基于馬爾科夫模型的污染物質量濃度變化規律

覃春喬，陳 星，張其成，王衛平

(河海大學水文水資源學院，江蘇南京 210098)

基于馬爾科夫模型的污染物質量濃度變化規律

覃春喬，陳 星，張其成，王衛平

(河海大學水文水資源學院，江蘇南京 210098)

采用馬爾科夫模型模擬調水過程中太浦河練塘大橋斷面處污染物質量濃度變化過程，并通過構建轉移矩陣，確定進步度，對污染物質量濃度的變化情況進行動態評價，研究污染物質量濃度變化規律。結果表明，調水指標的進步度計算結果整體為正，但局部地區出現負值;隨著調水量的增加，水體自凈能力增強，各指標的進步度普遍提高;調水試驗結束進入水資源常規調度期間，水質長時間保持良好。本研究旨在為制定河湖連通調水方案提供借鑒。

污染物質量濃度;馬爾科夫模型;進步度;引江濟太

太湖流域地形地貌特征獨特，流域內河網密集，水面平緩，在徑流和潮汐的雙重作用以及人類活動的強烈影響下，河道內的水流動性差。太浦河是連接太湖和黃浦江的通道。太浦河及黃浦江一線不僅是太湖洪水的主要下泄通道，而且是流域下游上海、杭嘉湖地區的主要來水水源。上海市根據黃浦江上游來水的水質和水量情況，規劃從東太湖調水，以改善黃浦江上游供水水源地的水質。2002年建設的引江濟太工程，就是通過太浦河增加黃浦江上游的供水量，改善太浦河下游及黃浦江的水質。

在江河湖連通的條件下，水資源引清調度是保持河流水系連通性、維持河湖健康的重要手段。分析水資源引清調度的效果，以確定高效經濟的水資源調度方案，可從水體流動性和水質水環境容量的改善情況來進行。

分析水質變化情況，探索各項污染物質量濃度的變化規律，近年來所采用的方法有很多，歸納起來主要有:模糊可變集合理論［1］，基于灰色系統理論的灰色法［2］，神經網絡法［3］，AHP 法以及主成分分析法［4］。江湖河連通過程中污染物質量濃度的變化受到多種不確定因素的影響，污染物從一個狀態轉移到另一個狀態具有一定的隨機性。基于數學表達式的水質預測模型很難將這些因素都考慮進去，水質評價定性模型也很難考慮所有影響因素。污染物質量濃度的變化過程是一種具有馬爾科夫特性的隨機過程，筆者采用馬爾科夫模型研究江河湖連通調水過程中典型斷面上污染物質量濃度的變化規律，并通過構建轉移矩陣確定進步度的方法對污染物質量濃度變化情況進行動態評價。

1 馬爾科夫模型原理

馬爾科夫模型因安德烈·馬爾科夫而得名。馬爾科夫過程是一種無后效性的隨機過程。一個系統的狀態轉換過程中第n次轉換獲得的狀態常決定于第n-1次的結果，與n-1次之前的狀態無關;這種時間和狀態都處于離散狀態的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈［5］。

假設系統的狀態空間為E={E1，E2，…，En}，而在每一個時間系統只能處于其中一個狀態，因此每一個狀態都有n個轉向(包括轉向自身)，即，Ei→E1，Ei→E2，…，Ei→Ei，…，Ei→En。

在m時刻系統處于狀態Ei的條件下，在m+k時刻系統處于狀態Ej下的條件概率可表示為

當k=1時，即系統在m時刻處于狀態Ei、在m+1時刻處于狀態Ej的條件概率，稱為由狀態Ei經一次轉移到狀態Ej的轉移概率。系統所有狀態的一步轉移概率的集合所組成的矩陣稱為一步狀態轉移概率矩陣，其形式為

此矩陣具有以下兩個性質:①非負性:pij≥0，i，j=1，2，…，n;②行元素之和為1，即

由一步轉移概率的定義可知，k步轉移概率為系統由狀態Ei經k次轉移到狀態Ej的概率，可表示為［6］

因此，系統的k步轉移概率矩陣就是由所有狀態的k步轉移概率集合所組成的矩陣，其形式為

1.1 指標歸一化處理

采用傳統的Zadeh規格化公式［7］:

越大越優型:

越小越優型:

式中:xij為第i項指標第j項狀態的值;ximax為第i項指標所有狀態的最大值;ximin為第i項指標所有狀態中的最小值;rij為規范化后的第i項指標第j項狀態的值。

在評價指標中，有的指標特征值變化范圍較大，有的變化范圍小，在規格化過程中，就會夸大特征值變化范圍較小的指標在評價中的相對作用，使評價結果偏離實情。利用改進的Zadeh公式可克服該缺點。改進的Zadeh公式為

1.2 劃分質量狀態

根據所要評價水環境的特點和實際需要，將水環境質量狀態劃分為N個級別，對于有限個狀態空間表示為E={1，2，…，N}。最常見的根據水環境質量標準中水質類別，將指標值劃分為6個狀態。實際情況中，某一個指標的監測值大量集中在一個水質類別中，若單純按照水質分類，將達不到判斷水質變化趨勢的目的。此時按水質分類的方法不適用，需要人為規定隸屬范圍更小、隸屬度更精細的狀態劃分標準［8］。

本文將規格化后的指標劃分為11個質量狀態，即E={1，2，…，11}，具體劃分見表 1。

表1 馬爾科夫規格化后指標質量狀態劃分

考慮水環境改善力度以及目標效果盡可能最優，將上述臨界點狀態下的值歸屬于較高狀態區間。劃分質量狀態之后，對每個指標規格化后的值將其隸屬到某個狀態內，得到指標隸屬矩陣R=rij∈E。

