次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證定價

肖煒麟，張衛國，徐維軍

（1.浙江大學管理學院，浙江杭州 310058；2.華南理工大學工商管理學院，廣東廣州 510640）

值得指出的是Γ=?2V/?S2，稱為保值因子。對于備兌權證的多頭而言，到期日的收益為凸函數，因此有Γ＞0，從而對于支付任意比例交易費的看漲或看跌備兌權證，由Black-Scholes公式得到的價值與本文模型得出的價格比較，差別僅在于波動率，即：

次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證定價

肖煒麟1，張衛國2，徐維軍2

（1.浙江大學管理學院，浙江杭州 310058；2.華南理工大學工商管理學院，廣東廣州 510640）

為了體現金融資產的長記憶性，采用次分數布朗運動刻畫備兌權證標的資產價格變化的行為模式。利用隨機分析理論和偏微分方程方法，建立了次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證定價模型，進一步研究了定價模型的參數估計問題。最后，采用我國權證市場實際數據進行了實證分析，通過比較不同定價模型的結果說明了長記憶性和交易費用對定價結果有著顯著的影響。

次分數布朗；交易費用；備兌權證；偏微分方程；二次變差

1 引言

備兌權證是由標的資產發行人以外的第三方發行的權證，并規定持有人有權利而非義務在合約規定的某一特定時間買入（賣出）標的資產。由于權證產品的靈活性，且權證的“T+0”交易等特點使其成為短線投資者首選產品。盡管備兌權證本質上類同于歐式期權，但由于備兌權證具有杠桿效應和套期保值作用，使得備兌權證成為我國金融衍生產品的重要組成部分。

基于傳統的有效市場和幾何布朗運動的假設，在Black-Scholes理論框架下，備兌權證的定價問題在國內外得到了大量研究［1-2］。然而Black-Scholes模型中假設市場交易中沒有交易費用，而現實中每次股票交易，都需要交納手續費、印花稅。而且歷史上印花稅的每次調整都會引起股市的一次振蕩。因而交易費用對于金融市場的影響是顯著的。為了更好地反映現實交易情況，Leland［3］首次提出了帶交易費用的歐式期權定價模型，但該模型僅能運用到香草期權等一些特殊期權的定價。此后，大量學者在幾何布朗運動的假設下，研究了帶交易費用的期權定價問題［4-5］。然而，近年來對金融資產收益率的實證研究表明：金融資產價格之間并非隨機游走，而呈現不同程度的長期相關性，并且資產收益率的分布也不是服從正態分布，而是具有“尖峰厚尾”等特性。Peters［6］于1989年提出了分形市場假說，應用R/S法分析了不同資本市場（如股票市場和匯率市場），都發現了分形結構和非周期循環的存在。由于分形市場的特征指數及尺度參數能夠很好地刻畫金融市場波動性及資產收益率的“尖峰厚尾”分布等，因此，眾多學者研究了分數布朗運動下期權定價問題［7-10］和我國權證的定價問題［10-12］。

由于分數布朗運動不是半鞅，故無法采用已有的隨機積分理論對其進行分析。盡管眾多學者針對分數布朗運動定義了不同的隨機積分［13-14］，但是將分數布朗運動應用到金融市場會產生套利機會［15］或者自融資策略不符合經濟學理論［16］。從而，大量學者采用了修正的分數布朗運動來刻畫金融資產價格變化的行為模式，如次分式布朗運動［17-18］。由于，次分式布朗運動是一種比分數布朗運動更為普遍的高斯過程，它不僅具有自相似性和長記憶性等分數布朗運動具有的性質，而且可將其應用于金融［19］。Yan Litan等［20］給出了次分數布朗運動的隨機積分，并指出次分數布朗運動可以用來刻畫金融資產的隨機波動性。

為了刻畫金融資產的長記憶性，同時為了考慮交易費用，本文在次分式布朗運動環境下，研究了帶交易費用的備兌權證定價問題。通過引入關于次分數布朗運動的隨機積分和偏微分方程技術，得到了備兌權證的定價模型。進一步，為了將模型應用于實踐，本文研究了定價模型的參數估計問題。最后，結合我國權證市場現實情況，給出了實證分析，比較了不同定價模型的定價結果，說明了次分數布朗運動下帶交易費用定價模型的合理性。

2 定價模型

2.1 模型假設

（1）無風險利率r為常數且對沖投資組合的期望回報率等于無風險利率；

（2）投資策略每隔δt時間重新調整一次，這里

金融系統是一個自由度極大的復雜系統，大多數的投資者得不到充分的信息，并以一種非線性的方式對信息做出反應，即在信息達到一定臨界值時才做出決策，這些噪聲交易者會對前期忽略的信息做出“聚集、爆發”性的反應。同時噪聲交易者大都具有“從眾”心理，而理性投資者會利用“從眾”噪聲交易者的特征，并從中獲利，這樣進一步造成了市場的過渡波動，導致了市場波動的聚集性。而且，由于不同投資期限的投資者承擔相同的風險水平，所以，不同期限尺度上的收益率具有類似的頻率分布，即時間尺度上的不變性或稱為自相似。所以，金融市場存在長記憶性，即過去的信息不僅影響當前，而且影響未來。本文采用次分數布朗運動來刻畫備兌權證標的資產價格的變化過程，并考慮了現實中的交易費用，以期客觀地反映權證市場的現實。

