奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器的穩(wěn)定性分析

張小茜,吳保衛(wèi),李保平

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器的穩(wěn)定性分析

張小茜,吳保衛(wèi),李保平

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

研究了奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器的穩(wěn)定性問(wèn)題.通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),結(jié)合線性矩陣不等式和S-Procedure方法,給出了奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器二次穩(wěn)定和輸入輸出穩(wěn)定的充分條件.最后數(shù)值算例表明了結(jié)論的有效性.

奇異系統(tǒng);重置觀測(cè)器;二次穩(wěn)定性;線性矩陣不等式

0 引言

狀態(tài)觀測(cè)器是一種遞歸算法,它在很多應(yīng)用領(lǐng)域中起著十分重要的作用,比如故障的檢測(cè)以及監(jiān)控、容錯(cuò)控制等等.狀態(tài)觀測(cè)器分為比例、比例積分等幾種類型,本文主要研究自適應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器.從20世紀(jì)70年代起,很多學(xué)者就開(kāi)始了對(duì)自適應(yīng)觀測(cè)器的研究.起初研究的是比例觀測(cè)器,它的特點(diǎn)是在自適應(yīng)率里只有一個(gè)輸出觀測(cè)誤差的比例中項(xiàng),文獻(xiàn)[1-2]分別研究了線性時(shí)不變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的比例觀測(cè)器.為了能夠提高比例觀測(cè)器的魯棒性,在自適應(yīng)率中添加一項(xiàng)積分項(xiàng),這樣合成的觀測(cè)器就被稱為比例積分觀測(cè)器.文獻(xiàn)[3-4]表明比例積分觀測(cè)器在線性時(shí)不變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)中較比例觀測(cè)器有更好的應(yīng)用效果.但是,由于自適應(yīng)率都是線性的,因而無(wú)法降低預(yù)測(cè)過(guò)程中出現(xiàn)的過(guò)沖量和設(shè)定上升時(shí)間情況下求預(yù)測(cè)過(guò)程時(shí)間所需的計(jì)算量.為了解決這個(gè)問(wèn)題,一種有效方案是在自適應(yīng)率中添加重置因子.重置因子的簡(jiǎn)化形式就是由積分和重置率構(gòu)成,其中重置率指的是只要滿足重置條件就重置積分的輸出項(xiàng).重置因子是由Clegg于1958年首次提出,他將其定義為當(dāng)輸入為零時(shí)就將輸出重置為零的一種積分;[5]1974年,Horowitz給出了這種積分一個(gè)更為廣義的結(jié)構(gòu),并稱為一階重置因子.[6]20多年后才出現(xiàn)了關(guān)于重置因子穩(wěn)定性的證明.文獻(xiàn)[7]利用了Hβ條件來(lái)證明重置系統(tǒng)的穩(wěn)定性.與文獻(xiàn)[8]中所定義的當(dāng)輸入為零時(shí)發(fā)生重置行為不同,文獻(xiàn)[9]則對(duì)重置系統(tǒng)進(jìn)行了更為一般的分析,提出了一種新的重置條件,即當(dāng)系統(tǒng)的輸入輸出異號(hào)時(shí)則重置.

近年來(lái)關(guān)于重置因子的研究仍然是一個(gè)開(kāi)放的挑戰(zhàn)性課題,目前主要的研究集中在控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[10]是在狀態(tài)觀測(cè)器的框架下討論重置因子問(wèn)題,給出了新型觀測(cè)器——重置觀測(cè)器.文獻(xiàn)[11]則是對(duì)文獻(xiàn)[10]的一個(gè)推廣,即考慮最優(yōu)重置觀測(cè)器問(wèn)題.

比起一般的線性系統(tǒng),奇異系統(tǒng)具有更為一般性的結(jié)論和更為廣泛的應(yīng)用.因此奇異系統(tǒng)的研究屬于一個(gè)熱點(diǎn)課題,也取得了大量的研究成果,如文獻(xiàn)[12].

受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文研究了奇異系統(tǒng)的重置觀測(cè)器問(wèn)題,提出了奇異重置觀測(cè)器的概念,其中關(guān)于奇異重置觀測(cè)器所使用的重置條件與文獻(xiàn)[9]所提到的方法一致,并給出判斷穩(wěn)定性的充分條件.

