體密度(包括等效后的平均密度)與液體密度的比值,即密度比:①密度比相等時(shí),杠桿依然平衡;②密度比不相等時(shí),杠桿不再平衡,杠桿向密度比大的一端傾斜,并下沉.

我們?cè)谟懻摳軛U的平衡問(wèn)題時(shí),杠桿平衡是因左右兩端力和力臂的乘積(即力矩)相等;杠桿不平衡,杠桿應(yīng)向哪端傾斜,主要是看哪端的力和力臂的乘積大,即力矩大,就向哪端傾斜并下沉.物體浸沒在液體中后,原來(lái)是比較繁難杠桿平衡問(wèn)題,反而可以簡(jiǎn)化為比較杠桿左右兩端物體密度和液體密度的比值,即密度比,于是就輕而易舉地解決問(wèn)題了.