制定鐵路旅客票價(jià)的策略模型與求解算法研究

李樹彬，黨文修，傅白白

（1．山東警察學(xué)院治安系，山東 濟(jì)南 250014；2．山東建筑大學(xué)交通研究所，山東 濟(jì)南 250101）

*交通運(yùn)輸專欄*

制定鐵路旅客票價(jià)的策略模型與求解算法研究

李樹彬1，黨文修1，傅白白2

（1．山東警察學(xué)院治安系，山東 濟(jì)南 250014；2．山東建筑大學(xué)交通研究所，山東 濟(jì)南 250101）

城市間的多種運(yùn)輸方式存在著競爭關(guān)系，在給定需求下票價(jià)價(jià)格是各種運(yùn)輸方式的調(diào)節(jié)杠桿。本文提出了一個(gè)鐵路旅客票價(jià)制定的雙層規(guī)劃模型。首先建立了一個(gè)描述用戶多等級(jí)、路徑多阻抗、多標(biāo)準(zhǔn)情況的變分不等式模型，并將其作為雙層規(guī)劃模型的下層模型，然后以鐵路運(yùn)營總收益為上層目標(biāo)，建立了相應(yīng)的雙層規(guī)劃模型，同時(shí)設(shè)計(jì)了求解此模型的基于混沌－修正投影算法的啟發(fā)式求解算法。結(jié)果表明，本文提出的票價(jià)價(jià)格制定機(jī)制是合理的，有望為有關(guān)部門的定價(jià)機(jī)制提供理論依據(jù)。

旅客票價(jià)；雙層規(guī)劃；變分不等式；求解算法

高速鐵路推動(dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，也帶動(dòng)了城際間出行需求的激增，鐵路作為城際間交通的主要出行方式之一，是承載城市間交通的主要載體，也是保證我國經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的主要力量。目前，國家大部制改革促使鐵路運(yùn)營走上市場化，由于現(xiàn)有的定價(jià)機(jī)制存在一定的盲目性，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于時(shí)代的發(fā)展，因此必須研究市場經(jīng)濟(jì)條件下新的鐵路旅客票價(jià)制定策略。

市場經(jīng)濟(jì)的主要特點(diǎn)之一就是存在競爭性，就鐵路而言，在長遠(yuǎn)距離上存在航空運(yùn)輸?shù)母偁帲谥卸搪酚执嬖谥愤\(yùn)輸以及私家車的競爭。在相對(duì)較長的一段時(shí)間內(nèi)，各種運(yùn)輸方式中的基本因素（如舒適度、方便性、旅行時(shí)間、安全性等）都不會(huì)發(fā)生較大的變化，因此相對(duì)來說票價(jià)對(duì)客流需求變化具有較大的影響。

關(guān)于票價(jià)定價(jià)機(jī)制的研究，大體上分為城市間運(yùn)輸方式和城市內(nèi)運(yùn)輸方式兩個(gè)方面。城市內(nèi)的研究主要集中在公交票價(jià)、軌道交通和擁擠收費(fèi)等方面，如Ferrari［1］討論了在彈性需求和能力約束的條件下城市交通網(wǎng)絡(luò)的收費(fèi)問題；Friesz等［2］討論了空間價(jià)格平衡網(wǎng)絡(luò)的城市交通票價(jià)設(shè)計(jì)問題；王敏［3］分析了地鐵票價(jià)制定的相關(guān)因素；史若燃等［4］研究了在不同市場機(jī)制下，多種交通方式的定價(jià)問題；蔣金亮等［5］研究了低碳交通下快速公交的票價(jià)優(yōu)化方法等。城市間票價(jià)制定問題的主要研究包括公路、航空和鐵路三個(gè)方面。黃歡等［6］利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究了公路客運(yùn)票價(jià)制定問題，陳林［7］建立了航空公司實(shí)行多級(jí)票價(jià)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，朱金福等［8］探討了航空客運(yùn)艙位控制和超售綜合靜態(tài)建模。鐵路方面，四兵鋒［9－10］、陳建華［11－12］、李樹彬［13－14］等分別研究了市場經(jīng)濟(jì)條件下的不同鐵路旅客票價(jià)制定的理論模型和算法。但上述研究都把旅客作為一個(gè)整體，假設(shè)旅客具有相同的需求，并沒有在運(yùn)輸方式提供的服務(wù)上進(jìn)行細(xì)化，比如個(gè)人價(jià)值觀不同，對(duì)時(shí)間的偏重程度也不同等。本文將旅客劃分為幾個(gè)等級(jí)，從而更加客觀地反應(yīng)現(xiàn)實(shí)情況。首先研究多級(jí)別的旅客需求，構(gòu)建了一個(gè)新的變分不等式作為下層模型，同時(shí)考慮鐵路運(yùn)營的最大化收益，構(gòu)建了雙層規(guī)劃的上層模型，從而組成了鐵路旅客票價(jià)制定的雙層規(guī)劃模型。上層模型保證了鐵路運(yùn)營部門的最大化收益，下層模型考慮到了旅客自身的出行費(fèi)用最小。

