對“理想模型”掌握得不“理想”原因的探討

陳 坤 印曉明

(江蘇省南菁高級中學,江蘇 江陰 214437)

1 問題的提出

建立模型是研究物理的常規思路.理想模型是各類模型當中最重要的一類,一般可分為理想對象模型、理想條件模型和理想過程模型.理想模型在教材中廣泛存在,例如,質點、輕繩(桿)、理想氣體,彈性碰撞等等.作為考察新熱點的理想模型,常出現在高考,自主招生和物理奧賽中.從卷面來看,實際的教學效果似乎在印證一句諺語:“因為常見,所以漠視”,學生掌握得并不理想.可見,分析學生產生困難的原因,理解常見理想模型的特殊性質,對于培養學生的科學素養有現實意義.

2 各類型考試中理想模型示例

圖1

題1.(2012年江蘇卷第14題)某緩沖裝置的理想模型如圖1所示,勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連,輕桿可以在固定的槽內移動,與槽間的滑動摩擦力恒為f.輕桿向右移動不超過l時,裝置可安全工作,一個質量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧,將導致輕桿向右移動l/4.輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,且不計小車與地面的摩擦.為使裝置安全工作,允許該小車撞擊的最大速度vm.

簡析:本題重在考察“輕彈簧,輕桿”這種“輕質物體”理想模型.作為新熱點,該模型在2011年江蘇卷第9題也有涉及,得分率很低.學生錯誤的根源在于不了解“輕質物體”的特性:所受合力必為0,否則該物體的加速度會趨向無窮大.本題“輕彈簧,輕桿”系統受到的合力始終為0,所以無論小車是以v0還是以vm撞擊彈簧,只要輕桿移動,彈簧產生的彈力均應等于f(kxm＝f),彈簧的形變量應保持在儲存的彈性勢能相同.由能量轉換關系,

題2.(2010年“華約”自主招生第1題)在光滑的水平面上有一質量為M、傾角為θ的光滑斜面,其上有一質量為m的物塊,如圖2所示.物塊在下滑的過程中對斜面壓力的大小為多大？

圖2

圖3

簡析:本題最常見錯誤是學生錯判模型,簡單地認為這是最常見的“光滑斜面”模型,N＝mgcosθ.他忽視了斜面同時在向左加速.應該對物塊和斜面分別使用牛頓第二定律.如圖3.設物塊對斜面的壓力為N,物塊m相對斜面的加速度為a1,設物塊對斜面的壓力為N,物塊m相對斜面的加速度為a1,斜面的加速度為a2,方向向左;則物塊m相對地面的加速度為ax＝a1cosθ—a2,ay＝a1sinθ.由牛頓第二定律:對m有 Nsinθ＝m(a1cosθ－a2),Ncosθ＝ma1sinθ;對M有 Nsinθ＝Ma2,則

圖4

題3.(第26屆全國物理奧林匹克復賽第2題)如圖4,正方形輕質剛性水平桌面由4條完全相同的輕質細桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處,桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上.已知桌腿受力后將產生彈性微小形變.現于桌面中心點O至A的連線OA上某點P施加一豎直向下的力F,令求桌面對桌腿1的壓力F1.

簡析:本題重在考察剛體這種模型的特性.關鍵是學生不理解“剛體不發生形變”的本質,即A、P、C3點始終在一條直線上,無法列出最有價值的一個方程

F1,F2,F3,F4為桌面對4個桌腿的壓力(由于對稱,F2＝F4).其余方程容易得到,由受力平衡可知

由力矩平衡可得

3 “理想模型”掌握得不“理想”的常見原因

3.1 不理解模型的本質是產生問題的根本原因

理想模型脫胎于常規物體,但做了簡化與提煉,產生了一些異于常規物體的性質.這些性質如果沒有特別關注,容易形成盲區,成為考試中重要的失分點.以出現頻度較高的輕繩、輕桿和剛體為例.

(1)輕繩:不計質量,不考慮伸長的線狀理想模型.其特點為:①輕繩上張力處處相等;②輕繩兩端的質點沿輕繩方向速度分量相等;③在輕繩繃緊的瞬間,沿繩方向的速度出現減小,往往意味著系統機械能損耗.

(2)輕桿:不計質量,不考慮伸長的桿狀理想模型.其特點為:①輕桿受到的合力必為0,否則其線加速度為＋∞;②輕桿受到的合力矩為0,否則其角加速度為＋∞;③由于其不計形變,故輕桿兩端質點沿桿方向的速度分量相等.

