廣義Chebyshev濾波器傳輸零點提取和優化

白冰

摘 要：傳輸零點確定是交叉耦合濾波器綜合設計的第一步工作。通過考察廣義Chebyshev函數的相關性質，提出了一種可以通過濾波器指標要求，確定廣義Chebyshev濾波器階數以及傳輸零點位置的辦法，并根據Goldstein法對零點查找算法進行優化，彌補傳統方法確定零點的任意性，同時避免了解析解法不利于編程實現的缺點，最終滿足任意指標條件下均能得到快速最優結果的要求。

關鍵詞：廣義Chebyshev函數；交叉耦合濾波器；傳輸零點提取；優化

引言

商業無線通信可用的頻譜資源有限，隨著通信技術的發展，頻譜日益擁擠，因此對濾波器的頻帶選擇特性有了更加嚴格的限制。同時由于濾波器應用范圍的推廣，對濾波器大小、損耗、通帶平坦度以及阻帶衰減度都有了越來越高的要求，傳統的Butterworth濾波器和Chebyshev濾波器難以滿足各方面的綜合需求，目前廣泛采用的辦法是引入有限傳輸零點構成廣義Chebyshev濾波器，可以在不增加諧振腔個數的前提下提供更好的頻帶選擇性。有限傳輸零點技術在20世紀30年代已經有人提出[1]，在20世紀70年代的一項重要的新技術就是Atia和Williams提出的交叉耦合濾波器理論[2][3][4]，但是該理論僅能生成對稱響應。隨后R. J. Cameron在此方法基礎上，引入FIR（frequency-invariant reactive）元件后，可以得到非對稱的濾波器響應[5][6]。R. Levy提出直接在傳統Chebyshev濾波器上引入一對傳輸零點的方法[7]。

上述方法的基礎是已知濾波器階數和有限傳輸零點的位置，但是少有文章提及如何確定濾波器階數和有限傳輸零點，更多的是直接引用他人文章中的傳輸零點位置數據。文獻[8]提出的方法可以求得零點，但是只能確定最多兩個零點。文獻[9]中先得到傳輸極值點和傳輸零點的關系表達式，再利用傳輸極值點衰減值和通帶外最小衰減的關系得到一組非線性方程組，解該方程組可求出傳輸零點。盡管這種方法得到了傳輸零點和濾波器指標要求之間的解析關系式，但是由于方程組比較復雜，很難快速得到傳輸零點位置的解析表達式，只能編程通過數值方法求解。而非線性方程組的數值求解算法對初值的敏感度較高，需要預知傳輸零點的大概位置才能高效得到正確的解，所以無法編程實現。因此該方法在階數較低、零點個數較少的情況下可以通過解析表達式快速求解，在高階復雜情況下則不再適用。

文章同樣利用了傳輸零點和傳輸極值點的位置關系以及傳輸極值點衰減和通帶外最小衰減的關系，直接查找傳輸零點的位置，同時利用優化算法對查找過程進行優化，大幅度減少查找時間，實現了在任意情況下都能快速提取廣義Chebyshev濾波器階數和傳輸零點的目的。文章最后給出3個計算結果，顯示了該方法的可行性。

1 廣義Chebyshev濾波器的傳輸特性

Chebyshev濾波器衰減曲線比較

從圖中可以看到，隨著傳輸零點位置向阻帶移動，阻帶的整體衰減不斷增大，但是阻帶最小衰減所對應的最小頻率也在不斷增大，衰減曲線呈現向阻帶移動的現象，如果該頻率等于阻帶截止頻率時，阻帶衰減還未滿足指標要求，則需要引入新的零點或增加階數。

2.2 雙側傳輸零點特性

Chebyshev濾波器衰減曲線比較

從圖中可以看到，負頻率的傳輸零點位置移動對下邊帶（負頻率）衰減的影響與單側傳輸零點的情況相同。同時，隨著負頻率傳輸零點向阻帶移動，上邊帶（正頻率）的衰減僅有縱向衰減值的增大，沒有頻率的位移。因此在上下邊帶都有要求的情況下可以將其拆分成兩個問題求解。

3 廣義Chebyshev濾波器階數和傳輸零點的確定過程

確定濾波器階數和傳輸零點的第一步是對算法進行初始化，根據最小路徑原則，對只有單側指標要求的情況，濾波器階數N=3，零點個數k=1，對雙側指標要求的情況，濾波器階數N=4，零點個數k=2 。

3.1 單邊帶情況求解

這里以上邊帶情況舉例說明，下邊帶類比即可。

在初始化濾波器階數和傳輸零點個數之后，將傳輸零點的位置預設為略大于阻帶截止頻率？棕S，先計算此時衰減極值點的值（記為A（？棕e））是否滿足衰減指標要求，如果不滿足，則向阻帶移動，直到阻帶滿足指標要求，再判斷阻帶截止頻率處的衰減（記為A（？棕s））是否滿足要求，如果不滿足，先增加一個傳輸零點，判斷是否滿足最小路徑原則，如果不滿足則增加濾波器階數，傳輸零點個數初始化為一個，重復上述過程。

當有兩個或以上傳輸零點時，必然對應有同樣個數的衰減極值點，其中最外側的衰減極值點位于最外側傳輸零點和無窮遠之間。移動傳輸零點依據的原則是，從外側到內依次使得所有衰減極值點的值滿足指標要求，再判斷阻帶截止頻率處的衰減是否滿足要求3.2 雙邊帶情況求解

根據上節的分析，雙邊帶情況下可以將問題拆分為上下邊帶情況分別求解。需要注意的是，當某一側增加傳輸零點導致階數不滿足最小路徑原則時，增加濾波器階數后兩側的零點個數都應該重置為一個，然后再分別重新計算。

4 應用舉例

下面通過三個不同應用情況的例子說明文章方法的有效性，給出的都是低通原型計算結果。

5 結束語

文章利用廣義Chebyshev函數的特性設計了求解濾波器階數和傳輸零點的算法，實現了對任意指標要求都能快速準確求解的功能。通過給出的三個例子顯示了該方法的有效性。

參考文獻

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