全最小二乘法在姿態參數測量中的應用研究

曹平軍 楊昌茂 張海波

(中船重工第七一〇研究所,湖北 宜昌 443000)

全最小二乘法在姿態參數測量中的應用研究

曹平軍 楊昌茂 張海波

(中船重工第七一〇研究所,湖北 宜昌 443000)

針對由三軸GMR磁傳感器構建的飛行體姿態測量系統,推導出地磁場與姿態角間的數學關系,分析了影響測量精度的因素。通過對比絕對最小二乘法和相對最小二乘法對磁傳感器參數的修正結果,發現由于常規最小二乘法只考慮單一因素,導致由測量數據求出的磁場三分量和總磁場值仍存在較大的波動和誤差。為解決這一問題,采用全最小二乘法對磁傳感器參數進行整體修正。經無磁轉臺試驗表明,該方法極大地提高了磁場和姿態角的測量精度。

GMR磁傳感器 滾轉角 俯仰角 姿態測量 相對誤差 全最小二乘法

0 引言

飛行體姿態測量是實現飛行體在高速旋轉過程中實施精確控制的關鍵技術之一,它直接關系著飛行體本身的抗干擾能力和運行的穩定性。由于飛行體的控制部分空間狹小,且處于高加速度條件下,這使得陀螺、加速度計、GPS等常規測姿方案無法滿足要求[1-2]。

地磁場具有的固有指向性使其可以作為天然的姿態參考坐標系,通過安裝在飛行體上的GMR磁傳感器可清晰地反映飛行體在運行過程中姿態的變化[3]。由于硬件系統設計缺陷,會使GMR磁傳感器的零點、靈敏度和正交性等參數測量不準確,進而導致姿態角的測量誤差增加。為解決這一問題,本文采用全最小二乘法對參數進行整體修正。它通過對超定方程中的系數矩陣誤差和測量值誤差的整體分析來提高方程解的精度。經過近幾十年的發展,最小二乘法已經被廣泛用于統計分析、線性和非線性回歸、系統辨識和參數估計等相關領域[4-5]。

1 飛行體姿態角測量影響因素分析

飛行體姿態角通常可用滾轉角γ、俯仰角θ和偏航角ψ三個歐拉角表示[6-8]。為了尋求姿態角與地磁場的對應關系,可以建立基于天、東、北、飛行體轉向坐標系,發射坐標系和隨動坐標系的姿態角測量模型。對模型進行推導計算,可得動態下俯仰角θ和滾轉角γ的數學表達式:

由以上公式可知,在動態條件下,俯仰角θ和滾轉角γ的測量精度與磁傳感器的三軸磁場分量Bζ′、Bη′、Bξ′以及地磁傾角D、地磁偏角I和偏航角ψ有關。

在整個測量模型中,分析偏航角ψ對俯仰角θ和滾轉角γ測量精度的影響。假設Bξ′在理想條件下是正弦變化的,偏航角ψ的誤差取值分別為0°、10°和30°,仿真結果如圖1所示。

圖1 偏航角對俯仰角解算的影響曲線Fig.1 Influence curves of yaw angle to the pitch angle

由圖1可知,偏航角ψ的偏差在30°時對俯仰角θ的解算誤差達到5.86%,在10°時的影響只有1.34%,幾乎可以忽略。由于飛行體在中、短距離飛行時,飛行時間短,偏航角ψ與初始狀態下相比變化通常不會超過10°,因此ψ可作為常量。姿態角的測量精度主要取決于GMR磁傳感器的三軸磁場輸出。

2 GMR磁傳感器誤差分析與建模

2.1 誤差校正模型建立

GMR磁傳感器輸出的模擬信號經信號調理電路和A/D轉換電路處理后,由微處理器輸出數字信號。在硬件測量系統的設計過程中,不能確保在同一條件下三軸磁傳感器輸出的最終數字信號具有相同的零點誤差和靈敏度。另外,硬件系統采用的是由雙軸磁傳感器加單軸磁傳感器組成的三軸測量系統,這樣還會引入正交性誤差。它們的修正表達式為:

