帶覆蓋層半空間內SH波對淺埋圓孔及夾雜散射與地震動

齊 輝，陳冬妮，蔡立明

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001）

帶覆蓋層半空間內SH波對淺埋圓孔及夾雜散射與地震動

齊 輝，陳冬妮，蔡立明

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001）

采用大圓弧假定法將具有地表覆蓋層的半空間直邊界問題轉化為曲面邊界問題。借助Helmholtz定理預先給出問題波函數的一般形式解，再利用復變函數法及邊界條件將問題化為求解波函數未知系數的無窮線性代數方程組，截斷該方程組即可求解帶地表覆蓋層的半空間內淺埋圓孔及夾雜對SH波散射問題，并給出地面運動數值結果。定性分析入射波數、入射角度、埋深、夾雜剛度及覆蓋層剛度等對地面運動影響。研究表明，淺埋圓孔及夾雜與地表覆蓋層間存在強烈的相互作用，地震動會受較大影響。

地表覆蓋層；圓孔；夾雜；SH波散射；大圓弧假定法；地震動

研究SH波作用下局部地形、地質構造對地震動影響對地震工程學及地下結構抗震與抗爆具有重要的理論意義及應用價值。針對凹陷與凸起地形影響地震動研究已有很多［1－4］。本文研究地震波傳播過程中接近帶覆蓋層地表面時SH波對淺埋圓孔及夾雜的散射問題，確定地面運動。若將淺埋多圓孔及夾雜視為“隱蔽地形”，則本文所研究問題可與凹陷、凸起地形研究同歸屬地形影響范疇。隱蔽地形研究成果見文獻［5－8］。

本文利用大圓弧假定法［9］將半空間直邊界用一半徑較大圓孔邊界擬合，使原問題轉化為半空間內大圓孔、小圓孔及圓柱形夾雜對SH波散射問題；聯合復變函數法及波函數展開法給出具有地表覆蓋層的彈性半空間內圓孔與夾雜在穩態SH波作用下地震動問題解。

1 理論分析

1.1 計算模型

計算模型見圖1。在地表覆蓋層下邊界建立總體坐標系XOY，在圓孔與圓柱形夾雜圓心建立局部坐標系XjOjYj。地表覆蓋層上邊界標記為TU，下邊界標記為TD，覆蓋層厚度為h2，密度為ρ2，剪切彈性模量為μ2；利用半徑較大圓擬合地表直邊界，逼近覆蓋層大圓弧中心記為O′，至上邊界半徑記為RU，至下邊界半徑記為RD；淺埋圓孔及圓柱形夾雜記為TS（S＝1，…，m，cs為第s圓孔或夾雜中心坐標，即第s圓孔或夾雜圓心在總體坐標下的坐標，半徑為as；夾雜密度及剪切彈性模量分別為ρj，μj；基體介質密度及剪切彈性模量分別為ρ1，μ1。針對研究問題中存在不同邊界條件，將整個區域分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域進行分析。區域Ⅰ為基體半無限空間，區域Ⅱ為地表覆蓋層，區域Ⅲ為圓柱形夾雜，TD為區域Ⅰ、Ⅱ的公共邊界。

圖1 SH波對淺埋多圓形結構散射計算模型Fig．1 Themodel of scattering of shallow circular structures impacted by SH-wave

1.2 控制方程

1.3 基體中散射波求解

1.4 地表覆蓋層中散射波求解

式中：z′＝z＋i RD；Cn，Dn（n＝0，±1，±2，…）為待求系數。

應力可表示為

1.5 夾雜駐波求解

1.6 問題解答

將式（27）第一式兩邊同乘exp（－i mθj），第二、三、四式兩邊同乘exp（－i mθ′）（m＝0，±1，±2，…），第五、六式兩邊同乘exp（－i mθ2）（m＝0，±1，±2，…）并在（－π，π）上積分，化簡成未知系數A1n，A2nBn，Cn，Dn，En的一組無窮代數方程組。通過精度控制截取方程組有限項求解。經驗算，本文計算精度可達10－5。

2 地面運動數值結果

本文模型對SH波散射時地震動影響重要分析內容為地表位移幅值。在地震工程與結構抗震分析中主要關注地表面加速度最大幅值及相位變化。對穩態SH波而言，若求得淺埋結構影響下地表各點位移即可求出各點加速度。在入射SH波作用下，地表水平界面總波場可寫為

式中：W（t）為位移幅值；φ為W（t）相位。

對圖2具有相同半徑（為便于分析，用無量綱參數，取圓孔及夾雜半徑R＝1．0），縱向排列圓孔及夾雜對地震動影響進行分析。參數組合設為μ*1＝μ2／μ1，μ*2＝μ3／μ1，k*1＝k2／k1，k*2＝k3／k1，計算結果見圖3～圖5。

