鐵路客運站曲線站臺加寬數學模型的探討

朱長青

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

鐵路客運站曲線站臺加寬數學模型的探討

朱長青

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

客運站的曲線站臺需滿足行車安全、旅客上下車安全以及圓滑美觀的要求。從基本公式及相關規定出發,分析列車車體與站臺邊沿的動態距離,提出鄰靠到發線和鄰靠正線兩種情況下的曲線站臺邊線的數學模型,并根據模型進行理論校驗,結果證明建立的模型簡潔可靠。

鐵路客站;站臺;曲線加寬;數學模型

1 概述

我國?？縿榆嚨穆每驼九_,一般采用1.25 m高站臺。受鄰靠的鐵路線路平面曲線的影響,站臺邊緣部分甚至全部需要做成曲線形。

曲線站臺的使用主要有兩種情況:一種是在客運站設計中,為縮短車站長度而將到發線曲線伸入站臺內一定長度,曲線平面一般為圓曲線形;另一種情況是城際鐵路的無配線車站,鄰靠正線的站臺有部分或者全部位于曲線內,曲線平面一般為緩和曲線形。

曲線站臺設計需要滿足兩個方面的安全性:一方面為保證行車的限界安全,站臺邊緣與股道中心的間距需進行加寬;另一方面該加寬值要在一定的范圍內,以保證車門與站臺邊緣足夠密貼,不致使小孩的腳踏空發生危險。這兩個方面是相互矛盾的,需要精確計算以采取合適的加寬值。近年曾發生因加寬考慮不足導致動車車體與站臺邊緣擦碰,或者因加寬過大而導致小孩掉入空隙的情況。

另外,高速客運站臺面要求圓滑美觀,不能做成折線形或者鋸齒形,需要對站臺邊曲線建立一個簡潔的數學模型以適應上述要求。

綜上所述,對曲線站臺加寬進行深入探討具有較強的現實意義。

2 一般規定

2.1 基本加寬公式

《鐵路技術管理規程》中規定加寬值按如下公式確定

式中 R——曲線半徑,m;

H——計算點距軌頂高度,mm;

h——外軌超高,mm。

為保證站臺與股道間距為一定值,站臺邊緣的曲線與相鄰股道曲線應為同心圓。

2.2 規范中的加寬模型

(1)《高速鐵路設計規范(試行)》中,曲線上建筑限界的加寬范圍,包括全部圓曲線、緩和曲線和部分直線,采用圖1所示階梯加寬方法。

圖1 客運專線建筑接近限界的曲線加寬方法(單位:m)

該方法中規定曲線上建筑限界的加寬范圍,包括全部圓曲線、緩和曲線和部分直線,采用階梯加寬方法,即緩和曲線中點前13 m至緩圓點之間加寬值規定為與圓曲線地段相同,緩和曲線中點前13 m至直緩點前22 m之間加寬值規定為圓曲線地段加寬值的二分之一。

(2)《站場及樞紐》中對加寬做了更加詳細的規定,對無緩和曲線的曲線變加寬地段的加寬值計算方法為

式中 R——曲線半徑,m;

x——計算點位置,直圓點為0點,m。該方法對內側加寬采用了三次拋物線型,外側加寬則采用了圓曲線線型。從公式中可以看出,該方法分段計算的銜接點加寬值不一致,在過渡段銜接部會產生錯位而導致站臺邊為階梯型。

一則部分地段冗余值過大,致使站臺邊緣與車門不密貼;二則不能滿足個別控制點限界精確計算的要求,鋸齒狀的站臺邊緣不美觀。因此該方法不適于客運站臺,需要建立一個更為簡潔的、圓滑的曲線數學模型來適應高速客運站臺的需求。

3 鄰靠到發線的站臺過渡段曲線加寬

3.1 車體控制點動態分析

客車在線路上動態運行時,與相鄰站臺邊緣的間距受車體最突出的部位控制。相對內側站臺,車體最突出的部位是車廂內側的中部;而相對外側站臺,車體最突出的部位是車廂后端外側,如圖2所示。

圖2 車體內、外側加寬控制點示意

列車從直線向曲線方向運行,當前輪對通過ZY點時,車體內、外側控制點即發生橫向偏移。由于內、外側控制點在縱向上與前轉向架中心的距離不同,因此內、外側加寬范圍也不同。設車體長度26 m,轉向架中心距18 m,當車體前輪對剛進入ZY點時,內側控制點縱向距前轉向架中心銷為9 m,而外側控制點為22 m(18 m+4 m)。因此,曲線內側加寬范圍為ZY點前方9 m,曲線外側加寬范圍為ZY點前方22 m。

