同余格范疇中態(tài)射的性質(zhì)

李 靜

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東泰安 271021)

格可以作為一個偏序集來研究，也可以作為一個代數(shù)系統(tǒng)來研究，在格結(jié)構(gòu)中引入同余關(guān)系，從而出現(xiàn)了同余格的概念，有關(guān)同余格的結(jié)論，可以參見文獻(xiàn)［1－2］.本文研究了以同余格為對象，以保格同余關(guān)系的格同態(tài)為態(tài)射的同余格范疇，并得到了此范疇中的態(tài)射的有關(guān)結(jié)論.本文中所涉及的范疇概念，可參見文獻(xiàn)［3］.

定義 1［1］設(shè) θ是格 L 的一個等價關(guān)系，如果對任意的 ai，bi∈L(i=0，1)，由

則稱θ為L上的格同余關(guān)系，簡稱格同余.

注1 格L上的一個等價關(guān)系θ是L×L的子集，所以上述的定義也可敘述為:設(shè)θ是格L的一個等價關(guān)系，如果對任意的 ai，bi∈L(i=0，1)，由(a0，b0)∈θ，(a1，b1)∈θ，可以推出

則稱θ為L上的格同余關(guān)系.

把格L上的所有同余關(guān)系放在一起作成一個集合，記為ConL，在此集合上賦予偏序?yàn)榧系陌颍敲?ConL，?)作成一個偏序集.

定理1［1］若?θ，φ∈ConL，θ∧φ =θ∩φ，且 x≡y(θ∨φ)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個由 L中的元素成的序列z0=x∧y，z1，…，zn－1=x∨y，使得 z0≤z1≤…≤zn－1，且對任意的 i，0≤i≤n －1，有 zi≡zi+1(θ)或 zi≡zi+1(φ)，則ConL作成一個格.

定義2［1］格L上所有同余關(guān)系的集合賦予包含序作成的格稱為同余格.

定理2［1］設(shè)任意格L，則ConL是分配的代數(shù)格.

本文中以同余格為對象，保格同余關(guān)系的格同態(tài)為態(tài)射的范疇，稱為同余格范疇，記作CON.

命題1 僅含有恒等關(guān)系和全關(guān)系的同余格A到任意同余格B的態(tài)射是唯一的.

證明 因?yàn)橥喔穹懂犞械膽B(tài)射f是保格同余關(guān)系的格同態(tài)，從而f是保序的，所以f將恒等關(guān)系映射為恒等關(guān)系，將全關(guān)系映射為全關(guān)系，即f是唯一存在的.

注2 由上述命題可知，同余格范疇中僅含恒等關(guān)系和全關(guān)系的同余格是始對象.例如，模格M3上的所有同余關(guān)系的集合ConM3，僅含恒等關(guān)系和全關(guān)系.

注3 當(dāng)L為單元素格時，ConL也為單元素的同余格.

命題2 任意同余格到單元素的同余格的態(tài)射是唯一的.

注4 由上述命題可知，同余格范疇中含有一個同余關(guān)系(即此關(guān)系既為恒等關(guān)系又為全關(guān)系)的同余格是終對象.

命題3 同余格范疇中，任意同余格到單元素的同余格的態(tài)射是常值態(tài)射.

證明 由命題2知單元素的同余格是終對象，又由常值態(tài)射的定義知此命題顯然成立.

定理3 在同余格范疇中，(i)任意兩個態(tài)射有等化子;

(ii)任意兩個態(tài)射有余等化子.

證明 (i)設(shè)f，g:A→B為任意的保格同余關(guān)系的格同態(tài)，其中A，B為同余格.令E={α∈A|f(α)=g(α)}則E為同余格.設(shè)i:E→A為含入映射，則i保格同余關(guān)系，所以i為CON態(tài)射，且顯然有f?i=g?i.對于任意的保格同余關(guān)系的格同態(tài) e':E'→A，使得 f?e'=g ?e'，即?β∈E'，f?e'(β)=g?e'(β)，所以e'(β)∈E.定義:E'→E為?β∈E'(β)=e'(β)，那么為保格同余關(guān)系的格同態(tài)，并且有e'=i?.

綜上，f，g 有等化子 i:E→A.

(ii)設(shè) f，g:A→B 為CON －態(tài)射，其中 A，B 為同余格.取 θ為 B 上的包含 E={(f(α)，g(α))|α∈A}的最小同余關(guān)系，那么B/θ是一個格.故令同余格C=B/θ，且q:B→C為保格同余關(guān)系的格同態(tài)，故q為 CON －態(tài)射，且顯然有 q?f=q?g.對于任意的 CON －態(tài)射 q':B→C'，使得 q'?f=q'?g，即?α∈A，q'?f=q'?g，所以?α∈A，(f(α)，g(α))∈θ.定義:C→C'為?β∈B，(［β］)=q'(B)，其中［β］=q(B).那么為保格同余關(guān)系的格同態(tài)，并且有?β∈B，q'(B)=(［β］)=(q(β))=?q(B)，即q'=?q.

綜上，f，g有余等化子q:B→C.

注5 由定理3可知同余格范疇中任意同余格都有子對象和商對象.

［1］Gr¨atzer G.Congruence lattices［J］.Theoretical Computer Science，1999(217):279－289.

［2］Davey B.A.，Priestley H.A.Introduction to lattices and order［M］.London:Cambridge University press，1990.

［3］Herrlich H.Category theory［M］.Berlin:Heldermann Verlag，1979.