半群PO（X，Y，θ）的格林關系及正則元

羅永貴，瞿云云

（貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州貴陽550001）

半群PO（X，Y，θ）的格林關系及正則元

羅永貴，瞿云云

（貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州貴陽550001）

摘要：設X和Y是有限非空集合，PO（X，Y）表示從X到Y的所有部分保序映射構成的集合.取定θ∈PO（Y，X），在PO（X，Y）上定義運算?，如：α?β＝αθβ，則（PO（X，Y），?）是一個半群，稱為有限部分保序夾心半群，記為PO（X，Y，θ）.半群PO（X，Y，θ）的格林關系及其正則元被刻劃了.

關鍵詞：保序；夾心半群；部分映射；格林關系；正則元

設S是一個半群，a，b∈S，如果a和b所生成的主左理想相等，即S1a＝S1b，則稱a和b在一個L等價關系中，記為aLb.如果a和b所生成的主右理想相等，即aS1＝bS1，則稱a和b在一個R等價關系中，記為aRb.如果a和b所生成的主理想相等，即S1aS1＝S1bS1，則稱a和b在一個J等價關系中，記為aJb.令H＝L∩R，D＝L∨R，則H和D也是半群S上的等價關系.這5個關系統稱為半群S上的格林關系，它們對半群的代數結構起著非常重要的作用.在半群代數理論中［14］，有限半群上都有D＝L?R＝R?L和D＝J.對于格林關系及其正則元的研究目前已有許多結果［1-13］.

設S是一個半群，a∈S.如果存在b∈S使得aba＝a，稱a是正則元.如果a2＝a，稱a是冪等元.顯然，冪等元是正則元.

設X和Y是同型的非空全序集，P（X，Y）表示從X到Y的所有部分映射構成的集合.若α∈P（X，Y）且對任意的x1，x2∈X，x1＜x2有x1α＜x2α，則稱α是一個從X到Y的部分保序映射.用PO（X，Y）表示從X到Y的所有部分保序映射構成的集合.取定θ∈PO（Y，X），在PO（X，Y）上定義運算?如下：α?β＝αθβ，則（PO（X，Y），?）是一個半群，稱為部分保序夾心半群，記為PO（X，Y，θ）.特別地φ∈PO（X，Y，θ）.在不引起混淆的情況下，可以把α?β，記為αβ.當X，Y是有限集且｜X｜≥1，｜y｜≥1時，稱PO（X，Y，θ）為有限部分保序夾心半群.用εX表示X上的恒等變換，顯然PO（X，X，εX）＝POX.設A，B是同型的非空全序集，記

如果?x∈A?x＜min B，?y∈B?y＞max A，則稱A＜B.因此，對任意的把α的上述形式稱為α的標準表示.

對于半群S上的格林關系“L”，“R”，“H”，“D”，“J”而言.S中的任意一個元素a與它本身總有這5個等價關系，即aLa，aRa，aHa，aDa，aJa是恒成立的.因此，在本文的討論中要求X和Y是有限集且｜X｜≥2，｜Y｜≥2，｜imθ｜≥2.當討論半群PO（X，Y，θ）中2個元素α，β是否具有這5個等價關系時，總是假設α≠β.用符號R（PO（X，Y，θ））表示PO（X，Y，θ）的所有正則元構成的集合，用符號E（PO（X，Y，θ））表示PO（X，Y，θ）的所有冪等元構成的集合.特別地φ∈E（PO（X，Y，θ））?R（PO（X，Y，θ））.用Lα，Rα，Hα，Dα，Jα分別表示α所在的L-類，R-類，H-類，D-類，J-類.

1 有限部分保序夾心半群PO（X，Y，θ）的格林關系及其正則元

在這里討論有限部分保序夾心半群PO（X，Y，θ）的格林關系“L”，“R”，“H”，“D”，“J”的充要條件，同時給出了L非平凡和R非平凡的充要條件及其正則元和冪等元的等價條件.

定理1 設α，β∈PO（X，Y，θ），α≠β，則αLβ?imα＝imθα＝imθβ＝imβ.