設赫斯特指數H∈（0，1），則次分數布朗運動是一個零均值的高斯過程W，使得W=0且協方差函數滿足δt為有限固定且很小的時間間隔；

（3）交易費與交易額是成比例的。即買賣股票需要按股票價格支付比例交易費用c｜v｜S，其中c是每單位交易額應支付交易費，S是交易股票的價格，v＞0是買進，v＜0是賣出；

（4）備兌權證標的資產股票的變化過程在物理測度下滿足：

其中：St表示股票的動態價格；μ表示股票的收益率；σ表示股票價格波動率；WHt表示赫斯特指數為H∈（1/2，1）的次分數布朗運動，且（2）式中的積分為關于高斯過程的Wick-It?積分［21］。

在次分數Black-Scholes模型中，由于股票交易時會產生交易費用，從而完全復制使得交易總費用非常大，因此Black-Scholes中采用的無套利理論不再適用。本文采用Delta對沖策略對備兌權證的定價問題進行研究。

2.2 數理推導

現在考慮Wick-It?型次分數Black-Scholes市場，該市場有兩種投資產品，一種無風險資產即債券，另外一種有風險的標的資產如股票。其中無風險資產Pt，即債券價格變化過程滿足如下方程：

其中r為無風險利率；風險資產價格變化過程滿足方程（2）。

在風險中性和H∈（1/2，1）的假設條件下，我們利用Δ-對沖原理，推導出次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證價格所滿足的偏微分方程。

定理1 在風險中性世界里，備兌權證標的資產（股票）價格服從次分數布朗運動環境下，帶交易費用的備兌權證的價格Vt在t（t∈［0，T］）時刻所滿足的微分方程為：

證明：考慮一個資產組合，包括一份衍生證券V（St，t）和Δ份股票St。則該資產組合在t時刻的價值∏t可以表示為∏t=Vt-ΔtSt。由于交易成本可以看作是投資者因買賣股票而產生的直接費用，因此在δt時間內，該證券組合持有者財富的變化過程可以表示為：選擇恰當的證券組合可以消除δ∏t的隨機性。令則（5）式可簡化為：

其中：

另一方面，根據式（2）易得δSt=St+δt-St= O（δt）+σStδWHt。同時利用，則有：

由假設條件4）可知E［δ∏t］=r∏tδt，再結合（6）和（7），并略去δt的高階無窮小量，則有：

值得指出的是Γ=?2V/?S2，稱為保值因子。對于備兌權證的多頭而言，到期日的收益為凸函數，因此有Γ＞0，從而對于支付任意比例交易費的看漲或看跌備兌權證，由Black-Scholes公式得到的價值與本文模型得出的價格比較，差別僅在于波動率，即：

對于做空的備兌權證而言，到期日的收益為凹函數，故Γ＜0，類似地，兩個模型所得價值的差別也在于波動率，即：

此外，在多頭的情況下，為保證偏微分方程（4）的適定性，須保證：

另一方面，由于（4）式中假設在δt相當短的時間內，備兌權證只發生一次頭寸的變化，因此δt是一個常數，而且Hurst指數H對于一個確定的期權來是也是常數，從而（4）式與Black-Scholes微分方程有類似之處，這樣啟發我們用類似的方法求解。因此，在得到次分數布朗運動下備兌權證所滿足的偏微分方程之后，利用變量替換，將偏微分方程化成Cauchy問題，再利用Poisson公式便可以得到次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證定價公式。

定理2 到期日為T，執行價格為K，無風險利率r且股票價格波動率σ均為常數的備兌認購權證、在t刻的定價公式為：

證明：請見附錄。

3 參數估計

本文采用次分數布朗運動刻畫備兌權證標的資產價格變化的行為模式，而如何有效估計隨機微分方程（2）的參數是將定價模型應用于實踐的關鍵。下面，我們在離散大樣本條件下（觀察間隔固定且觀察次數足夠多），對模型（2）進行參數估計研究。

采用Wick-It?積分，可得隨機微分方程（2）的解為：

從而對模型（9）進行參數估計實際上等價于對下面帶漂移項的次分數布朗運動進行參數估計：

其中μ、σ和H為待估計的參數。

首先，假設觀察間隔為h，從而得到N個觀察量Y=（Yh，Y2h，…，YNh）t，這里t用來表示向量的轉置。若用向量t=（h，2h，…，Nh）t表示觀察點向量且t2H=（h2H，（2h）2H，…，（Nh）2H）t和WtH=（WhH，W2Hh，…，WNHh）t。顯然，當1/2＜H＜1時，有E［Yt］∝t2H，即（Yh+Y2h+…+YNh）∝（Nh）2H。從而得到赫斯特指數的估計量可以表示為：

