基于穩定性的復合材料層合板鋪層順序優化

何旋等

摘 要：應用數學規劃法對復合材料層合板的鋪層順序進行優化設計，以提高層合板結構的穩定性，并通過剛度等效的思想，結合鋪層順序代理模型實現優化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎上，提出鋪層順序代理模型，并推導鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數學關系，將對離散的鋪層順序變量的優化轉化為對連續變量的優化。算例中利用該優化方法求解層合板的具有最優抗失穩特性的鋪層順序，通過優化設計顯著提高了層合板的穩定性。

關鍵詞：復合材料 鋪層順序 穩定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號：TB33 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復合材料因具有較高的比強度、比剛度和較強的可設計性，在航空領域得到廣泛應用。復合材料層合板的鋪層順序對其失穩特性有較大影響，是復合材料結構設計的基礎和關鍵技術。現代計算機技術的發展為數學規劃法在優化設計中的的應用提供了高效、準確的計算工具，從而使數學規劃法得以在優化設計中推廣應用。層合板鋪層順序的設計是離散的優化問題，利用數學規劃法對其進行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優化方法是基于離散變量的組合優化方法，但是對于飛機結構中存在的上百層鋪層的優化設計問題，組合優化設計的計算效率是一個難以克服的困難。本文考慮對層合板的剛度進行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據層合板的鋪層規律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數學關系，將離散的優化問題轉化為連續的優化問題，進而采用數學規劃法進行求解。

1 復合材料剛度計算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復合材料層合板的鋪層順序表達的非連續性，目前很難采用數學規劃法對層合板結構的鋪層順序直接進行優化設計。本文將復合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結構的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉化為連續變量問題，進而可以采用傳統的數學規劃法對鋪層順序進行優化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會出現拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對層合板穩定性優化的研究采用對稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現拉彎耦合現象，在等效模型中可以只對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效。為了能模擬層合板結構這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結構等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設

為簡化優化問題，提高優化過程的收斂速度，提出以下假設：（1）彎扭耦合變形比較復雜，會對層合板的穩定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產生彎扭耦合變形，采用對稱鋪層進行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設計中，應首選和比中其余項小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對層合板穩定性的影響，認為==0。

2.2 剛度等效模型

對于復合材料的剛度等效，本文中分別構造反映面內剛度和彎曲剛度的2個等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數學規劃法的優化模型

3.1 設計變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實現了離散變量向連續變量的轉化，因此在本文的優化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項參數為設計變量。對于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個極限鋪層，可以首先計算幾個極限鋪層的鋪層順序代理模型參數，再利用優化結果計算鋪層順序代理模型參數，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數對比來實現。

3.2 目標函數和約束條件

本文以層合板穩定性最高為目標函數。對于約束條件的創建，可以將式（9）和式（10）聯立，得到關于、、、四個設計變量的一組不等式，做為優化設計中的約束條件，、、和分別表示為一個包含、、、的多項式。采用Nastran軟件進行優化設計時，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創建方程，并將方程與相應的響應關聯來實現。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序為[45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對其進行分析，可得該層合板的平均應變為93，失穩特征值為0.48449。

根據式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據經典層合板理論計算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數：，，，，，，，。將以上剛度系數代入式（4）和式（5）中，得到面內剛度和彎曲剛度等效模型中的各項參數：

利用以上參數，采用單層正交各向異性材料，分別對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效，并利用Nastran軟件對模型進行穩定性分析，得到等效模型的平均應變為91，失穩特征值為0.49451，其平均應變與失穩特征值與層合板的計算結果誤差分別為2.2%和2.1%。可見，利用本文中的剛度等效模型對層合板的剛度進行模擬具有較高的計算精度。以、、和四個參數為設計變量，目標函數為穩定性最大，約束條件按照式（9）的方法計算，得到：

利用Nastran軟件對模型進行優化，得到，，，，優化后等效模型的失穩特征值為0.5812。將優化得出的四個參數的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設不考慮復合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個參數分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優穩定性的鋪層順序為：[（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對其進行穩定性分析，得到對層合板鋪層順序優化后該層合板的失穩特征值為0.5762，與優化前相比，失穩特征值提高了9.1%。

5 結語

（1）通過調整單層正交各向異性材料的屬性參數可以對等厚度的、不同鋪層順序的復合材料層合板進行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉化為連續的材料屬性變量，使數學規劃法的應用更加方便。