為方便分析內、外側控制點的運行軌跡,簡化處理如圖3所示。

圖3 內、外側控制點運行軌跡分析

如圖3所示,列車從直線向曲線方向運行,前、后輪對依次通過ZY點的過程中,轉向架前中心(C點)作軌道半徑為R的圓周運動,后中心(O點)運行軌跡則為直線。

因為△OAB、△OEF與△OCD成相似三角形,因此該過程中的內側控制點(A點)和外側控制點(F點)也相應作圓周運動,且角速度相同、方向相反。

設C點的軌道半徑為R,由于OC=2OA=4.5OF,則A點的軌道半徑約為2R,F點的軌道半徑約為4.5R。

3.2 過渡段數學模型的建立

根據3.1節的分析可知,內、外側控制點運行軌跡為一段圓弧,因此內、外側曲線加寬過渡段的數學模型應為圓方程。該弧線的起、終點即為車體前、后輪對先后通過ZY點時的狀態值。

由于需要三點才能確定圓方程,中間的第三點可以采用插值法確定。當ZY點處于車體中心時,距離前、后輪對各9 m,此時分別計算出前、后控制點的偏移量,即可找出插值點的位置。

設內、外側曲線同心圓全加寬分別為W內和W外。內側加寬情況:過渡段曲線與同心圓曲線方向一致,軌跡半徑為R/2,故控制點橫向偏移量的中間值(B點)為W內/2。外側加寬情況:過渡段曲線與同心圓曲線方向相反,軌跡半徑為R/4.5。當車體運行處于圖3的中間狀態時,可知CD=81/2R,則EF=CD/ 4.5=9/R。

由于內側加寬同時需要考慮曲線外軌超高的情況,因此內側加寬適當放寬至20 m范圍。數學模型如圖4所示。

圖4 內、外側過渡段建模示意(單位:m)

3.3 內側加寬過渡段數學方程求解

3.3.1 三點坐標計算

將過渡段長度適當延長并取整至ZY點前后各10 m,選取ZY點前10 m的零加寬點、ZY點處的半加寬點、ZY點后10 m的全加寬點,由此三點確定的圓弧作為過渡段曲線的線形,可以在autoCAD中使用三點定弧的作圖法完成。

坐標系以股道中心為X軸,HZ點前10 m點為坐標原點,可以建立圖4所示的X1—Y1軸直角坐標系。

設軌道曲線半徑為R0,則內側站臺同心圓部分的邊緣線數學方程為

取X=20,可以算出C點的坐標YC,從而可以進一步確定A、B、C三點坐標,分別為:A(0,1.75),B(10, 1.75+W內/2),C(20,YC)。

設過渡段曲線半徑為r,圓心坐標為(x0,y0),則過渡段方程為

因此,求解半徑及圓心坐標的值,過渡段的數學方程實際就確定了。

3.3.2 過渡段曲線半徑計算

根據外接圓半徑公式,有

其中,a=BC、b=AC、c=AB分別為三角形的三邊長度。

為保證曲線半徑r的計算精度至4位小數,a、b、c的值應精確到小數點后8位。

由于采用插值法進行的圓曲線模擬,該曲線半徑近似于從∞至r的線性漸變,因此r≈2R0,R為過渡段范圍站臺邊緣曲線半徑,r則為全加寬范圍站臺邊緣曲線半徑。

3.3.3 過渡段圓心坐標計算

由于上述過渡段的模型是通過3點A(x1,y1),B (x2,y2),C(x3,y3)形成的圓,它的外接圓心O(x0,y0)的坐標為

例如,設R=1 200 m,W內=5 cm,代入上式可得Yc=1.841 731,過渡段曲線半徑為2 396.386 2 m,圓心坐標為(-0.990 934,2 398.135 955)。

為精確求解曲線方程至毫米級(3位小數),上述各中間參數均應精確計算至8位小數。

3.4 外側加寬過渡段數學方程求解

建立圖4中所示的X2—Y2軸直角坐標系。設軌道曲線半徑為R0,則外側站臺同心圓部分的邊緣線數學方程為

(x-22)2+(y-R0)2=(R0+1.75+W外)2

取x=18,可以算出F點的y坐標YF,從而可以進一步確定D、E、F三點坐標,分別為:D(0,-1.75), E(9,-1.75-9/R0),F(20,YF)。

例如,設R0=600 m,則W外=44 000/600= 73.33 mm,YF=-1.810 0。

過渡段曲線半徑、圓心坐標計算同樣采用三點定圓的計算方法。計算過程同3.3節內側加寬,篇幅有限不再詳述。

3.5 過渡段數學模型的校驗

無論何種數學模型,均可用圖2中車體內、外側加寬的控制點,在AutoCAD中使用作圖法進行校驗,以檢核該數學模型在實際使用中的有效性。

為簡化校驗數據,本次選擇了1 200、1 000、800 m和600 m四種典型曲線半徑,在X取值5、10、15 m處分別對內、外側控制點與站臺邊距離進行校驗。(注: 20 m處為全加寬,無需校驗。)