(3)剛體:形狀和大小不發生變化的理想模型.其特點為:①兩接觸物體在接觸點法線方向上的速度相等;②剛體上所有質點之間的距離不變;③剛體上所有質點同時參與剛體的平動與轉動,是平動與轉動速度的合速度.

3.2 常見模型的思維定勢會干擾對理想模型的理解

很多學生拿到題目之后會不由自主地搜尋以前訓練過的模型,找到熟悉的解法,這是正常的心理認知過程.瑞士心理學家讓·皮亞杰在其著作《發生認識論原理》中指出,當學生在面臨新的問題和情景時,總是試圖利用原有思維模式,也就是自己的思維定勢去解決問題.如果成功,則獲得認知上的平衡.如果不成功,便導致認知上的沖突也就是思維障礙.［1］但是,過強的思維定勢有時會產生“副作用”,學生經常不注意比較舊模型或新題目的差異,或者無力辨別二者的差異,犯下方向性錯誤.

題4.如圖5所示,玩具列車由許多節車廂組成,它以恒定速率沿水平軌道行駛進入“死圈”,列車全長為L,圈半徑為R,(L＞2πR).問:列車應具有多大的初速度v0,才能確保不讓一節車廂脫離軌道？

圖5

圖6

本題的關鍵在于在最高點速度的求法,學生很容易把它與圖6的常規典型模型相混淆,認為在最高點速度至少為臨界狀態是支持力N＝0,故

圖7

實際上列車并不能視為質點,取最高點極短的列車作為研究對象,除重力外還受到兩側車廂的拉力,如圖7.

其中Δm＝R·Δθ·λ.由虛功原理可得T＝2Rλg.則v2＝3gR.由機械能守恒有

3.3 忽視理想模型的適用條件讓人扼腕嘆息

圖8

學生在過度訓練后易于產生思維定勢,在做題的時候往往忽視理想模型的適用條件.

題5.(2011年浙江高考第16題)在鐵芯上、下分別繞有匝數n1＝800和n2＝200的2個線圈,如圖8上線圈兩端u＝51sin314tV的交流電源相連,將下線圈兩端接交流電壓表,則交流電壓表的讀數可能是

(A)2.0V.(B)9.0V.

(C)12.7V.(D)144.0V.

學生忽略此題并未提及“理想鐵芯”,應該存在“漏磁”,上下鐵芯中的磁通量并不相等,但仍按照理想變壓器的規律去處理,導致得分率極低,實際上答案只能為(A).

4 改善學習理想模型現狀的思考

4.1 培養學生努力學會構建理想模型

理想模型既是學習內容,更是研究手段.引導學生理解“為什么要建立理想模型”和“如何建立理想模型”比重復訓練各種模型的考題要重要得多.理想模型一般分為3類:理想條件模型,理想對象模型和理想過程模型.其中前2種模型容易理解,分別是條件理想化(忽略次要條件,抓住主要條件),實體理想化(對一般的實體模型進行抽象與簡化).對于“理想過程模型”則要引起分外重視,因為物理學所研究的過程大都是理想化過程.學生在厘清過程,找到該過程對應的物理規律方面多有欠缺,需要著力改進.

培養學生建模能力,就是在努力提高學生的科研素養.這種能力培養雖然非朝夕可得,但必須認真引導,因為它對于學生掌握科學研究的思維方法,養成良好的思維品質具有重要作用.一般來說,建立理想模型的過程如圖9所示.［2］

圖9

4.2“一題多解”、“一題多問”可以避免思維定勢,有效融合各模型優勢

高中物理教學不可避免地會進行一定數量的習題訓練,如果在訓練過程中有意讓學生一題多解,一題多問,可以有效改善思維定勢,有效融合各模型優勢.例如,“請設計一種測量電源電動勢和內阻的方法”.大部分學生采用的是課本上提供的“伏安法”模型,如圖10.我們可以繼續設問:課本為何不采用圖11的設計？在此基礎上,提出第3問:如果沒有電流表,你認為可以用什么儀器替換也能達到實驗目的？第4問:如果沒有電壓表,你認為可以用什么儀器替換也能達到實驗目的？引導學生畫出圖12,圖13.提出第5問:請寫出以上4種方法的實驗原理.第6問:試分析這些模型產生誤差的原因并指出各種測量模型對應的等效電源.

圖10

圖11

圖12

圖13

1 葉寶生.從讓·皮亞杰的“適應”理論看中學生物理學習中思維定勢的形成及其作用［N］.首都師范大學學報(社會科學版),2002.

2 胡炳元.物理課程與教學論［M］.杭州:浙江教育出版社,2003.