（2）通過構建鋪層順序代理模型，可以準確的對剛度等效模型的優化結果進行鋪層順序反推。

（3）利用方法對層合板的鋪層順序進行優化設計可以有效提高層合板的穩定性。

參考文獻

[1] 徐芝綸.彈性力學（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 瓊斯.復合材料力學[M].上?？茖W技術出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：應用數學規劃法對復合材料層合板的鋪層順序進行優化設計，以提高層合板結構的穩定性，并通過剛度等效的思想，結合鋪層順序代理模型實現優化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎上，提出鋪層順序代理模型，并推導鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數學關系，將對離散的鋪層順序變量的優化轉化為對連續變量的優化。算例中利用該優化方法求解層合板的具有最優抗失穩特性的鋪層順序，通過優化設計顯著提高了層合板的穩定性。

關鍵詞：復合材料 鋪層順序 穩定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號：TB33 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復合材料因具有較高的比強度、比剛度和較強的可設計性，在航空領域得到廣泛應用。復合材料層合板的鋪層順序對其失穩特性有較大影響，是復合材料結構設計的基礎和關鍵技術?，F代計算機技術的發展為數學規劃法在優化設計中的的應用提供了高效、準確的計算工具，從而使數學規劃法得以在優化設計中推廣應用。層合板鋪層順序的設計是離散的優化問題，利用數學規劃法對其進行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優化方法是基于離散變量的組合優化方法，但是對于飛機結構中存在的上百層鋪層的優化設計問題，組合優化設計的計算效率是一個難以克服的困難。本文考慮對層合板的剛度進行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據層合板的鋪層規律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數學關系，將離散的優化問題轉化為連續的優化問題，進而采用數學規劃法進行求解。

1 復合材料剛度計算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復合材料層合板的鋪層順序表達的非連續性，目前很難采用數學規劃法對層合板結構的鋪層順序直接進行優化設計。本文將復合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結構的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉化為連續變量問題，進而可以采用傳統的數學規劃法對鋪層順序進行優化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會出現拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對層合板穩定性優化的研究采用對稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現拉彎耦合現象，在等效模型中可以只對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效。為了能模擬層合板結構這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結構等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設

為簡化優化問題，提高優化過程的收斂速度，提出以下假設：（1）彎扭耦合變形比較復雜，會對層合板的穩定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產生彎扭耦合變形，采用對稱鋪層進行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設計中，應首選和比中其余項小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對層合板穩定性的影響，認為==0。

2.2 剛度等效模型

對于復合材料的剛度等效，本文中分別構造反映面內剛度和彎曲剛度的2個等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數學規劃法的優化模型

3.1 設計變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實現了離散變量向連續變量的轉化，因此在本文的優化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項參數為設計變量。對于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個極限鋪層，可以首先計算幾個極限鋪層的鋪層順序代理模型參數，再利用優化結果計算鋪層順序代理模型參數，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數對比來實現。

3.2 目標函數和約束條件

本文以層合板穩定性最高為目標函數。對于約束條件的創建，可以將式（9）和式（10）聯立，得到關于、、、四個設計變量的一組不等式，做為優化設計中的約束條件，、、和分別表示為一個包含、、、的多項式。采用Nastran軟件進行優化設計時，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創建方程，并將方程與相應的響應關聯來實現。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序為[45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對其進行分析，可得該層合板的平均應變為93，失穩特征值為0.48449。

根據式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據經典層合板理論計算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數：，，，，，，，。將以上剛度系數代入式（4）和式（5）中，得到面內剛度和彎曲剛度等效模型中的各項參數：

利用以上參數，采用單層正交各向異性材料，分別對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效，并利用Nastran軟件對模型進行穩定性分析，得到等效模型的平均應變為91，失穩特征值為0.49451，其平均應變與失穩特征值與層合板的計算結果誤差分別為2.2%和2.1%。可見，利用本文中的剛度等效模型對層合板的剛度進行模擬具有較高的計算精度。以、、和四個參數為設計變量，目標函數為穩定性最大，約束條件按照式（9）的方法計算，得到：

利用Nastran軟件對模型進行優化，得到，，，，優化后等效模型的失穩特征值為0.5812。將優化得出的四個參數的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設不考慮復合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個參數分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優穩定性的鋪層順序為：[（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對其進行穩定性分析，得到對層合板鋪層順序優化后該層合板的失穩特征值為0.5762，與優化前相比，失穩特征值提高了9.1%。

5 結語

（1）通過調整單層正交各向異性材料的屬性參數可以對等厚度的、不同鋪層順序的復合材料層合板進行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉化為連續的材料屬性變量，使數學規劃法的應用更加方便。