1.3 求各指標權重

采用離差最大化賦權法，令wmax=1，其余權重按比例相應放大，即

離差最大化賦權法公式［9］為

式中:wj為第j項指標初始權重;W'為指標規范化后的權重;rkj為規范化后的第k項指標第j項狀態的值;m為指標數，n為監測次數。確定初始矩陣A，矩陣A中的數值采用進一法原則進行整數化。

1.4 求概率轉移矩陣

得到初始矩陣后，便可根據指標隸屬矩陣來計算轉移矩陣。假設共有m個指標進行了n次監測，在這n次監測中，相鄰的兩次監測指標由i級轉變成j級的總數為kij，i，j=1，2…，11，且默認第n次監測值轉為本身，i級內的原始樣本的數為Ki，則i級j級的轉移概率［10］pij為

轉移矩陣即為P=(pij)N×N(N為劃分狀態的個數)。

1.5 求絕對進步度

由計算得到的轉移矩陣P已可對水質的未來發展進行預測，也可對監測期內的水質動態發展有一個大致的了解，但為了更明確地顯示水質的變化情況，需要做進一步計算，在此引入進步度［11］的概念。

假設:①水質改善，進步度為正;水質惡化，進步度為負;②水質改善或惡化越明顯，進步度的絕對值越大［8］。

根據以上假設，定義進步度sij為

式中:i，j=1，2…，11，則 s=(sij)N×N稱為概率轉移矩陣P的進步矩陣，，稱為絕對進步度。

1.6 求相對進步度

為了更易于比較各指標的動態發展情況，需要將d(s)進行規格化，使水質改善最大的相對進步度為1，水質惡化最嚴重時的相對進步度為-1，限定相對進步度D(s)的范圍為［-1，1］。

式中，N為劃分狀態的個數，本研究中，N=11［12］。

進步度是一個范圍在［-1，1］之間的數。這個數大于零，說明污染物指標質量情況是改善的，反之則是惡化的。進步度絕對值越大，說明水質改善或惡化的程度越大。進步度是一個概率統計參數，可以宏觀定量分析水質水量的關系，不受個別突變值的影響。

2 實例應用

練塘大橋位于太浦河下游，是控制黃浦江水質的重要斷面。表2為太浦河練塘大橋斷面在調水試驗期間的實測流量和水質情況(這里將CODMn、NH3-N、TP、TN、引水流量5個指標作為水環境安全的指標體系)。

表2 太浦河練塘大橋斷面引水流量和水質情況

根據質量狀態劃分標準，將太浦河練塘大橋實測的流量數據以及水質數據劃分隸屬度矩陣R。根據離差最大化賦權法公式，通過matlab程序編寫求得初始矩陣E以及權重。

其中，w=(1，0.2621，0.9272，0.2864，0.3447)T。

已知流量的基礎上，CODMn的影響力變化程度大于其他指標因子。通過CODMn變化情況由公式求得練塘大橋馬爾科夫轉移概率矩陣為

建立matlab程序求解進步度結果為

由圖1看出，調水指標相對進步度計算結果整體為正，局部地區出現負值，并且隨著調水流量的增加，污染物自凈能力增加，各指標進步度普遍提高，調水試驗結束后的水資源常規調度期間，相對進步度為正，說明水質長時間保持良好。

圖1 CODMn相對進步度計算曲線

當引水流量達到300 m3/s時，太浦河向外排水，此時，太浦河水體污染物質量濃度隨著流量的增加而降低，水質趨好。當引清比小于1時，由于太浦河支流的水質多為劣Ⅴ類，可視為點污染源，加之流域內面源污染，使得引水水量不足以稀釋污染物，且太浦河水流流速加快，導致底泥污染物釋放，加劇了太浦河的污染。從圖1可以看出，某些節點的水質在引水過程中降低，其原因是引水路線上的河道污水在水位抬高過程中匯入了太浦河，導致水質變壞。而在長期引水過程中，還出現水質惡化的情況，這需要考慮重點污染區域是否存在污水大量偷排的問題。

3 結語

利用馬爾科夫模型計算水質狀態轉移概率矩陣，歷史數據越多，預測結果就越可靠。當數據量較少時，所得出的轉移矩陣不能真實地反映水質變化規律。狀態矩陣的隨機性較強，應綜合利用其他水質模型進行綜合對比分析，以更好地預測水質的變化情況。

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Variation of pollutant concentration based on Markov model

QIN Chunqiao，CHEN Xing，ZHANG Qicheng，WANG Weiping
(College of Hydrology and Water Resources，Hohai University，Nanjing 210098，China)

In this study，the Markov model was used to simulate the variation of the pollutant concentration at the Liantang Bridge section during the process of water diversion from the Yangtze River to Taihu Lake.Through the construction of the transfer matrix，the degree of progress was determined，and the dynamic variation of the pollutant concentration was evaluated.The results show that the calculated degree of progress of the water diversion indicator was positive，with negative values in some areas;with the increase of diverted water，the self-purification capacity of contaminants improved，and the degrees of progress of all indicators increased;and the water quality has been high for a long time during the water resources regular scheduling since the trial water diversion was completed.This study aims to provide references for the establishment of water diversion schemes for connected rivers and lakes.

pollutant concentration;Markov model;degree of progress;water diversion from Yangtze River to Taihu Lake

X522;X132

A

1004-6933(2014)03-0056-05

10.3969/j.issn.1004-6933.2014.03.011

水利部公益性行業科研專項基金(201001030)

覃春喬(1988—)，男，土家族，碩士研究生，研究方向為水文學及水資源。E-mail:873910321@qq.com

(收稿日期:2013-09-18 編輯:彭桃英)