基于壓縮感知的信號重構研究

何國棟，謝小娟，楊凌云，吳 彬，陳衛松

（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖241000）

0 引言

著名的Nyquist采樣定理是信號處理的基礎，它指出如果要實現信號的無失真重構，采樣信號的頻率必須為信號最高頻率的2倍以上。但這在現實中是很不方便的，如果信號頻率很高，則要求更高的采樣頻率，而且高采樣率也會產生大量的冗余數據，給后期的存儲、傳輸和處理帶來沉重的負擔。Candès，Tao和Donoho[1-4]等人于2006年提出了壓縮感知理論，它建立在矩陣、概率、泛函和最優化等數學知識基礎之上，是一種新的信號采集和處理理論。對可稀疏表示的信號以較低的采樣率進行壓縮采樣，降低了采樣數據的冗余性，僅獲得了較少的觀測數據，且可通過重構算法實現信號的精確重構[5-7]。壓縮感知新穎之處在于它突破了傳統的Nyquist采樣定理，目前已經成為研究的熱點，研究涉及的領域[8，9]包括圖像處理、信號處理、醫療成像和無線通信等。

1 基本理論

壓縮感知理論對信號的采樣不同于Nyquist采樣定理，它主要包括信號的稀疏表示、測量矩陣和信號的重構算法3個部分。信號的稀疏表示是壓縮感知的理論基礎，是壓縮感知實現的前提條件;測量矩陣相當于一個傳感器，它對信號進行觀測，并得到較少的觀測值，實現了信號的壓縮采樣;重構算法實現欠定方程的稀疏重構，恢復原來的信號。

1.1 信號的稀疏表示

一個信號含有較少的非零值就稱為稀疏信號，但實際中的信號多為非稀疏的，如果N×1維信號x在某個N×N維正交基ψ下可以稀疏表示為:x=ψs，其中s只有K個非零值，其余N-K個值為0或近似為0，其中K＜＜N，則稱信號是K-稀疏信號或可以稀疏表示的，正交基滿足:ψTψ=ψψT=I，也稱為稀疏字典。稀疏表示是壓縮感知的基礎，在壓縮感知中使用的變換基有離散余弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基以及冗余字典等。通過稀疏表示后，稀疏信號s可以表示為:

1.2 測量矩陣

測量矩陣φM×N相當于M個傳感器，它是一個M×N（M＜＜N）維的矩陣，它與信號稀疏表示的正交基須不相關，將測量矩陣與原信號x相乘，獲得M×1維壓縮信號:

如式（2）所示，yM×1是一個M×1維的向量，即為通過壓縮感知獲得的原信號的觀測值。ΘM×N稱為感知矩陣，其方程個數遠小于未知數的個數，是一個欠定方程，從該方程重構原信號一般很難得到準確解答，但大量的實驗表明，如果s是稀疏信號，且方程的個數M和感知矩陣滿足一定條件時，可以通過重構算法得到稀疏解。

感知矩陣必須滿足約束等距性質（Restricted Isometry Property，RIP）[10]，如式（3）所示，有K-稀疏信號s，對于任意v∈R和常數δk∈（0，1），感知矩陣ΘM×N滿足:

Candès指出，準確重構一個K-稀疏的信號，所需要的測量次數M要滿足:M=o（kln（n）），滿足這些條件，可通過相關重構算法實現信號的高概率重構。常用的測量矩陣有高斯隨機矩陣、貝努利矩陣、Toeplitz矩陣等。

1.3 信號重構算法

壓縮感知的重構是由M個測量值恢復出原信號x，由于這是個欠定方程組，一般使用lo范數（即向量中非零元素的個數）最優化求解，如式（4）所示:

Donoho指出，上式的求解是個NP-hard非凸優化問題，需要組合優化才能找到最優解，當N很大時，這種解法幾乎無法找到最優解[11]。在滿足一定條件下，可以用l1范數代替lo范數找到方程的最優解，轉化為一個凸優化問題，如式（5）所示:

l1范數求解實現的算法有內點法和梯度投影法。壓縮感知信號重構算法較多，其中重構速度較快的正交匹配跟蹤算法也受到廣泛關注，它是貪婪算法的一種，其基本思想是通過迭代從過完備原子庫中選擇與信號最匹配的原子來構建稀疏逼近，并通過正交化達到最優迭代，能夠較快地實現信號的重構。