證明 必要性：若αLβ??ξ，η∈PO（X，Y，θ）?α＝ξ?β＝ξθβ，β＝η?α＝ηθα?imα?imθβ?imβ，imβ?imθα?imα?imα＝imθα＝imθβ＝imβ.

充分性：若imα＝imθα＝imθβ＝imβ，不妨設

令

其中，bi∈ai(θα)-1，ci∈ai(θβ)-1，i＝1，2，…，r.

易見，ξ，η∈PO（X，Y，θ）且ξθα＝ξ?α＝β，ξθβ＝ξ?β＝α，即αLβ.

定理2 設α，β∈PO（X，Y，θ），α≠β，則αRβ?kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ.

證明 必要性：若αRβ??ξ，η∈PO（X，Y，θ）?α＝β?ξ＝βθξ，β＝α?η＝αθη.由（x，y）∈kerα?xα＝yα?xαθ＝yαθ?xαθξ＝yαθξ（即xβ＝yβ），即kerα?kerαθ?kerβ.再由（x，y）∈kerβ?xβ＝yβ?xβθ＝yβθ?xαθη＝yαθη（即xα＝yα），即kerβ?kerβθ?kerα.因此kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ.

充分性：若kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ，不妨設

則

令

易見，ξ，η∈PO（X，Y，θ）且βθξ＝β?ξ＝α，αθη＝α?η＝β，即αRβ.

定理3 設α，β∈P（X，Y，θ），則αHβ?α＝β.

證明 由定理1，定理2，H＝L∩R及其α，β的標準表示可知該定理成立.

定理4 設α∈PO（X，Y，θ）＼{}φ，則

1）｜Lα｜≥2?imα＝imθα；2）｜Rα｜≥2?θ｜imα是單射；

證明 1）必要性：若｜Lα｜≥2??β∈PO（X，Y，θ），α≠β?αLβ.由定理1可知imα＝imθα＝imθβ＝imβ，即imα＝imθα.

充分性：若imα＝imθα時，

易見，α≠β且imα＝imθα＝imθβ＝imβ.再由定理1可知αLβ，即｜Lα｜≥2.

如果存在某個｜Ai｜≥2(1≤i≤r)，不失一般性，可設｜A1｜≥2，令

如果｜Ai｜＝1(i＝1，2，…，r)，不失一般性，可設x∈X且max A1＜x＜min A2，令

易見，α≠β.再由定理1可知αLβ，即｜Lα｜≥2.

2）必要性：若｜Rα｜≥2??β∈PO（X，Y，θ），α≠β?αRβ.由定理2可知kerα＝kerαθ＝kerβθ＝ker β，即kerα＝kerαθ，顯然有θ｜imα是單射.

充分性：若θ｜imα是單射時，

易見，α≠β且kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ.再由定理2可知αRβ，即｜Rα｜≥2.

定理5 設α∈PO（X，Y，θ）＼{}φ，則α∈R（P（X，Y，θ））?imα＝imθα，θ｜imα是單射?｜Lα｜≥2且｜Rα｜≥2.

證明 若α∈R（PO（X，Y，θ））??β∈PO（X，Y，θ）?α＝α?β?α＝αθβθα?imα?imθα，注意到imθαimα.于是imα＝imθα.?aα，bα∈imα，若 ( aα)θ＝ (bα)θ，則aα＝aαθβθα＝ ( aαθ)βθα＝(bα θ)βθα＝bαθβθα＝bα，即θ｜imα是單射.

令

易見，β∈PO（X，Y，θ）且αθβθα＝α?β?α＝α，即α∈R（PO（X，Y，θ））.再由定理4可知imα＝imθα，θ｜imα是單射?｜Lα｜≥2且｜Rα｜≥2.

定理6 設α∈PO（X，Y，θ）＼{}φ，則

α∈E（PO（X，Y，θ））?θα｜imα＝εimα??z∈imα?zθ∈zα-1.

證明 若α∈E（PO（X，Y，θ））?α?α＝αθα＝α，?b＝aα∈imα?bθα＝aαθα＝aα＝b?θα｜imα＝εimα.

反之，若θα｜imα＝εimα?α＝αθα＝α?α，從而α∈E（PO（X，Y，θ））.進一步可以驗證α∈E（PO（X，Y，θ））??z∈imα?zθ∈zα-1.