1 城際間多模式用戶選擇的變分不等式模型

城市之間的交通相比于市內(nèi)交通較為簡單，因?yàn)槁肪€是固定的，不存在路徑選擇問題，只有交通方式的選擇。交通網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，節(jié)點(diǎn)表示城市，弧線表示運(yùn)輸方式，運(yùn)輸方式一旦選定，路線也就確定了。

考慮到需求會(huì)隨費(fèi)用變動(dòng)的情況，最終將在各種運(yùn)輸方式之間達(dá)到一種均衡狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，同一等級(jí)的旅客選擇任何一種交通方式的最小廣義費(fèi)用全部相等，并且小于或等于未被選中的交通方式的出行費(fèi)用。

設(shè)交通網(wǎng)絡(luò)G＝（N，ξ），N代表節(jié)點(diǎn)集合；ξ代表有向路段的集合；P表示OD對(duì)集合，因?yàn)闆]有路徑選擇問題，每個(gè)OD對(duì)的連接只有不同的路段n；pn表示連接OD對(duì)p的第n個(gè)路段（即第n種運(yùn)輸方式）；Rp表示連接每個(gè)OD對(duì)p的路段總數(shù)。

圖1 交通網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Three lines traffic network

將所有旅客劃分為k個(gè)等級(jí)，每一級(jí)用i（i∈k）表示，那么表示pn路段上第i個(gè)級(jí)別的旅客流量表示OD對(duì)p的第i個(gè)級(jí)別的旅客流量，fp表示OD對(duì)p的所有旅客的流量。于是可以得出如下等式：

由于路段pn上每種交通方式所需要的時(shí)間基本上是固定的，所以流量與舒適度、安全度有一定的關(guān)系，通常這種關(guān)系是反函數(shù)關(guān)系：

其中，bpn表示交通方式pn的安全度舒適度。

本文假定非負(fù)參數(shù)和表示時(shí)間、票價(jià)和安全度、舒適度對(duì)第i級(jí)旅客的權(quán)重。權(quán)重越大說明對(duì)某種因素越重視。

lpn表示交通方式pn在某個(gè)OD對(duì)p之間的票價(jià)，用來表示pn上第i級(jí)用戶的廣義費(fèi)用函數(shù)，一般是指數(shù)或者冪函數(shù)形式，本文設(shè)定如下：其中，q，b是待為標(biāo)定的參數(shù)，tn是時(shí)間常數(shù)。于是，第i級(jí)別的旅客在交通方式pn上的廣義出行費(fèi)與總流量和票價(jià)有關(guān)。

