直線y=kx+b（k≠0）之極值在實際中的應用

滕書會

對于直線y=kx+b（k≠0）本身無最值可言（用于實際問題），但是當我們對一次函數直線y=kx+b的定義域加以限定（m≤x≤n）則可通過k的符號由一次函數的增減性而取其最值，即

k>0時 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

k<0時 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

而這一知識更多地為解決實際問題所用，不妨看下列一題。

例如某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產甲、乙兩種產品共50件，已知生產一件A產品，需甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利潤700元，生產一件B種產品，需甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元，設生產A、B兩種產品的總利潤為y（元），其中一種的生產數為x，試寫出y與x間的函數關系式，并利用函數的性質決定生產方案，使之獲利最大，并求最大利潤為多少？

解析：解決與經濟掛鉤的實際問題是近年來的一種趨勢。這類問題通常具有的特點是文字量大，情景陌生，需要學生有較強的閱讀能力和歸納建模能力，但關鍵是找到決定這一結果的因素是什么，如本題所獲利潤y（元）由每種產品的件數及每件產品的獲利而定，原則上是每件產品獲利情況已定，故最終是由各產品的件數來決定，但是不要忘了，各種原料是有限的，從而對件數有一定的限制。如果設A產品的件數為x件，則B產品的件數為（50-x）件，故生產x件A產品可獲利700x元，生產（50-x）件B產品可獲利1200（50-x）元，所以總利潤是y=700x+1200（50-x）=60000-500x。

如果忽略了x所表示的實際意義（件數），則y是x的一次函數，這樣我們就可通過限定自變量x的取值范圍來決定y的最值，而這一取值范圍是由甲、乙兩種原料的有限來決定的。下面我們一起來分析甲、乙兩種原料的利用情況。

（1）甲原料的利用。生產x件A產品用9x千克，而甲原料是有限的，為360千克，故9x+4（50-x）≤360。 （1）

（2）乙原料的利用。生產x件A產品用3x千克，生產（50-x）件B產品用10（50-x）千克，而乙原料也是有限的為290千克，故

3x+10（50-x）≤290。 （2）

聯立（1）、（2）可得關于x的不等式組，解的結果為30≤x≤32。

下面利用（3）來決定y的最值，對于y=60000-500x，其k<0，故y隨x的增大而減少，故x越小，y越大，而30≤x≤32，所以當x取最小值x=30時，y最大值為y=60000-500×30=45000（元）。

從而可知獲取最大利潤的生產方案是：生產A種產品30件，生產B種產品20件。

解：設生產A種產品x件，則生產B種產品為（50-x）件，由題意可知：y=700x+1200（50-x）=60000-500x。

而9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，解之得30≤x≤32。

由一次函數的增減性知，當x=30時，=60000-500×30=

45000（元）。

所以，獲取最大利潤的生產方案是：生產A種產品30件，生產B種產品20件，所獲最大利潤為45000元。

綜上所述，在用直線y=kx+b（k≠0）條件極值來解決實際問題時，先將結果（如獲利潤）表示為某一因素的函數，而后利用這一因素的限制條件來獲取其最值，這是解題關鍵所在。

（黑龍江省大慶市第六十一中學）