（2）通過構建鋪層順序代理模型，可以準確的對剛度等效模型的優化結果進行鋪層順序反推。

（3）利用方法對層合板的鋪層順序進行優化設計可以有效提高層合板的穩定性。

參考文獻

[1] 徐芝綸.彈性力學（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 瓊斯.復合材料力學[M].上?？茖W技術出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：應用數學規劃法對復合材料層合板的鋪層順序進行優化設計，以提高層合板結構的穩定性，并通過剛度等效的思想，結合鋪層順序代理模型實現優化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎上，提出鋪層順序代理模型，并推導鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數學關系，將對離散的鋪層順序變量的優化轉化為對連續變量的優化。算例中利用該優化方法求解層合板的具有最優抗失穩特性的鋪層順序，通過優化設計顯著提高了層合板的穩定性。

關鍵詞：復合材料 鋪層順序 穩定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號：TB33 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復合材料因具有較高的比強度、比剛度和較強的可設計性，在航空領域得到廣泛應用。復合材料層合板的鋪層順序對其失穩特性有較大影響，是復合材料結構設計的基礎和關鍵技術。現代計算機技術的發展為數學規劃法在優化設計中的的應用提供了高效、準確的計算工具，從而使數學規劃法得以在優化設計中推廣應用。層合板鋪層順序的設計是離散的優化問題，利用數學規劃法對其進行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優化方法是基于離散變量的組合優化方法，但是對于飛機結構中存在的上百層鋪層的優化設計問題，組合優化設計的計算效率是一個難以克服的困難。本文考慮對層合板的剛度進行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據層合板的鋪層規律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數學關系，將離散的優化問題轉化為連續的優化問題，進而采用數學規劃法進行求解。

1 復合材料剛度計算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復合材料層合板的鋪層順序表達的非連續性，目前很難采用數學規劃法對層合板結構的鋪層順序直接進行優化設計。本文將復合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結構的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉化為連續變量問題，進而可以采用傳統的數學規劃法對鋪層順序進行優化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會出現拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對層合板穩定性優化的研究采用對稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現拉彎耦合現象，在等效模型中可以只對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效。為了能模擬層合板結構這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結構等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設

為簡化優化問題，提高優化過程的收斂速度，提出以下假設：（1）彎扭耦合變形比較復雜，會對層合板的穩定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產生彎扭耦合變形，采用對稱鋪層進行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設計中，應首選和比中其余項小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對層合板穩定性的影響，認為==0。

2.2 剛度等效模型

對于復合材料的剛度等效，本文中分別構造反映面內剛度和彎曲剛度的2個等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數學規劃法的優化模型

3.1 設計變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實現了離散變量向連續變量的轉化，因此在本文的優化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項參數為設計變量。對于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個極限鋪層，可以首先計算幾個極限鋪層的鋪層順序代理模型參數，再利用優化結果計算鋪層順序代理模型參數，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數對比來實現。

3.2 目標函數和約束條件

本文以層合板穩定性最高為目標函數。對于約束條件的創建，可以將式（9）和式（10）聯立，得到關于、、、四個設計變量的一組不等式，做為優化設計中的約束條件，、、和分別表示為一個包含、、、的多項式。采用Nastran軟件進行優化設計時，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創建方程，并將方程與相應的響應關聯來實現。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序為[45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對其進行分析，可得該層合板的平均應變為93，失穩特征值為0.48449。

根據式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據經典層合板理論計算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數：，，，，，，，。將以上剛度系數代入式（4）和式（5）中，得到面內剛度和彎曲剛度等效模型中的各項參數：

利用以上參數，采用單層正交各向異性材料，分別對層合板的面內剛度和彎曲剛度進行等效，并利用Nastran軟件對模型進行穩定性分析，得到等效模型的平均應變為91，失穩特征值為0.49451，其平均應變與失穩特征值與層合板的計算結果誤差分別為2.2%和2.1%?？梢?，利用本文中的剛度等效模型對層合板的剛度進行模擬具有較高的計算精度。以、、和四個參數為設計變量，目標函數為穩定性最大，約束條件按照式（9）的方法計算，得到：

利用Nastran軟件對模型進行優化，得到，，，，優化后等效模型的失穩特征值為0.5812。將優化得出的四個參數的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設不考慮復合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個參數分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優穩定性的鋪層順序為：[（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對其進行穩定性分析，得到對層合板鋪層順序優化后該層合板的失穩特征值為0.5762，與優化前相比，失穩特征值提高了9.1%。

5 結語

（1）通過調整單層正交各向異性材料的屬性參數可以對等厚度的、不同鋪層順序的復合材料層合板進行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉化為連續的材料屬性變量，使數學規劃法的應用更加方便。

（2）通過構建鋪層順序代理模型，可以準確的對剛度等效模型的優化結果進行鋪層順序反推。

（3）利用方法對層合板的鋪層順序進行優化設計可以有效提高層合板的穩定性。

參考文獻

[1] 徐芝綸.彈性力學（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 瓊斯.復合材料力學[M].上?？茖W技術出版社，1981：20-30.endprint