1 問(wèn)題描述及準(zhǔn)備

文章采用以下記號(hào):R(C)表示實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))集;Rn表示n維實(shí)數(shù)向量的集合;Rn×n,Rn×1,R1×n分別表示n×n,n×1,1×n維實(shí)矩陣空間;(·)T表示轉(zhuǎn)置;P＞0表示矩陣P是對(duì)稱正定的;I代表單位矩陣; sup代表上確界.

考慮如下形式的單輸入單輸出(SISO)線性時(shí)不變奇異系統(tǒng)Σs:

其中:x∈Rn是狀態(tài)變量;u∈R是輸入變量;ω∈Rn是干擾輸入變量;y∈R是輸出變量;A∈Rn×n,B∈Rn×1,Bω∈Rn×1和C∈R1×n是已知常量矩陣.

建立如下形式的奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器:

定義1[13]如果存在s∈C使成立,那么稱系統(tǒng)Σξ是正則的.

在保證解的存在唯一性后,接下來(lái)討論重置條件.這個(gè)重置奇異觀測(cè)器也可以看成含有流集F和重置集合,即跳集J的混合系統(tǒng).在(3)中的兩類條件就分別代表流集F和跳集J的條件.當(dāng)(y～,ξ)∈F時(shí), (3)是一個(gè)正常的比例積分觀測(cè)器;當(dāng)(y～,ξ)∈J時(shí),通過(guò)重置集合Ar=0,積分項(xiàng)就發(fā)生重置.

當(dāng)y～·ξ≥0時(shí),即若y～和ξ同號(hào),則觀測(cè)器軌跡就是連續(xù)平滑的;當(dāng)y～·ξ＜0時(shí),也就是y～和ξ異號(hào),那么觀測(cè)器軌跡就出現(xiàn)了間斷點(diǎn).易知,集F和集J可等價(jià)地用如下方式描述

2 二次穩(wěn)定性分析

其中:

注1 奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器(2)-(3)要滿足以下兩個(gè)條件:

(1)η∈J?ARη∈F,這個(gè)假設(shè)是為了保證在每次重置后,所得的解都會(huì)映射到流集F上,這樣能避免出現(xiàn)一段時(shí)間連續(xù)重置的情形;

(2)重置時(shí)間ti+1-ti≥ρ＞0.

上述條件是通過(guò)時(shí)間正則化來(lái)避免奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器出現(xiàn)奇諾現(xiàn)象.這樣做的好處是對(duì)于在任意相鄰兩次重置之間所構(gòu)成的時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度都超過(guò)ρ,其中ρ＞0稱為駐留時(shí)間.

下面利用線性矩陣不等式,給出奇異系統(tǒng)的奇異重置觀測(cè)器二次穩(wěn)定的充分條件.

定理1 考慮誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)Ση,Bω=0,如果存在一個(gè)矩陣P＞0,滿足

那么Σ

η就是二次穩(wěn)定的.其中標(biāo)量子F≥0,子J≥0.證明 對(duì)于擴(kuò)張誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(7),構(gòu)造二次李雅普諾夫函數(shù)

要證明奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器是二次穩(wěn)定的,就需要證明

通過(guò)(4),得F:={η:ηTMη≥0}.利用文獻(xiàn)[14]中提到的S-Procedure,不等式(12)的第一項(xiàng)就等價(jià)于存在子F≥0,滿足

對(duì)于(11)求導(dǎo)可以得到

由(13)和(14)就得到了(12)的第一項(xiàng)成立的充分條件,即

將(15)轉(zhuǎn)化為P＞0和子F≥0條件下的線性矩陣不等式問(wèn)題,也就是

所得到的結(jié)果形式與(9)一致,因此證明了(12)的第一個(gè)不等式.

類似的,再次利用S-Procedure方法,(12)的第二個(gè)式子成立的充分條件是存在子J≥0滿足

對(duì)該式整理后可以寫成如下的線性矩陣不等式

這就證明了(12)式中的第二個(gè)不等式.

3 輸入輸出穩(wěn)定性分析

接下來(lái)給出奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器關(guān)于輸入輸出性質(zhì)的相關(guān)結(jié)果.定義系統(tǒng)(7)的標(biāo)準(zhǔn)差增益為L(zhǎng)2=

下面給出一個(gè)引理,在后續(xù)的相關(guān)定理證明中將會(huì)用到.

引理1 假設(shè)找到一個(gè)二次李雅普諾夫函數(shù)V(x)=xTETPx,若存在一個(gè)矩陣P＞0,滿足ETP=PE≥0,并且存在γ＞0,使得

那么輸入信號(hào)為ω和輸出信號(hào)為ζ構(gòu)成的奇異系統(tǒng)的L2增益小于γ.

