基于時間序列模型的軌道質量指數預測研究

宋博洋

（北京交通大學交通運輸學院，北京 100044）

基于時間序列模型的軌道質量指數預測研究

宋博洋

（北京交通大學交通運輸學院，北京 100044）

軌道質量指數（TQI）是反映區段軌道整體不平順的一項重要指標，是一個具有隨機性特征的時間序列。本文用灰色系統理論分析TQI序列與各單項指標間的關聯度并預測某區段下一次檢查的數值；運用ARMA模型對200 m單元區段的TQI序列數據進行研究，分析其變化趨勢并對未來一段時間的TQI進行預測。算例分析表明，兩個模型的預測精度有所提高，相對誤差小于5%。

時間序列；ARMA模型；關聯度；修正GM（1，1）；軌道質量指數

1 引言

隨著我國鐵路網規模的不斷擴大，鐵路運輸在促進國民經濟發展中起著越來越重要的作用。同時，鐵路養護維修工作也變得更為重要和復雜［1］。鐵路行車安全是鐵路運輸工作的基本要求，而鐵路軌道不平順是使列車產生振動的主要原因，會對列車的行車質量產生重大影響［2］。準確掌握軌道狀態的變化規律，制定合理的養護維修計劃，是解決行車安全問題的重要內容。因此，鐵路工務部門提出了以軌道狀態為基礎的“狀態修”。

軌道質量指數（track quality index，TQI）是反映區軌道整體平順程度的一項重要指標，是一個具有隨機特性的時間序列。徐偉昌［3］提出一種基于累計通過總重的線性模型進行預測，其基本公式為

其中，TQI0為初始時刻的軌道質量指數，K為線路的劣化速率，T為累計通過總重。

此模型的預測結果可以基本反映短期TQI的變化趨勢，但是影響軌道的劣化因素不僅包括累計通過總重，而且跟所處的地理位置、溫度、降水以及測量誤差等因素相關，因此用直線擬合可能會產生比較大的偏差。

本文針對上述線性模型存在的問題，提出用灰色系統理論對TQI序列進行相關性分析和短期預測，用時間序列分析模型ARMA對每個200 m單元區段分別建模進行中長期預測，對制定鐵路線路的維修計劃具有一定的指導意義。

2 灰色分析及預測

灰色預測是針對介于白色系統和黑色系統之間的灰色系統的預測，系統內一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，且內部各因素之間具有不確定的關系。

2.1 灰色關聯分析

灰色關聯分析的基本思想是根據序列曲線集合形狀的相似程度來判斷其聯系是否緊密。曲線越接近，相應序列之間的關聯度就越大，反之就越小［4］。

設x0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））為某一系統的行為特征序列，且

為相關性因素。記

軌道質量指數TQI是7項單項指標的標準差之和，通過進行灰色關系度分析，可以找出影響TQI值的最主要因素，為采取有預防性的措施提供理論基礎。

2.2 改進灰色GM（1，1）模型

灰色GM（1，1）模型主要是針對指數遞增序列進行預測的，但實際上大部分時間序列數據不具有指數遞增的趨勢，此時灰色模型的預測精度就會降低。因此需要對原始模型進行改進，使之能夠擴大應用領域。本文提出了利用殘差對原始模型進行改進的方法，試驗證明這種改進后的模型可以在一定程度提高預測的精度，預測結果對實際工作具有指導意義。

設數據的原始序列為：X0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））（x是TQI時序檢測數據），根據灰色系統理論，灰色預測模型GM（1，1）的基本形式為［3－4］：

模型的時間響應序列為

當原始序列的波動性比較大時，GM（1，1）模型的精度比較低，此時需要對原始模型進行修正改進，以提高精度。

對ε0應用GM（1，1）模型進行計算，得其模擬序列

用模擬得到的序列ε0修正，稱修正后的時間響應式

為殘差修正GM（1，1）模型。

3 ARMA模型及改進

3.1 ARMA模型及其求解

ARMA模型（auto-regressivemoving averagemodel）又稱自回歸移動平均模型，是一種精度較高的時序短期預測模型，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間t的一組隨機變量，構成該時序的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規律性，可以用相關的數學模型近似描述。通過對該數學模型的分析研究，更本質地認識時間序列的結構與特征，達到最小方差意義下的最優預測。ARMA（p，q）的一般形式為［7－8］：

其中，p，q分別表示滯后的階數，εt是白噪聲序列。

由已有的研究可知，軌道質量指數TQI隨時間變化的序列｛TQIt｝不是一個平穩的時間序列，在一定程度上具有指數變化的特征。本文取經過差分后的序列作為研究對象。｛TQIt｝的一階差分序列用｛TQIt1｝表示，其計算公式為

