平面極坐標系在高中物理競賽中的應用

殷正徐

(江蘇省沭陽高級中學,江蘇 沭陽 223600)

1 極坐標系簡介

為了描述質點平面運動,可以在該平面建立極坐標系,如圖1所示.在參考系上取點O,引有刻度的射線Ox稱為極軸,即構成極坐標系.設質點運動至A點,引,稱為質點的矢徑;質點位置矢量與極軸所夾的角φ稱為質點的幅角,通常規定自極軸逆時針轉至位置矢量的幅角為正,反之為負.r和φ與平面上質點的位置一一對應,稱為質點的極坐標.

在極坐標系中亦可對矢量進行正交分解.質點在A處,沿位置矢量方向稱為徑向,沿此方向所引單位矢量叫徑向單位矢量,記作;與此方向垂直指向φ增加的方向稱為橫向,沿此方向的單位矢量叫橫向單位矢量,記作

圖1

圖2

2 質點在極坐標系中運動的描述

(1)質點的運動方程:r＝r(t),φ＝φ(t).

(2)質點的軌跡方程:r＝r(φ).

如圖2,質點在Δt時間發生一段位移Δr,速度的變化量為Δ

3 極坐標系在高中物理競賽中的應用

3.1 繞定點轉動

例1.如圖3所示,拖車A在水平的河岸上,通過定滑輪拖動河中的船B,當拖車A的速度達到vA時,它的加速度為aA,此時OB繩與水平方向的夾角為θ,B到O的距離為L.求:此時船B的速度vB及加速度aB.

圖3

解析:如圖4所示,以O點為極點,水平向左方向建立極坐標系Ox,小船B的運動可看成兩個分運動的合成:一是B沿繩方向靠近O點的分運動,即徑向運動;另一個是垂直于OB繩方向的運動,即橫向運動.B的徑向運動應與拖車的運動有相同大小的各個運動量.

圖4

將B的運動沿徑向和橫向分解可知,

圖5

對加速度,如圖5所示,B沿繩方向的分運動的加速度由兩部分組成,其中表示物體沿徑向運動產生的加速度,等于沿繩方向的加速度aA,而表示由于矢徑的轉動所產生的加速度,與aA方向相同,得由矢量運算法則可知

在求本題加速度時有一種典型的錯誤解法:認為船B沿繩方向的加速度就是拖車A的加速度,即ar＝aA,得aB＝aA/cosθ.錯誤原因就是死記拉船模型中船速度應該沿繩和沿繩垂直的方向分解的結論,而不清楚這樣分解是依據極坐標系.并且想當然地認為加速度的分解應該與速度相同,于是犯了上述錯誤.

圖6

例2.(2011年華約第2題)如圖6所示,紙面內兩根足夠長的桿AB、CD都穿過小環M,桿AB兩端固定,桿CD可以在紙面內繞過D點并與紙面垂直的固定軸轉動.若桿CD從圖示位置開始,按照圖中箭頭所示的方向,以均勻角速度轉動,則小環M的加速度

(A)逐漸增加.(B)逐漸減小.

(C)先增加后減小.(D)先減小后增加.

圖7

解析:如圖7所示,設D到AB的距離為h,作Dx∥AB,以D點為極點、Dx為極軸建立平面極坐標系.設DC與Dx所成角度為φ,則小環M的極角為

小環M的極徑為

將(1)式對時間求導得

小環M的速度分解為徑向速度vr和橫向速度vφ.

根據(2)、(3)兩式得

根據矢量的合成與分解法則得

其中－φ為矢徑r到速度的角度.

小環M的加速度a分解為徑向加速度ar和橫向加速度aφ,只需求出兩者中的任意一個就可以求出小環M的加速度.由極坐標加速度公式可以看出本題求解相對簡單.

由(4)式得

由(3)式對時間求導得

由(3)、(5)、(6)式得

由加速度的合成與分解得

由于圖中φ變小,a變大,故正確答案是(A)選項.

本題的常見解法是先根據運動的合成與分解求出小環的速度v,然后利用加速度公式求解.雖說得出相同結果,卻過分依賴數學,缺少必要的物理過程分析,不利于學生解題能力的提升.

這道題也可以先求解徑向加速度ar然后進行合成,讀者可以試試.

3.2 星體繞中心天體運動

例3.已知行星繞太陽沿橢圓軌道運動(開普勒第一定律),試證明行星所受太陽引力必定與距離平方成反比.

解析:行星繞太陽作橢圓運動時,在極坐標系中其軌跡方程為

其中p為半正焦弦、e為離心率,是兩個常量.

由(1)式對時間t求導,得

再次對時間t求導,得

極坐標系中徑向加速度ar為

得

根據牛頓第二定律,行星所受的徑向力(即引力)為

對于固定的行星橢圓軌道,L和p均為常量,故引力與距離平方成反比.

討論引力問題選用極坐標系時原點選在不動的引力源上,運動物體受的力均通過原點,是有心力,在極坐標中只有徑向力,沒有橫向力.另外,天體在萬有引力作用下的軌道是圓錐曲線,用極坐標系表示軌跡形式統一簡單,計算比較容易.