同時，由次分數布朗運動的性質知波動率σ可以估計如下：

其次，注意到Yih服從正態分布，由多維正態分布的聯合密度函數知Y的聯合密度函數可以表示為：

其中：

對（13）式取對數并對μ求偏導，即得參數μ的極大似然估計量為：

4 實證分析

為了評價定價模型的性能和解釋本文模型的合理性，下面以我國權證市場的四只備兌認購權證為例進行實證分析（數據來源于國泰安數據庫：http：//www.gtarsc.com）。在采用Black-Scholes模型計算備兌權證的價值時，采用Hull［22］介紹的標準差估計法求得各支股票的歷史波動率。在采用分數布朗下期權定價模型［12］計算備兌權證的價值時，采用R/S方法估計赫斯特指數，并進一步采用二次變差方法估計波動率。在采用本文提出的帶交易費用的備兌權證模型進行定價時，利用本文提出的（11）和（12）式對定價模型所需參數進行有效估計，所得的權證基本信息和求得的參數估計值如表1所示。

為了比較不同定價模型的定價誤差程度，我們使用以下幾個誤差指標對定價模型的誤差進行分析。令Pi和Qi分別表示模型的計算值和實際值，M為樣本數，則有：

表1 四只備兌權證的定價參數值

表2 定價模型的誤差分析表

從而，利用權證市場的實際數據，采用不同定價模型計算不同剩余期限下備兌權證的價值，進一步求得以上四個指標值，所得結果如表2所示。從表中的各個誤差結果可以看出，不管是均方差、平均絕對值誤差，還是最小、最大絕對值誤差，本文模型的定價結果都要優于Black-Scholes定價模型［1］和分數布朗運動定價模型［12］。這是由于Black-Scholes定價模型沒有體現金融資產的長記憶性，而分數布朗運動定價模型沒有體現交易費用的影響。因此，本文模型具有較好的定價效果，也說明了本文模型的穩健性。

4 結語

金融市場不僅存在長記憶性，而且投資者面臨不可忽視的交易成本，考慮帶交易成本的期權定價問題更加貼近實際市場模型。本文通過引入次分數布朗運動，運用證券組合原理得到了帶交易費用的備兌權證定價模型。進一步采用我國權證市場的實際數據進行了實證檢驗，比較了Black-Scholes定價模型、分數布朗運動下定價模型以及本文定價模型的結果，實證結果說明了本文定價模型的準確性與合理性。而且在定價公式（8）中令H=1/2時，則本文定價公式與Leland［3］的定價公式是一致的，這表明了本文定價公式的普遍性，同時也說明了布朗運動只是次分數布朗運動的一個特例。

本文提出的次分數布朗運動下帶交易費用的備兌權證定價模型既可以應用于研究標的資產具有長記憶性的期權定價問題，也可以應用于研究帶交易費的期權定價問題。同時本文的研究思路和證明方法可以推廣到研究一般高斯過程（如混合分數布朗運動、多尺度分數布朗運動、雙分數布朗運動）下期權定價問題。

采用次分數布朗運動刻畫金融資產的價格變化過程在一定程度上比以前模型有所改進，但是為簡化模型而進行的眾多假設顯然與現實有出入，且模型中沒有考慮到金融資產突發性跳躍、人的行為以及個人的風險偏好等因素。所以模型有待進一步改進和修正，采用新的柔性理論框架來定價期權迫在眉睫，比如國外有些學者將行為人的風險偏好因素引入到期權定價理論，為期權定價提供了新的方法途徑，更適合解決實際資本市場中的金融問題。

附錄

定理2的證明：

由定理1知備兌認購權證在t時刻的價值V（St，t）滿足以下偏微分方程：

進一步，通過變量替換技術將求解（A2）式的問題就轉化為求下面的Cauchy問題：

顯然，方程（A3）的Cauchy問題的解可以用Poisson公式表示。從而有：（）∞2

對于I2，令y=，則-2τdy=dξ，從而有：

同理對于I1，令

而

將I2和I2的值帶入（A4）式即得（8）式成立。

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Pricing Covered Warrants in a Sub-Fractional Brownian Motion with Transaction Costs

XIAO Wei-lin1，ZHANG Wei-guo2，XU Wei-jun2
（1.School of Management，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2.School of Business Administration，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

In order to reflect the long memory property of the financial asset，the sub-fractional Brownian motion is introduced to capture the underlying asset of covered warrants.The pricing model of covered warrants is proposed by using the theory of stochastic integration and the method of partial differential equations.Moreover，the problem of parameter estimation is also discussed in this paper.Finally，an empirical study based on China's warrant market is presented.The pricing results of different models illustrate that the long memory property and the transaction costs have a significant impact on pricing results.

sub-fractional Brownian motion；transaction costs；covered warrants；partial differential equation；quadratic variation

F830.59

：A

1003-207（2014）05-0001-07

2012-03-14；

2013-11-06

國家社會科學基金重大招標項目（11&ZD156）；國家杰出青年科學基金資助項目（70825005）；國家自然基金資助項目（71101056，71171086）

肖煒麟（1981-），男（漢族），湖南衡南人，浙江大學管理學院，副教授，研究方向：資產定價與數量金融.