同理，可以計算TQI的二階、三階差分序列。具體的差分階次由差分后的序列是否平穩所決定。這樣經過d階差分變為平穩序列后，對其進行建模預測，得到結果后再反向推導出原始序列的預測值。

確定模型的階數，即確定p和q。一般有3種方法，即偏、自相關函數法、FPE準則和AIC及BIC準則。本文采用第一種方法確定p和q的取值，并結合TQI的變化規律，在此方法上提出改進。

3.2 模型的改進

軌道質量指數序列是一組沿時間方向上下波動的數據，數據本身的單調性不明顯，此時ARMA模型的適用性會降低，進而影響預測的精度。TQI時間序列的波動性是由趨勢項和隨機噪聲兩項疊加而成的，基于此本文采用灰色系統理論中的疊加處理手段對ARMA模型進行了改進，盡量消除TQI波動性對模型預測精度的影響。具體的實現過程如下

將經過處理后的數據序列建立模型進行預測，步驟如3.1，預測得到的結果為

這個結果為對處理后數據的預測，對其按下式進行反向遞減計算，可得到對原始TQI序列的預測結果：

4 算例分析

4.1 數據來源

京九鐵路是一條貫穿我國南北的交通大動脈，北起首都北京，南至香港特別行政區，途徑9個省市，全長2 536 km。本文所使用的軌檢測數據為京九線北段K372．776至K650．333區段的數據，區段長度為227．557 km，采集了2008年2月20日至2010年7月23日共86次檢測數據做分析研究。

4.2 TQI與各指標的關聯度

TQI值是軌距、水平、左高低、右高低、左軌向、右軌向和三角坑7項指標的標準差之和，這7項指標序列分別用X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7表示。對于不同的單元區段，每一個單項指標對TQI的影響程度是不一樣的，需要分別考慮。這里，選擇上行468.8 km處2009年的10次檢測數據作分析。經過反復試驗，取ε＝0.5，按照2.1所述方法，對7項指標與整體TQI值進行灰色關聯分析，得到計算結果見表1。

表1 TQI值與各指標關聯度Table 1 Correlation of TQI value and every index

由表1可以看出，就本單元區段而言TQI值與7項指標之間的關聯度大小順序分別是：三角坑、水平、右軌向、軌距、右高低、左高低、右軌向。并且與三角坑指標之間的關聯度遠大于其他幾項指標。這說明三角坑對整體TQI值得影響是最大的，需要在實際工作中注意預防三角坑超限，使整體區段保持良好狀態。

4.3 區間預測

京九線上行K468．2～K469區段2009年1月至2009年10月的TQI檢測數據見表2。

表2 TQI數據表Table 2 TQI data table

以K469處的10次檢測數據為例，繪制TQI變化趨勢圖，見圖1。

圖1 TQI變化趨勢圖Fig.1 TQIvariety trend

由圖1可知，整個變化過程大體分為三個階段。第一階段是前三次檢測，第三次檢測的TQI值較前兩次有明顯的降低，說明在第二次檢測之后發生了維修活動，使軌道質量明顯提高。第二階段是第四至七次檢測，在這一期間內TQI總體上成上升的趨勢，說明軌道質量在逐步劣化。第三階段的特點與第一階段相似。

在整個變化過程中，引起TQI劣化的原因是多方面的，包括自然條件引起的軌道沉降和行車引起的軌道狀態的改變等。運用灰色理論，可以避免具體因素的影響，對TQI進行預測和分析。

應用殘差修正模型，對5個單元區段2010年11月的TQI檢測值進行預測，預測結果見表3。

表3 TQI預測結果Table 3 Prediction results of TQI

通過2010年11月的實際檢測數據與預測數據對比分析，殘差修正模型的預測值可以將預測誤差控制在5%以內，較改進前的模型有了很大的提高，對指導實踐維修活動更具有實際意義。

4.4 單元區段預測過程

隨機選取京九線北段468．6 km的一個200 m單元區段，以2008年3月至2009年3月20次TQI監測數據的實際值作為原始序列，見表4。

表4 TQI檢測數據實際值Table 4 The actual value of TQI test data

京九鐵路的軌道數據是采用Ⅳ型軌檢車檢測得到的。Ⅳ型軌檢車一般不單獨開行，而是編掛在其他列車上。由于受運行速度、傳感器靈敏度和其他一些外界條件的影響，會導致一些誤差的產生，200 m單元區段TQI的值是通過800個采樣點的7項不平順指標的標準差得到的。但是單個采樣點在每次采樣中的位置不是絕對固定的，這樣即使在不考慮外界環境對檢測活動的影響下，每次采樣的隨機性，也會引入相應的誤差，稱為選擇性偏差。從理論上講，在沒有維修活動發生的情況下，對于同一區段而言，后一次的TQI檢測值應該大于等于前一次的檢測值，但是考慮到上述誤差的影響，實際的檢測數據并不完全如此，見圖2。