當(dāng)我們固定其他交通方式票價(jià)時(shí)，滿足上述條件的均衡問題可以表示成一個(gè)變分不等式：

這里〈…，…〉表示kn維歐幾里德空間里的內(nèi)積。

命題1上述變分不等式與所提出的均衡條件等價(jià)。

上述均衡條件與變分不等式等價(jià)，從均衡條件可以看出，對(duì)于固定的第i級(jí)用戶的pn路段，可得

對(duì)（7）式中的OD對(duì)p的所有途徑pn求和得到：

（8）式可以簡化為

將（9）對(duì)p和i求和，可以得到下式

將其表示成向量形式，即可得（6）。

2 基于鐵路運(yùn)營收益的雙層規(guī)劃模型

變分不等式（6）描述了城市間多等級(jí)多標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)輸條件下，旅客從自身的利益出發(fā)，選擇對(duì)自身來說出行費(fèi)用最小的交通方式。因?yàn)楦鞣N交通方式由于價(jià)格的存在，出行費(fèi)用也隨價(jià)格而變動(dòng)，因此鐵路運(yùn)營者可以通過改變票價(jià)來影響旅客在不同交通方式之間的選擇，但不能決定旅客的最終選擇，當(dāng)然也期望自己的鐵路經(jīng)濟(jì)效益最大。這就是典型的雙層規(guī)劃思想。

在這里，假設(shè)n＝1表示鐵路運(yùn)輸，在某個(gè)OD對(duì)p之間鐵路運(yùn)輸?shù)目推眱r(jià)格為lp1，于是整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)中，鐵路運(yùn)營的總收益為

其中Lp1表示鐵路運(yùn)輸在OD對(duì)p之間每個(gè)旅客的平均客運(yùn)成本。

在現(xiàn)有的經(jīng)濟(jì)體制下，政府部門由于考慮公益性，對(duì)鐵路客票價(jià)格有一定的制約作用，那么票價(jià)必將有下限和上限：

于是雙層規(guī)劃模型的上層模型如下：

3 基于混沌－修正投影算法的啟發(fā)式算法

對(duì)于上述雙層規(guī)劃模型當(dāng)票價(jià)給定時(shí)，下層模型為一個(gè)變分不等式題，可用修正的投影算法進(jìn)行求解［15］。鑒于混沌算法［16］的普適性，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)基于混沌－修正投影算法優(yōu)的啟發(fā)式算法，其基本步驟如下：

（1）算法初始化。置k＝1，F(xiàn)*通常取一個(gè)較小的數(shù)。

（2）隨機(jī)產(chǎn)生上層規(guī)劃的變量lp1的初值，并將這個(gè)隨機(jī)數(shù)變換到該優(yōu)化問題變量的允許解空間。

（3）將上步的初始值代入到下層規(guī)劃，利用修正的投影法求解下層變分不等式，得到最優(yōu)解。

（4）將求得的值返回到上層規(guī)劃，利用混沌優(yōu)化方法對(duì)上層規(guī)劃求解得到最優(yōu)解及相應(yīng)的最優(yōu)值Fk。

4 數(shù)值算例

彈性需求問題往往可以用增設(shè)虛擬路段的方式加以解決［12］，由于雙層規(guī)劃模型求解的復(fù)雜性，本文采用固定需求的形式，并且只考慮了一個(gè)OD對(duì)，兩種級(jí)別的旅客和兩種交通方式，見圖2（n＝1為鐵路，n＝2為公路）。

圖2 兩級(jí)交通網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Two lines traffic network

表1 已知費(fèi)用數(shù)據(jù)Table 1 The known cost data

表2 模型參數(shù)值Table 2 Model parameter value

表3 模型所得結(jié)果Table 3 Model acquired results

上述結(jié)果表明，經(jīng)過本文所提模型和算法的最優(yōu)求解，合理的票價(jià)制定價(jià)格是26.96，此時(shí)存在兩種交通方式的費(fèi)用，其一為鐵路運(yùn)營，其二為公路運(yùn)營，通過求解雙層規(guī)劃模型，兩種運(yùn)營方式的費(fèi)用分別為65.54和59.4。費(fèi)用不同是因?yàn)椴煌?jí)別的旅客對(duì)不同屬性的重視程度不同而引起的。從鐵路運(yùn)營的最大收益來說，此時(shí)票價(jià)價(jià)格既保證了旅客的出行費(fèi)用最小，同時(shí)又滿足了鐵路運(yùn)營的最大收益。通過模型的求解26.96是雙層規(guī)劃模型的平衡點(diǎn)，這表明，在雙層規(guī)劃思想的驅(qū)動(dòng)下，兩種運(yùn)營方式的有條件博弈，最終達(dá)到了一個(gè)平衡點(diǎn)，即是最優(yōu)的需求點(diǎn)。

