研究一道向量習題的幾種解法提高學生解題才能

孟令凱

題目：（普高課程標準·數學（必修4））P66習題2.2。

如圖1，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點。求證： + =2 。

方法1：（用結論）

∵ = + + ， = + + ，又∵E、F分別是AD、BC的中點，∴ + = ， + = 。

∴2 = + 。

方法2：（用法則）

如圖2，連結BE、CE，延長EF至G點，使EF=FG。

又∵BF=CF，∴四邊形ABCD是平行四邊形。

∴ + = =2 。

又∵ = + ， = + ， + = ，∴ = + =（ + ）+（ + ）= + 。

∴2 = + 。

方法3：（用舊知）

如圖3，過點E分別做EM AB，EN DC連結MN，設MN交BC于點F，則四邊形EABM，四邊形EDCN均為平行四邊形。

又∵E為AD的中點，AE BM，ED CN，∴BM CN。

∴△BMF*？艿△CNF*。

∴BF*=CF*。

∴點F*與點F重合。

∴ = 。

∴ = （ + ）= （ + ）。

∴ = （ + ）。

∴ = + 。

方法四：（用定比）

如圖4，延長BA、CD交與G點。

又∵E、F分別是AD，BC的中點，∴ = （ + ）。

∴ = （ + ）。

又∵ = - ，∴2 =2（ - ）=2 （ + ）- （ + ）

=（ + ）-（ + ）=（ - ）+（ - ）= + 。

方法5：（用坐標）

建立如圖5所示的直角坐標系，設A（m，n），D（p，q），C（a，0），F（0，0），則B（-a，0），E ， 。

∴ =（-a-m，-n）， =（a-p，-q），∴ =- ， 。

∴ + n）=（-a-m-n）+（a-p，-q），=（-m-p，-n-q）=2- ， =2 。

點評：方法5用坐標和方法2用法則，是解決向量證明的常規思路；方法1、方法4用了結論首尾順次連結的封閉n邊形向量和是零向量，定比分點等結論解題；方法3用法則同時融進了平面幾何知識，對提高學生的思維很有益處。但不論是常規思路還是其他方法，哪怕很復雜，教師在平常教學時皆可引導學生進行探索，多思考、多總結，久而久之就會提高學生分析問題、解決問題的才能了。

（江蘇省灌云縣楊集高級中學）