圖2 整區段相鄰兩次TQI檢測值Fig.2 The adjacentTQIvalue of the entire segment

為了去除偏離點的影響，將表中后一次檢查結果比前一次檢查小并且幅度介于0．5到1之間的數據除去，得到修正后的TQI序列，見表5。

表5 TQI檢測數據預處理結果Table 5 Preprocessing results of TQI test data

應用公式（8）對表5的數據進行累加，結果見表6。

表6 數據累加結果Table 6 Accumulation results of data

對得到的新序列建立ARMA模型，模型的階數為p＝2和q＝1，參數為c＝0.023 213，φ1＝0.512 689，φ2＝0.456 254，θ1＝－0．198 625，得到預測結果后，逆推出原始TQI序列的預測值，結果見表7。

表7 進后TQI數據預測結果Tale 7 Improved prediction results of TQI data

如果采用文獻［1］中提出的直線預測法，得到的預測值與真實值之間的相對誤差平均在12%。表3和表7的預測結果表明，殘差修正GM（1，1）和改進的ARMA模型在一定程度上減小了數據本身誤差的影響，提高了預測的精度，相對誤差｜r｜＜5%，結果比較理想，對指導線路的維修工作，具有一定的借鑒意義。

5 結論與展望

本文首先利用殘差修正GM（1，1）模型對不同單元區段的TQI進行預測，得到的結果基本反應了TQI的實際值，同時對影響TQI值得各種指標進行了關聯性分析。其次，用改進的ARMA模型針對單元區段建立單獨模型進行中長期的預測。兩個分析預測模型的結果較精確，對鐵路線路的維修工作有一定的實際指導意義。

當有維修活動發生時，TQI值會大幅度降低，導致預測值與實際值的偏差增大，因此如何更好地解決維修活動的影響，是下一步研究的重點。

［1］劉國強，顏穎．國內外高速鐵路線路養護維修分析［J］．中國鐵路，2006（10）：57－59．

［2］中華人民共和國鐵道部．鐵路線路修理規則［M］．北京．中國鐵道出版社．2007．

［3］徐偉昌．利用軌道質量指數（TQI）預測軌道不平順發展的探討［J］．上海鐵道科技，2011（2）：5－7．

［4］曲建軍，高亮，張新奎，等．基于灰色GM（1，1）非等時距修正模型的軌道質量預測［J］．中國鐵道科學，2009，30（3）：5－8．

［5］賈朝龍，徐維祥，王福田，等．基于GM（1，1）與AR模型的軌道不平順狀態預測［J］．北京交通大學學報：自然科學版，2012，36（3）：52－56．

［6］譚冠軍．GM（1，1）模型的背景值構造方法和應用［J］．系統工程理論與實踐，2000，4（9）；98－103．

［7］李敏，陳勝可．EViews統計分析與應用［M］．北京：電子工業出版社，2011．

［8］李瑞瑩，康銳．基于ARMA模型的故障率預測方法研究［J］．系統工程與電子技術，2009，30（8）：1588－1591．

［9］劉思峰，謝乃明．灰色系統理論及其應用［M］．北京．科學出版社．2008．

［10］王建玲，劉思峰，邱廣華，等．基于信息集結的新型灰色關聯度構建及應用［J］．系統工程與電子技術，2010，32（1）：77－81．

Time sequence model based track quality index prediction

SONG Bo-yang
（School of Traffic and Transportation，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Track quality index（TQI），a time series with random characteristics，is an important indicator reflecting the total unevenness of a track segment．We analyze the correlation betweenTQIsequence and every single indicator with grey theory and predict next inspection value of a certain segment．Moreover，we investigateTQIsequence data for 200 m track segment with auto-regressive moving average（ARMA）model，analyze their variation tendency and predictTQIvalue in future time．Analysis show that the accuracy of each model has been improved，and the relative error is less than 5%．

time sequence；ARMA model；correlation；fitted GM（1，1）；TQI

U216

A

1002-4026（2014）03-0066-07

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.03.013

2014-02-15

宋博洋（1990－），男，碩士，研究方向為交通運輸工程，運輸系統工程。Email：13125720＠bjtu．edu．cn