例4.(第28屆復賽題)如圖8所示,哈雷彗星繞太陽S沿橢圓軌道逆時針方向運動,其周期T為76.1年.1986年它過近日點P0時與太陽S的距離r0＝0.590AU,AU是天文單位,它等于地球與太陽的平均距離.經過一段時間,彗星到達軌道上的P點,SP與SP0的夾角θP＝72.0°.已知:1AU＝1.50×1011m,引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2,太陽質量mS＝1.99×1030kg,試求P到太陽S的距離rP及彗星過P點時速度的大小及方向(用速度方向與SP0的夾角表示).

圖8

解析:取極坐標,極點位于太陽S所在的焦點處,由S引向近日點的射線Sx為極軸,極角為θ,取逆時針為正向,用r、θ表示彗星的橢圓軌道方程為

其中e為橢圓偏心率,p是過焦點的半正焦弦,若橢圓的半長軸為a,根據解析幾何可知

將(2)式代入(1)式得

以TE表示地球繞太陽運動的周期,則TE＝1.00年,以aE表示地球到太陽的距離(認為地球繞太陽作圓周運動),則aE＝1.00AU,根據開普勒第三定律

在近日點θ＝0,由(3)式得

將θP、a、e的數據代入(3)式即得

可以證明,彗星繞太陽作橢圓運動的機械能

式中m為彗星的質量.以vP表示彗星在P點時速度的大小.根據機械能守恒定律有

可得

代入有關數據得

圖9

設P點速度方向與極軸的夾角為φ,彗星在近日點的速度為v0,如圖9,根據角動量守恒定律有

根據(8)式,同理可得

由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其他有關數據,可得φ＝127°.

解決天體運動問題常用兩個守恒方程,即機械能守恒(如8式)和角動量守恒(如11式),兩式中均含有星體運動半徑(如本題中rP),極坐標系方程中正好包含此半徑,故可以方便地表示兩個守恒方程,而若應用直角坐標系來表示就很麻煩了.

3.3 平面內的追擊問題

例5.(犬狼追擊題)1只狼沿半徑為R的圓形島邊緣以逆時針方向勻速跑動,如圖10所示,狼過A點時,1只獵犬以相同的速率從O點出發追擊狼.若追擊過程中,狼、犬、O點始終在同一條直線上,則獵犬是沿什么軌跡運動的？在何處追上了狼？

解析:如圖11,以OA方向建立極坐標系,設某一時刻獵犬和狼的位置分別為B和C,獵犬到圓心O點距離為r,幅角為φ,設此時獵犬速度為v,與OB方向的夾角為α.

圖10

圖11

由獵犬與狼繞O點角速度相同,得

由上式得

上式兩邊對時間求導

獵犬的徑向速度為

由(2)、(3)式解得

又狼的角速度為

由(4)、(5)式得dα＝dφ,積分得α＝φ＋C.當t＝0時,α＝0,φ＝0,所以有

由(1)、(6)式得r＝Rsinφ.

綜上,狼跑過1/4圓后被獵犬追上.

獵犬追狼問題是高中物理競賽的一個經典例題.該題有很多解法,但有的解法比較繁瑣高中學生不易理解,有的解法看似簡潔卻不夠嚴密.用極坐標解決本題,思路清晰,過程簡潔,體現出極坐標系在解決平面追擊類問題的優勢.

例6.如圖12所示,在外接圓半徑為R的正方形ABCD的4個頂點分別站有一個人,這4個人同時以相同的速率運動.在此過程中,從A點出發者的速度始終指向從B點出發者,從B點出發者的速度始終指向從C點出發者,從C點出發者的速度始終指向從D點出發者,從D點出發者的速度始終指向從A點出發者.試求4個人的運動軌跡.

圖12

圖13

解析:如圖13所示,在某一時刻,從A、B、C、D4點出發的人分別運動到A′、B′、C′、D′點.根據對稱性可知,四邊形A′B′C′D′為正方形.以OA為極軸建立坐標系,則A′點的極坐標為(r,φ).設從A點出發的運動者運動到A′點時的速度為v(矢徑到速度v方向的角度為徑向速度為vr,橫向速度為vφ,則將代入上式并化簡,得對上式積分,得r＝Ce－θ,其中C為積分常數.

由上式可以看出,從A點出發的人的軌跡為一對數螺線.根據對稱性,其他3個人的運動軌跡也為同樣的對數螺線.

例5中物體是從極點出發,例6中物體是最終到達極點,兩個都是平面內追擊問題.此問題初看起來好像無法下手,然而利用極坐標系中徑向速度與橫向速度的大小關系,不僅可以十分方便地解決此問題,而且物理圖像特別清晰.實際上我們可以將此問題中的正方形推廣到正n邊形的情況下,運動者的軌跡為其中R為正n邊形的外接圓半徑.

4 結語

上面6道例題是物理競賽中的常見題型,題中物體的共同點都繞著某個固定點運動,應用極坐標系是解決此類問題的系統方案.最新全國中學生物理競賽內容提要(2013年開始實行)已經明確將極坐標納入考試范圍,可見其重要性和基礎性.除了增加極坐標系之外,內容提要還增加了初等函數的微分和積分,這是非常必要的——沒有微積分的相關數學基礎就無法真正應用極坐標系.

1 漆安慎,杜嬋英.力學［M］.北京:高等教育出版社,1999.

2 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程(力學篇)［M］.合肥:中國科學技術大學出版社,2012.

3 舒幼生.物理學難題集萃(增訂本)［M］.北京:高等教育出版社,1999.

4 鐘小平.高中物理競賽解題方法(力學部分)［M］.杭州:浙江大學出版社,2007.