2 試驗結果與分析

應用matlab對壓縮感知進行重構仿真，選擇三類具有代表意義的信號作為仿真原信號，分別為時域稀疏的超寬帶信號、頻域稀疏的正弦波疊加信號和二維的圖像信號。

2.1 超寬帶信號

超寬帶無線通信技術，具有抗干擾能力強、低功耗和低成本等優點，現已成為無線傳感網、射頻標識等領域研究的熱點。以高斯調制的正弦波脈沖超寬帶信號為例，信號在時域大部分時間都為零，也即具有時域稀疏特性，滿足壓縮感知理論的要求。對超寬帶信號進行仿真重構，實驗中信號頻率為5GHz，仿真結果如圖1所示。由圖1可見（為便于觀看，放大了信號時域圖形），仿真重構效果較好，重構誤差為2.2576×10-6。

圖1 超寬帶信號與重構

2.2 正弦波疊加信號

正弦波信號頻譜單一，是通信和信號處理常用的基本信號，它在頻域具有稀疏特性。以兩個正弦波疊加信號為例，對其進行壓縮感知重構。原信號時域、頻域圖形以及重構結果如圖2和圖3所示，從時域和頻域圖中可以看出，仿真重構效果較好，重構誤差為2.9572×10-6。

圖2 兩頻率正弦波疊加信號時域和頻域圖

圖3 正弦波疊加信號與重構

2.3 二維圖像信號

以上2個實驗都是局限在一維信號，現實中還有很多高維信號，如二維圖像和三維圖像信號等。圖像信號在小波域分解也具有稀疏特性，滿足壓縮感知理論分析的要求。以二維“House”圖像為例，對其進行壓縮感知重構實驗。重構結果如圖4所示，重構圖像其峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值為33.648，重構圖像清晰，邊界分明，主觀評價重構效果較好。

圖4 二維圖像與重構

3 結束語

壓縮感知是一種新穎的信號采樣處理理論，將信號的采樣與壓縮統一，實現信號的壓縮采樣。理論分析對可稀疏表示的信號均可通過測量矩陣對信號進行壓縮采樣，并通過優化算法實現信號的重構。對壓縮感知組成部分:稀疏表示、測量矩陣和重構算法進行了介紹，并選取三類具有代表意義的超寬帶信號、正弦波疊加信號和二維圖像信號，進行仿真分析。通過重構實驗可以看出，壓縮感知能夠有效地重構原信號，且重構誤差理想。可進一步研究將壓縮感知應用到超寬帶通信、信號處理和圖像處理中，降低采樣的數據量，減小高速率和高維信號系統的負擔，提高系統的工作效率。

[1]CANDèS E，ROMBERG J，TAO T.Robust Uncertainty Principles:Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52（2）:489-509.

[2]CANDèS E，ROMBERG J.Quantitative Robust Uncertainty Principles and Optimally Sparse Decompositions[J].Foundations of Computational Mathematics，2006，6（2）:227-254.

[3]DONOHO D L.Compressed Sensing[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52（4）:1289-1306.

[4]CANDèS E，TAO T.Near Optimal Signal Recovery from Random Projections:Universal Encoding Strategies[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52（12）:5406-5425.

[5]李樹濤，魏丹.壓縮傳感綜述[J].自動化學報，2009，35（11）:1369-1377.

[6]戴瓊海，付長軍，季向陽.壓縮感知研究[J].計算機學報，2011，34（3）:426-434.

[7]焦李成，楊淑媛，劉芳，等.壓縮傳感回顧與展望[J].電子學報，2011，39（7）:1651-1662.

[8]漆云海，胡鵬，田文飚.多分辨率壓縮感知技術軟件仿真與分析[J].無線電通信技術，2011，37（3）:41-43.

[9]侯猛，李斌，孫學斌，等.基于簇的塊稀疏壓縮感知的60GHz信道估計[J].無線電通信技術，2012，38（6）:32-34.

[10]CANDèS E，TAO T.Decoding by Linear Programming[J].IEEE Trans.Information Theory，2005，51（12）:4203-4215.

[11]DONOHO D L.For Most Large Underdetermined Systems of Linear Equations，the Minimal l1-norm Solution is also the Sparsest Solution[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59（6）:797-829.