一道競賽練習題的思維拓展

王 勇

(浙江省浦江中學,浙江 浦江 322202)

在競賽培訓中,對習題的思維拓展是非常重要的,筆者在訓練學生思維拓展方面特別注重這方面的培養.對于同一個問題,如果從不同的角度,不同的知識去理解它,會有不同的認識和觀點.

一題多解對拓展學生的思維邊界,提升學生的思維能力對競賽的學生尤為重要.在這里針對運動學的一道習題,給出了多種解法和大家交流.

例題.設湖岸MN為一直線,有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成15°角方向勻速向湖中駛去,有一人自A點同時出發,他先沿岸走一段再入水中游泳去追船.已知人在岸上走的速度為v1＝4m/s,在水中游泳的速度v2＝2m/s.試求船速至多為多少,此人才能追上船？

圖1

圖2

解法1:(微元法)如圖1所示,設人在B點剛好能追上船且以自D點處入水所用時間最短.則自D左、右側附近C、E點入水剛好追到船所用的總時間相等.在BC段上取BF＝BE,則應有人走CE段和游CF段用時相等,即當C點無限靠近D點時,E必同時靠近D,由圖近似有故求得θ＝60°.由于此時C點是無限靠近D點,故BC與BD接近重合,即∠BDN＝θ＝60°.由上得出,當人自D點入水沿與岸成θ＝60°方向游泳剛好追到船,對應船速最大設其為v,如圖2所示.過相遇點B作BK⊥BD交MN于K,因θ＝60°所以DK＝2DB,又v1＝2v2則人游DB段與走DK段所用時間相等.故人自出發到在B點追上船的時間等于他由A點走到K點的時間,即在△ABK中由正弦定理有

圖3

解法2:(極值法)如圖3所示,設人沿岸走到D點時,船已航行至C點,此時人入水游泳追船且剛好在B點追上船.在△ACD中由正弦定理有又設船速為v,人由A點走到D點所用時間t,則

代入上式有

在△CDB中,由正弦定理有

設人游過DB段的時間為t′,則BD＝v2t′,CB＝vt′.同樣代入上式得

聯立(1)、(2)式且v1＝2v2,則

又由△ACD可見,要v盡可能大,即需盡可能大,而θ越大則AC越大,需θ盡可能大.又由于α為一常數,易判斷θ－α＝∠ADC為銳角.故sin(θ－α)最大時θ最大.由(3)式可見,當sin(θ＋β)＝1時,sin(θ－α)有最大值,此時對應為θ＝45°,由此β＝45°,則△CDB為等腰直角三角形.由(2)式可得

圖4

解法3:(等效法)如圖4所示,設人在B點剛好追上船,則人可能走多條路徑如A→C→B、A→D→B…等.在這些路徑中費時最少對應著允許的最大船速.如圖在湖岸這邊作∠NAP＝30°,自C、D、E各點分別向AP引垂線CK、DH(設B、D、H剛好在一直線上)和EF.設想圖中MN的下側也變成了湖水區域,則人由K點游泳至C點的時間與人在岸上由A走至C點的時間是相等的(因v1＝2v2,而AC＝2KC),故人按題給情況經A→C→B所用的時間和假想人全部在水中游過路徑K→C→B相等.同理,與上述的另兩條實際路徑等時的假想路徑是H→D→B和F→E→B.由于在這些假想路徑中速度大小都一樣,故通過路徑最短費時少,顯然是通過直線HDB費時最少.

由以上分析可知,人沿等效路徑HDB剛好在B點追上船時,對應允許船速的最大值.設其速度為v則有由于△AHB為等腰直角三角形,則,故

解法4:(圖像法)如圖5所示,設人自開始運動歷時t.若人自一開始就跳入水中游泳,則他可以達到以A為圓心、以v2t為半徑的半圓形水面上的任何一點.若他一直在岸上走,則可走到AF＝v1t的F點.若他先在岸上走一段再入水中游,如在C、D、E各點入水,則可分別達到以C、D、E為圓心的較小的半圓形水面范圍內的任何一點.可見,只要選擇恰當的入水點和入水后恰當的游向,人在時間t內可達到圖5中PQF水面區域內的任何一點,而此區域外的任何一點,都不可達到.可見在時刻t時,若船還在此區域內,則人總可以追到船,否則人將追不到船.臨界情況是船剛好在時刻t時到達此區域的邊界線上,如圖中的B處,此情況對應允許的船速最大值.在直角ΔAKF中,由于AF＝2AK,所以∠AFK＝30°.

圖5

而∠ABF＝180°－(∠AFK＋α)＝135°.

在△ABF中有

又有

圖6

解法5:(演繹法),設船出發后歷時t被人追上,則船在t內的位移為s＝vt,又設人在岸上走的時間為kt(0＜k＜1),位移為s1＝kv1t,則人在水中游泳時間為(1－k)t,對應的位移為s2＝(1－k)tv2.上述3段位移構成如圖6所示的封閉三角形.由余弦定理有

將s、s1、s2的函數式及v1、v2、α的值代入并整理有

將上式看作是關于k的二次方程,結合本題的實際可知它必有實數解,故應有Δ≥0即解此不等式得由本題的條件可知,只能取即若要人能追上船,最大船速

圖7

解法6:(演繹法)如圖7所示,設人自岸上某處沿與岸成θ角的方向游去,恰與船相遇于B點,設B點與岸相距為d,BA在岸上的投影長為L,則人由A至B所歷的總時間為

上式說明t與θ有關,且在d、L、v1、v2一定時由θ決定.現研究函數

有

將(3)式展開并整理有

將上式看成是關于cosθ的二次方程,則對應每一個實際可能的過程,都應有實數解,故

圖8

解法7:(矢量法)設人先在岸上走一段時間,在入水游泳追船.以船為參照物,由于人和船是同時由A出發,則人在岸上走時,船看到人正在由船所在位置逐漸“離去”,離去的相對速度為u1.人在水中游時,船則看人正逐漸“返回”,其返回的相對速度為u2.要人“返回”到船上,則u1與u2必方向相反.

由速度合成的矢量三角形法則可知,u2矢量末端必終止在圖8所示的u1的反向延長線上.為使v盡可能大,即要盡可能大(因v2的大小是恒定的),故圖中v2應盡可能短,這對應于v2與圖中虛線垂直的情況.同時由于v1＝2v2,可見圖中v2與v1的夾角為60°,則由－v、v2、u23個矢量組成一等腰直角三角形,故有

圖9

解法8:(比較法)如圖9所示設想MN為光的甲、乙兩介質的分界面,光在甲介質中的速度為v1,在乙介質中的速度為v2,則當乙介質中的B點發出的光以臨界角入射到分界面上時,將產生有折射光在甲介質中沿界面由D至A的“掠射”現象.由費馬原理,可知B→D→A是光線由B傳至A費時最少的路徑.將此結論類比于本題中人由A點至B點的情況,即人應取A→D→B的途徑費時最少.(下同解法1,略)