圖2 SH波對兩縱向相鄰圓孔及夾雜入射計算模型Fig．2 Themodel of circular cavity and inclusion locating in same vertical by SH-wave

（1）圖3為入射角α0＝90°、h1／R＝1．5、h2／R＝2．0，介質參數k*1與波數k1R不同情況下水平地表位移幅值隨X／R的變化。由圖3（a）看出，SH波低頻入射時夾雜與圓孔及覆蓋層的存在對地表位移幅值變化影響較小。由圖3（b）、（c）知，SH波較高頻入射時在垂直排列的夾雜與圓孔作用下地表位移幅值成對稱分布，地表位移沿地表水平方向呈增強、減弱交替震蕩且隨入射頻率增加趨于劇烈。由此可見，中高頻垂直入射SH波對地表動位移影響尤其顯著。入射SH波與無淺埋結構及無覆蓋層半空間地表位移量相比，在圓孔、夾雜及覆蓋層共同作用下低頻階段位移被放大，而在中高頻階段減震作用明顯。介質參數k*1亦為重要影響因素，k*1增大地表位移幅值減小。

（2）圖4為SH波垂直入射、介質參數k*1不同時X／R＝0．0處水平地表位移幅值隨h2／R的變化。由圖4看出，地表位移幅值隨h2／R的增大呈周期性變化，k*1增大引起地表位移震蕩頻率加大而位移幅值最大值減小。地表覆蓋層厚度變化未改變X／R＝0．0處位移幅值最大值，與文獻［10］中地表位移幅值與覆蓋層厚度無關結論完全一致。

圖3 地表位移幅值W（t）隨X／R變化Fig．3 Variation of surface displacement amplitudeswith X／R

圖4 地表位移幅值W（t）隨h2／R變化Fig．4 Variation of surface displacement amplitudeswith h2／R

（3）圖5為夾雜在埋深、剛度及SH波入射角不同時水平地表位移幅值W（t）隨X／R的變化。由圖5（a）看出，SH波水平及斜入射時對地表位移影響較大，最大值現于X／R＜0．0范圍內，且地表位移在X／R＜0．0時變化幅度較大，震蕩效果明顯，而淺埋孔洞及夾雜背波面一側地表位移變化明顯減緩，其幅值明顯降低。表明淺埋孔洞、夾雜的迎波面對入射波反射其后面區域產生屏蔽，起到隔振作用；由圖5（b）看出，埋深增大時圓孔與夾雜對地表位移影響減弱。隨埋深h增大地表位移變化趨于平穩。由圖5（c）看出，μ*2＝4．0夾雜剛性較大時對地表位移影響變小，與圖5（a）相比，地表位移幅值最大值變小。

（4）將本文算例中參數賦予特殊值進行退化驗算見圖6，結果與文獻［11］基本一致。

圖5 地表位移幅值W（t）隨X／R變化Fig．5 Variation of surface displacement amplitudeswith X／R

圖6 結果對比Fig．6 Results contrast

3 結 論

利用復變函數法及大圓弧假定法給出SH波作用下帶地表覆蓋層的彈性半空間內圓孔及夾雜散射的近似解析解，探討、分析地震動變化。數值結果表明，半無限空間中地表覆蓋層及夾雜與淺埋孔洞之間存在強烈相互作用，地震動受影響較大。何時產生放大或隔震減震作用與入射波數、埋深、覆蓋層及夾雜剛度等介質參數及入射波入射角度等因素密切相關。工程中須對地表覆蓋層及隱蔽地形予以重視。

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Scattering of SH-wave to subsurface circular cavity and inclusion in a layered half-space and the induced ground motion

QIHui，CHEN Dong-ni，CAILi-ming
（Harbin Engineering University，Aerial and Civil Engineering College，Harbin 150001，China）

The solution of scattering of SH-wave was given by the method using an circular boundary with large radius to approximate the straightboundary of surface layer．In the lightof the theory of Helmholtz，the general solution of the Biot's wave function was achieved．Utilizing the complex function method and the boundary conditions，the present problem was transformed into a problem in which only infinite linear algebraic equationswith unknown coefficients need to be solved．Numerical results of the ground motion were provided．The effects of incident wave number，incident angle，buried depth，stiffness of inclusion and layer on ground motion were analyzed qualitatively．The results of numerical examples show that great a influence on ground motion may occur due to strong interaction between the surface layer and the circular cavity and inclusion．

surface layer；circular cavity；inclusion；scattering of SH-wave；large arc assumed method；ground motion

O343．1；P315．3

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．027

中央高?；究蒲袠I務費項目資助

2013－07－11 修改稿收到日期：2013－11－06

齊輝男，教授，博士生導師，1963年生

陳冬妮女，博士，講師，1974年12月生