定理7 設α，β∈PO（X，Y，θ），α≠β，則αDβ當且僅當下列條件之一成立：

當ξ＝α，ξ≠β時，有αRβ.由定理2可知kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ.若imα＝imθα時，結論1）成立.若imα?imθα時，結論2）成立.

當ξ≠α，ξ＝β時，有αLβ.由定理1可知imα＝imθα＝imθβ＝imβ.

若kerα＝kerαθ時，結論1）成立.

充分性：2），3）的結論是平凡的.若α，β∈PO（X，Y，θ）且滿足（1）的條件，不妨設

imα＝imθα＝imθβ＝imβ，kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ且ξ≠α，ξ≠β，

再由定理1，2可知αLξRβ，即αDβ.

引理1［7］在周期半群上D＝J.特別地，有限半群是周期半群，在任意有限半群上都有D＝J.

命題1 有限部分保序夾心半群PO（X，Y，θ）上有D＝J.

證明 由X，Y的有限性可知PO（X，Y，θ）是有限的，再由引理1可知在半群PO（X，Y，θ）上有D＝J.

2 半群RPO（X，Y，θ）的格林關系

這里主要討論有限部分保序夾心半群PO（X，Y，θ）的所有正則元R（PO（X，Y，θ））構成了PO（X，Y，θ）的子半群.進而對其格林關系進行了研究.

定理8 R（PO（X，Y，θ））作成PO（X，Y，θ）的正則子半群.記為RPO（X，Y，θ）.

定理9 設α，β∈RPO（X，Y，θ），α≠β，則αLβ?imα＝imβ.

證明 必要性：由定理1.1的必要性的證明及其定理5可知必要性的證明是平凡.

充分性：若α，β∈RPO（X，Y，θ），α≠β且imα＝imβ.由定理5可知imα＝imθα＝imθβ＝imβ.進一步可以證明定理1的充分性證明中構造的ξ，η滿足：ξ，η∈RPO（X，Y，θ），αLβ.

定理10 設α，β∈RPO（X，Y，θ），α≠β，則αRβ?kerα＝kerβ.

證明 必要性：由定理2的必要性的證明及其定理5可知必要性的證明是平凡.

充分性：若α，β∈RPO（X，Y，θ），α≠β且kerα＝kerβ.由定理5可知

kerα＝kerαθ＝kerβθ＝kerβ.進一步可以證明定理2的充分性證明中構造的ξ，η滿足：ξ，η∈RPO（X，Y，θ），即αRβ.

定理11 設α，β∈RPO（X，Y，θ），則αHβ?α＝β.

證明 由定理9，10及其H＝L∩R和α的記法可知該定理成立.

證明 必要性：由定理1.7的必要性的證明及其定理5可知必要性的證明是平凡.

命題2 在半群RPO（X，Y，θ）上有D＝J.

證明 由X，Y的有限性可知PO（X，Y，θ）是有限的，再由定理8可知RPO（X，Y，θ）是PO（X，Y，θ）的子半群，于是RPO（X，Y，θ）是有限的，注意到引理1可知，在半群RPO（X，Y，θ）上有D＝J.

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（責任編輯 梁志茂）

中圖分類號：O152.7

文獻標志碼：A

文章編號：1672-8513（2014）06-0434-05

收稿日期：2014-04-16.

基金項目：貴州省科學技術基金（黔LKS（2011）15；LKS（2012）2273）.

作者簡介：羅永貴（1985-），男，碩士，講師.主要研究方向：半群代數理論.

Green′s relations and regularity for the semigroup PO（X，Y，θ）

LUO Yong-gui，QU Yun-yun
（Department of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China）

Abstract：Let X and Y be nonempty finite set.Let PO（X，Y）be all partial order-preserving mapping from X into Y and letθ∈PO（Y，X）.The operation?is defined byα?β＝αθβ，for allα，β∈PO（X，Y）.Then（PO（X，Y），?）is a semigroup and call order-preserving sandwich semigroups of all finite partial mapping from X into Y and so denote PO（X，Y，θ）.The Green′s relations and regularity for the semigroup PO（X，Y，θ）are characterized.

Keywords：order-preserving；sandwich semigroups；partial mapping；Green′s relations；regular element