f-semiclean環上的Morita系統環

郭莉琴,邵海琴

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741001)

【數學與應用數學研究】

f-semiclean環上的Morita系統環

郭莉琴,邵海琴

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741001)

對clean環和semiclean環做了推廣,給出了f-semiclean環的概念.討論了f-semiclean環上的Morita系統環和三角矩陣環的f-semiclean性質.

滿元素;f-semiclean環;Morita系統環;三角矩陣環

文中除特別聲明之外,總假定R是有單位元的環.U(R)和Id(R)分別表示環R的單位群和由R的冪等元構成的集合,T表示Morita系統環.

對clean環的研究起源于模的消去問題,最早是由Nicholson在文獻[1]中提出的.從此,clean環就成為環領域中一個比較熱門的課題,并逐步成為環論的一個重要研究分支.文獻[2]和[3]中給出了clean環的一些例子.文獻[4]對clean環做了推廣,給出了semiclean環的定義,研究了它的一些性質.文獻[5]給出了f-clean環的概念,并給出了一些結果.

受以上文獻中結果的啟發,本文給出f-semiclean環的定義,并討論了f-semiclean環上的Morita系統環和三角矩陣環的f-semiclean性質.

定義1[1]稱環R的元素r是clean元,是指r=e+u,其中:e∈Id(R),u∈U(R).如果R的每個元素都是clean元,則稱R是clean環.

定義2[4]稱環R的元素r是semiclean元,是指r=a+u,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+,且m≠n),u∈U(R).如果R的每個元素都是semiclean元,則稱R是semiclean環.

定義3[5]稱環R的元素w是滿元素,是指存在s,t∈R,使得swt=1.環R的所有滿元素做成的集合記為K(R).

定義4[5]稱環R的元素r是f-clean元,是指r=e+w,其中:e∈Id(R),w∈K(R).稱R是f-clean 環,是指R的每個元素都是f-clean元.

定義5稱環R的元素r是f-semiclean元,是指r=a+w,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+, 且m≠n),w∈K(R).稱環R是f-semiclean環,是指R的每個元素都是f-semiclean元.

P.Ara,K.R.Goodearl和E.Pardo在文獻[6]中研究了純有限單環.如果R是非除環的純有限單環,則對R的每個非零元x,存在s,t∈R,使得sxt=1.對純有限單環R的元素x來說,要么x=0,要么x∈K(R).因此,純有限單環是f-semiclean環,但它不是semiclean環.所以f-semiclean環是semiclean環的真推廣.

引理1f-semiclean環的同態像是f-semiclean環.

定義6[5]設(A,B,W,V,ψ,φ)表示Morita系統環,其中:A,B是環;BWA,AVB是雙模;ψ:VW→A, φ:WV→B是雙模同態對子,且滿足:

作成環,稱為Morita系統環.

下面討論f-semiclean環上的Morita系統環的性質.

定理2 設R是環,如果矩陣環Mn(R)和Mm(R)都是f-semiclean環,則三角矩陣環Tn+m(R)也是f-semiclean環.

因為Mn(R)和Mm(R)都是f-semiclean環,則存在A11的周期元P1和A22的周期元P2,A11的滿元素W1和A22的滿元素W2,使得

推論6設R是環,則R是f-semiclean環當且僅當三角矩陣環Tn(R)是f-semiclean環.

[1]Nicholson W K.Lifting idempotents and exchange rings[J].Trans.Amer.Math.Soc,1977,(2):269-278.

[2]Camillo V P,Yu H P.Exchange rings,units and idempotents[J].Comm.Algebra,1994,22(12):4737-4749.

[3]Camillo V P,Khurana D.A characterization of unit regular ring[J].Comm.Algebra,2001,29(5):2293-2295.

[4]Ye Y Q.Semiclean Rings[J].Comm.Algebra,2003,31(11):5609-5625.

[5]Li B J,Feng L G.f-clean rings and rings having many full elements[J].J.Korean Math.Soc,2010,47(2):247-261.

[6]Ara P,Goodearl K R,Pardo E.K0of purely infinite simple regular rings[J].K Theory,2002,26(1):69-100.

【責任編輯 牛懷崗】

Morita Context Ring over f-semiclean Ring

GUO Li-qin,SHAO Hai-qin
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui 741001,China)

In this paper,clean rings and semiclean rings are generalized.The conception of f-semiclean ring is introduced. The properties of Morita context ring and fomal triangular matrix ring over f-semiclean ring are investigated.

full element;f-semiclean ring;Morita context ring;triangular matrix ring

O153.3

A

1009-5128(2014)07-0005-03

2013-11-13

天水師范學院中青年教師科研資助項目:特殊環與半環的分次和導子的研究(TSA1312)

郭莉琴(1977—),女,甘肅天水人,天水師范學院數學與統計學院講師,理學碩士,主要從事環與代數研究.