5 結(jié)論

本文根據(jù)旅客對(duì)運(yùn)輸方式不同屬性的偏好，將旅客劃分為不同的等級(jí)，并運(yùn)用均衡思想，建立了多級(jí)別多標(biāo)準(zhǔn)的均衡配流變分不等式模型。由于鐵路運(yùn)營者期望收益最大，但也只能用票價(jià)杠桿來調(diào)節(jié)需求的分配，不能最終決定旅客的選擇，而旅客同時(shí)也期望自己的出行費(fèi)用最小，這看似矛盾的組合體恰好符合雙層規(guī)劃的思想。因此本文中，建立了一個(gè)描述上述問題的雙層規(guī)劃模型，鑒于模型的求解復(fù)雜性，本文設(shè)計(jì)了基于混沌—修正投影算法的啟發(fā)式求解算法，該算法避免了靈敏度分析所帶來的求導(dǎo)困難，結(jié)果表明模型和算法是可行的，該模型稍加修改也可應(yīng)用于其他的交通方式。本文的不足之處是算例偏小，并且沒有將同一種運(yùn)輸方式進(jìn)行細(xì)致劃分，比如鐵路上的高鐵、動(dòng)車、快車等，這也是下一步工作的方向。

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［11］陳建華，高自友．多模式條件下需求變動(dòng)時(shí)鐵路客票價(jià)格制定的優(yōu)化模型及算法［J］．交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2001，1（4）：319－330．

［12］陳建華．鐵路旅客票價(jià)優(yōu)化問題的相關(guān)模型及算法［D］．北京：北京交通大學(xué)，2007．

［13］李樹彬．鐵路旅客票價(jià)制定及其相關(guān)問題研究［D］．北京：北京交通大學(xué)，2007．

［14］李樹彬，陳峰．城市間多模式交通旅客票價(jià)制定的博弈分析［J］．鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2006，28（3）：8－10．

［15］任華玲，高自友．動(dòng)態(tài)交通分配中一種離散VI模型的算法研究［J］．土木工程學(xué)報(bào)2004，37（3）：105－108．

［16］滕春賢，李智慧．二層規(guī)劃的理論與應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2002：84－92．

Strategy model and solution algorithm of railway passenger ticket price

LI Shu-bin1，DANG Wen-xiu1，F(xiàn)U Bai-bai2
（1．Department of Public Security，Shandong Police College，Jinan 250014，China；2．Institu te of Traffic，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Competition exists in multiple intercity transportation means．Ticket price is the adjustment lever for the given requirements．This paper presents a bi-level programming model for railway passenger ticket pricing．We initially construct a variational inequality model that can represent multi-class，multi-path cost and multi-criteria．It serves as the down-level model of the bi-level programming model．We then establish the up-level model of the bi-level programming model with total railway income as an object．We also design a chaos-modified projection algorithm based heuristic algorithm to solve a bi-level programming model．Results show that the proposed ticket pricing mechanism is reasonable．It will provide a better theoretical basis for government railway ticket pricing mechanism．

railway passenger ticket price；bi-level programming；variational inequality；solution algorithm

U293.1

A

1002-4026（2014）01-0073-05

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.01.013

2013-03-13

國家自然科學(xué)基金（71171124）；山東省超級(jí)計(jì)算科技專項(xiàng)項(xiàng)目（2011YD01104）；交通運(yùn)輸部行業(yè)聯(lián)合科技公關(guān)項(xiàng)目（2009-353-337-480）

李樹彬（1977－），男，博士，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸系統(tǒng)分系統(tǒng)與集成、智能交通等。