基于分形方法估算部分商為a或b的連分數集維數

閆月靜，劉豐

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

基于分形方法估算部分商為a或b的連分數集維數

閆月靜，劉豐

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

連分數的展開式具有結構上的自相似性，部分商滿足一定條件的連分數構成的集合是分形集，通過構造迭代映射的方法估算其Hausdorff維數.

分形；連分數；部分商；Hausdorff維數

1 連分數的定義

2 Hausdorff維數

3 部分商為a或b的連分數的分形維數的估算

3.1 定義及定理

3.2 連分數的分形維數的估算

對于部分商都等于a或b(a

例1對于連分數展開的部分商只包含數字2或3的正數所構成的集合，討論它的Hausdorff維數的估計.

設F是正實數組成的數集，x∈F且x具有無窮部分的連分數展開式，部分商都等于3或2，則F是閉的且有界的集合.

首先證明集合F是分形集.

則F對Si是不變的，數集F是分形集.

然后求出滿足部分商只包含數字2或3的集合F取值范圍.

改變加在部分商上的條件可以得到作為某些變換的不變集的其他分形，并且依照這種方法可以求出其分形維數.但是對于實直線的子集，維數的上估計大于1是沒有意義的，所以還要構造迭代映射，進而縮小估計值.[8]

例2設F是正實數組成的數集，x∈F，且x具有無窮的部分分式展開式，它們的部分商都等于2或4，0.232

例3設F是正實數組成的數集，x∈F，且x具有無窮的部分分式展開式，它們的部分商都等于1或2.

顯然集F是分形,但是得到的維數估計是

那么現在維數的上、下估計分別由以下方程解出

得出0.44

總之，對于部分商都等于a或b的連分數的分形維數估值問題，可以采用如上所示構造迭代映射的方法，一步步縮小估計值.

[1]Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M].San Francisco:Freeman,1983,41-45.

[2]商朋見.無窮數列集的Hausdorff測度和Hausdorff維數[J].北京交通大學學報,2000:2.

[3]廖曉娟.序列部分商與豪斯多夫維數[D].華中科技大學,2009.

[4]丁偉業.連分數部分商的分形維數[D].華中科技大學,2011.

[5]呂美英.形式級數域上連分數展式與丟番圖逼近的若干問題[D].華中科技大學,2011.

[6]陳曉丹.兩類分形集的Hausdorff測度[D].四川師范大學,2005.

[7]呂美英.形式級數域上連分數展式與丟番圖逼近的若干問題[D].華中科技大學,2011.

[8]張振亮.Engel連分數展式與Huasdorff維數[J].應用數學,2011,24(3).

[責任編輯張燦邦]

Based on Fractal Geometry Method Estimate Continued Fraction Sets’Dimension of Partial Quotient a or b

YAN Yue-jing,LIU Feng
(College of Mathematics ,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000,China)

Continued fraction expansion has such type structure as the self-similarity fractal sets ,its partial quotient whicd meets some certain conditions is a fractal set,Haussdorff dimension can estimated by the means of construing iterative mapping method.

fractal geometry;continued fraction;partial quotient ;Hausdorff dimension.

O29

：A

：1008-9128（2014）05-0026-04

2013-12-16

閆月靜（1989-），女，吉林敦化人，碩士，研究方向：應用數學。