將K、A、δ代入式(1),可得:

為達到最佳逼近或擬合已知數據,最常用的一種做法是使測量值與真實值在各點間的殘差在范數的條件下達到最小[7-8]。

計算模型有兩種,分別為:

這里取F=2,求解的是向量的2范數,以式(4)的模型為例來計算補償系數。具體方法是在經過標定的赫姆霍茲線圈中加12組不同大小的電流,分別測試GMR磁傳感器每個軸的輸出值Bζ″、Bη″、Bξ″和對應的總磁場Bt,得到12組磁場在x、y、z軸方向上的輸出信號,將測得數據代入式(1)就可計算出補償后的磁傳感器輸出值Bζ″、Bη″、Bξ″。

結合式(1)和式(4),得相對誤差的通用模型為:

式中:k1、k2、k3、k4與式(2)中的系數存在對應關系；Bt為加不同電流下的總磁場。

將式(6)變換為矩陣形式:

根據矩陣的逆矩陣求解方法可得補償系數:

將由解算模型計算后所獲得的校正值Bζ″、Bη″、Bξ″代入相應計算式,經過一定的濾波算法后由Matlab仿真,分別獲得在式(3)和式(4)所示模型的總磁場BT波動曲線如圖2所示。

由圖2可知,常規最小二乘法所繪出的總磁場強度有較大的波動,且與真實值相比有一定的誤差。這種情況的產生是由于常規最小二乘法的評價依據是針對等精度數據而言的,即觀察數據在不同等級時具有大體相同的絕對誤差。因此在磁傳感器輸出的零點信號附近很容易產生相對大的干擾,而且在點集分布不規律的情況下,擬合精度會進一步降低。

圖2 不同模型下的總磁場BT波動曲線Fig.2 Fluctuation curves ofBTin different models

由于大量的科學研究和觀測數據往往是按被觀測量的相對誤差進行評價[9],所以從相對誤差的平方和最小出發,對最小二乘法進行改進,得到更符合實際情況的修正值。與常規最小二乘法相比,采用基于相對誤差的最小二乘法修正后所繪出的圖形具有較小的波動,在一定程度上起到了很好的校正作用,但與理想的仿真結果相比仍存在一定的誤差。

除此之外,對于線性方程組Ax=b,常規最小二乘法的基本思想是在殘差平方和最小的準則約束下求解最佳參數,但這里有一個前提,系數矩陣A在求解之后是作為定值代入方程中來解算未知量的。多數情況下,系數矩陣A和觀測向量b會同時存在誤差。常規最小二乘法只考慮了Bζ′、Bη′、Bξ′的變化,忽略了由于測量值的不準確性導致的系數矩陣K解算的不準確性。

2.2 全最小二乘求解算法

全最小二乘法的思想早在20世紀90年代就被提出了,它通過對式(7)這樣的超定方程中的系數矩陣B′的誤差和測量值B″的誤差進行整體分析,提高方程解的精度。經過近幾十年的發展,全最小二乘法已經被廣泛用于統計分析、線性和非線性回歸、系統辨識和參數估計等相關領域。

由此求出較準確的全最小二乘解K。

設具有誤差的超定方程的表達式為:

式中:A∈Rm×n；b∈Rm；x∈Rn；rank(A)∈n＜m,m為觀測值個數,n為待估參數個數；d和r分別為A和b的逼近誤差。

由于采用相對最小二乘法計算后得到的b是常數向量,但實質上它仍含有誤差,因此并不能認為r=0。

將式(10)改寫為:

式中:C=[A,b]；Δ=[d,r]。

要求解x,則要尋找對C+Δ的最佳逼近,方程有非零解的條件是:

對增廣矩陣C做奇異值分解:

式中:V=[V1,…,Vn+1]；δ1≥δ2≥…δn+1。

若存在對C的最佳逼近C′,則C′存在這樣的奇異值分解:

式中:∑′=diag(δ1,…,δr)。

此時方程的解可表示為:

式中:Vn+1為對應于δn+1的右奇異向量；Vn+1,n+1為Vn+1的第(n+1)個值。

由于δn＞δn+1,所以Vn+1,n+1≠0。由于Vn+1為CTC對應于特征值δn+1的特征向量,故有:

將C的表達式代入式(16)得:

將式(17)改寫為:

將式(18)和式(21)合并可得方程的解:

設K=xTLS、B″=b、B′=A,δn+1由C=[H,B′]的奇異值分解得到,全最小二乘法修正后的K為:

全最小二乘法和常規最小二乘法的區別在于引入了增廣矩陣最小奇異值。系數矩陣和觀測向量誤差對增廣矩陣最小奇異值的大小都有影響,但是二者對奇異值的大小的影響是不同的。當系數矩陣的擾動對增廣矩陣最小奇異值大小貢獻較大時,采用全最小二乘法比較合理。

由于測量參數B′本身就存在較大的測量誤差,滿足全最小二乘法的使用條件,因此本文采用全最小二乘法將會起到很好的參數修正作用。利用全最小二乘法修正參數后所獲得的總磁場值BT經Matlab仿真,得到的校正效果如圖3所示。

圖3 全最小二乘法校正效果Fig.3 Correction effect of the total least squares method

3 試驗驗證

在相對誤差的基礎上采用全最小二乘法修正GMR磁傳感器參數,并加入一定的濾波算法。在三維無磁轉臺下,規定俯仰角θ變化范圍為-60°～60°,滾轉角γ在0°～360°內,通過串口輸出角度值,截取部分數據如表1所示。俯仰角θ和滾轉角γ經過全最小二乘法修正后的誤差控制在2°以內,可滿足所要求的技術指標。

表1 理論值與試驗值對比表Tab.1 Comparison of theoretical values and experimental values

4 結束語

本文對影響俯仰角和滾轉角測量誤差的因素進行分析,分別采用基于絕對誤差和相對誤差的最小二乘法模型對影響誤差的參數進行修正。常規最小二乘法只考慮了B′的變化,忽略了B″的不準確性。而全最小二乘法模型通過對誤差源進行整體處理,理論上可很好地實現校正,實際測試結果也驗證了該方法的可行性,在測量范圍內俯仰角θ和滾轉角γ的誤差基本可控制在2°以內,可很好地滿足飛行體在運行過程中對姿態參數測量精度的要求。但在某些特定條件下,姿態角測量會存在較大誤差,原因是磁傳感器的指向進入磁場盲區范圍,這是今后需要改進的地方。

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Application Study of the Total Least Squares Method in Measurement of Attitude Parameters

In accordance with the measuring system established by 3-axes GMR magnetic sensor for attitude of flight body,the mathematical relationship between geomagnetic field and attitude angle is derived,and the factors affecting the measurement accuracy are analysed.Through comparing the corrected results for parameters of magnetic sensor by using absolute least squares method and relative least squares method,it is found that because the conventional least squares method only considers the single factor,larger fluctuation and error exist in the threecomponent of magnetic filed and the total magnetic field value.In order to solve this problem,overall correction is conducted to the parameters of magnetic sensor by adopting the total least squares method.The experiments on non-magnetic turntable prove that this method improves the measurement accuracy of magnetic field and attitude angle.

GMR magnetic sensor Rolling angle Pitching angle Attitude measurement Relative error Total least squares method

TP216+.1

A

修改稿收到日期:2013-11-03。

曹平軍(1987-),男,現為中船重工第710研究所檢測技術與自動化裝置專業在讀碩士研究生;主要從事磁場探測與信息技術的研究。