定理2 考慮由Aη,Bη,Cη和AR構(gòu)成的擴(kuò)張誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(7),如果存在一個(gè)矩陣P＞0,滿足ETP= PE≥0,使得

成立.那么系統(tǒng)(7)是輸入輸出穩(wěn)定的,并且存在γ＞0,使得L2增益小于γ,其中子J≥0,子F≥0.

證明 要證明這個(gè)奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器的輸入輸出穩(wěn)定性和奇異系統(tǒng)的L2增益小于γ,就需要證明

其中:(20)的第一個(gè)式子證明依賴于引理1,而第二個(gè)式子就等價(jià)于(12)中已經(jīng)證明的第二個(gè)式子.因此只需要證明(20)的第一個(gè)式子即可.同樣的,已經(jīng)知道F:={η:ηTMη≥0},并且通過(guò)運(yùn)用S-procedure方法,(20)的第一個(gè)式子就等價(jià)于存在子F≥0,滿足

就證明了(20)的第一個(gè)式子.定理得證.

4 數(shù)值算例

由定理1知系統(tǒng)Ση是二次穩(wěn)定的.

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器的穩(wěn)定性問(wèn)題.構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),利用線性矩陣不等式和S-Pro-cedure方法,給出了奇異系統(tǒng)重置觀測(cè)器二次穩(wěn)定和輸入輸出穩(wěn)定的充分條件.最后通過(guò)數(shù)值算例表明了結(jié)論的有效性.

[1]Luders G,Narendra K.S.A new canonical form for an adaptive observer[J].IEEE Trans.on Automatic Control,1974,19(2): 117-119.

[2]Zhang Q.Adaptive observer for multiple-inputmultiple-output(MIMO)linear time-varying systems[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2002,47(3):525-529.

[3]Vahedforough E,Shafai B.Design of proportional integral adaptive observers[C].In Proc.of the IEEE American Control Conference,2008.3683-3688.

[4]Jung J,Hwang J,Huh K.Optimal proportional-integral adaptive observer design for a class of uncertain nonlinear systems[C]. In Proc.of the IEEE American Control Conference,2007.1931-1936.

[5]Clegg J.A nonlinear integrator for servomechanisms[J].Trans.of the A.I.E.E,1958,77:41-42.

[6]Krishman K.R,Horowitz I.M.Synthesis of a nonlinear feedback system with significant plant-ignorance for prescribed system tolerances[J].International Journal of Control,1974,(4):689-706.

[7]Beker O,Hollot C,Chait Y,et al.Fundamental properties of reset control Systems[J].Automatica,2004,40:905-915.

[8]Guo Y,Wang Y,Xie L,etal.Stability analysis and design of reset systems:Theory and an application[J].Automatica,2009,45 (2):492-497.

[9]Nei D,Zaccarian L,Teel A.R.Stability properties of reset systems[J].Automatica,2008,44:2019-2026.

[10]Paese D,Franco C,Llorente S,etal.Resetadaptive observers and stability properties[C].In Proc.of the 18th IEEEMediterranean Control Letters,2010.1435-1440.

[11]Paese D,Ba～nos A,Sagues C.Optimal resetadaptive observer design[J].System and Control Letters,2011,60(10):877-883.

[12]玉強(qiáng),郭艷平.廣義線性系統(tǒng)容許性的新判據(jù)[J].青島科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,30(3):281-282.

[13]Dai L.Singular Control Systems[M].Berlin:Springer-Verlag Berlin Heidelberg,1989.

[14]Boyd S,Ghaoui L.E,Feron E,etal.LinearMatrix Inequalities in System and Control Theory[M].Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics,1994.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Stability Analysis for Reset Observers of Singular System

ZHANG Xiao-qian,WU Bao-wei,LIBao-ping

(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062,China)

The stability of reset observers of singular system is investigated.By constructing Lyapunov functions,this paper provides the sufficient condition of quadratic and input-output stability for reset observers of singular system with linearmatrix inequalities(LMIs)and S-procedure.Then,a numerical example verifies the feasibility of proposed theorems.

singular system;reset observers;quadratic stability;linearmatrix inequality

O231

A

1009-5128(2014)03-0010-06

2013-12-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目:von Neumann代數(shù)上的非交換Hp理論研究(10971123);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目:不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒H控制(SJ08A20)

張小茜(1988—),女,山東青島人,陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生;吳保衛(wèi)(1963—),男,陜西西安人,陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授,主要從事控制理論研究.