列車至站臺邊緣基本寬度1 750 mm,為車體半寬1 700 mm+安全保護間距50 mm構成。

表1中的折減后間距均在1 740 mm以上,由于動車組最大寬度為3 380 mm,即車體半寬為1 690 mm,在線路中心距站臺邊1 740 mm的實際距離下,車體控制點與站臺邊緣的實際距離仍保持在1 740-1 690= 50 mm。因此表1中的各項數據均滿足安全保護間距的要求,上述過渡段數學模型校驗是安全可行的。

_______________________________________表1 鄰靠到發線的曲線站臺加寬校驗

4 鄰靠正線的站臺加寬

4.1 相關規定

受正線選線條件的限制,城際鐵路的無配線站可能全部或者部分位于曲線上。

根據原鐵道部《關于新建客運專線鐵路曲線超高設定的指導意見》(鐵集成[2009]86號)規定,進出站旅客列車超高值按以下要求設置(V為列車通過曲線時的速度)。

(1)當V≤160 km/h時,過超高一般不大于90 mm,困難條件下不大于110 mm;

(2)當160 km/h＜V≤200 km/h時,過超高一般不大于70 mm,困難條件下不大于90 mm。

從表2可以看出,站臺鄰靠曲線時,正線需要限速。一般而言,曲線半徑R≥2 000 m時,可以限速至160 km/h;1 600 m≤R＜2 000 m時,可以限速至140 km/h;1 200 m≤R＜1 600 m時,可以限速至120 km/h。

_____________表2 各種曲線半徑限速值計算

《鐵路技術管理規程》中規定鄰靠正線的站臺邊緣,當行車速度V≤160 km/h時,直線部分的基本寬度采用1 780 mm。

4.2 數學模型的建立

根據鐵路緩和曲線的定義,其曲率從∞至1/r線性漸變,外軌超高值也從0～h線性漸變。因此列車在經行緩和曲線的過程中,車體內、外側各控制點的偏移加寬也是呈線性的。同理,曲線站臺邊緣的數學模型也只能選擇緩和曲線的線型,并且在圓曲線部分與軌道中心的曲線保持同心圓,才能與漸變加寬的要求相適應。

根據鐵路緩和曲線的方程定義,該曲線的曲率是從直線均勻過渡至圓曲線。因此,內、外側站臺與軌道之間的間距,也可以看成是從直線部分的基本寬度均勻過渡到圓曲線部分的加寬寬度。根據同心圓理論,可知:R內=R0-D0-W內,P內=P0+W內,

同理,可以求出外側站臺邊緣的緩和曲線l外、R外,詳見圖5。

圖5 內、外側站臺邊線與軌道曲線關系示意

又由于正線運行速度較高致超高加寬較大,而曲線半徑一般較大導致曲線加寬較小,因此總加寬值W外可能為負值,即軌道中心至站臺邊緣的距離可能小于直線地段的基本寬度。各種曲線半徑下圓曲線范圍內、外側的全加寬計算值見表3。

根據圖5中的公式計算出R內、P內或R外、P外,再根據l=計算出緩和曲線長度,則可根據半徑和緩和曲線長建立緩和曲線方程:y=根據該數學方程可以計算出曲線上各點的平面坐標。

表3 各種曲線半徑全加寬計算

表4中列出了軌道曲線半徑在2 000、1 600 m和1 200 m三種情況下,對應的內、外側站臺邊緣曲線要素(半徑、偏移量、緩和曲線長)計算值。

表4 各種半徑內、外側站臺邊緣曲線要素計算

4.3 曲線加寬模型校驗

參照本文3.3節中的校驗模式,對靠正線緩和曲線模型的校驗,選擇半徑/緩和曲線長2 000 m/210 m、1 600 m/200 m和1 200 m/180 m三種情況下,距ZH點 50、100、150 m和200 m典型位置的軌道中心至內、外側站臺邊緣距離進行校核。校核方式為在AutoCAD中使用作圖法進行校驗,各點校驗情況見表5。

表5 鄰靠正線的曲線站臺加寬校驗

按照表5中模擬的3種曲線半徑,在距離ZH點50、100、150、200 m各典型位置處的折減后間距均接近1 780 mm(基本間距),誤差范圍為±10 mm。

這個校驗結果說明,在站臺長度范圍內車體經行的過程中,車體內、外側控制點距離站臺邊緣的實際距離基本保持在1780 mm左右,因此上述模型是比較理想的。

5 結語

曲線站臺對安全、美觀的要求較高,因此需要對站臺邊緣的線型建立曲線方程以實現此功能。目前國內規范及論著中,主要采用分段計算漸變加寬的方法,該方法計算繁瑣,常因顧此失彼導致計算錯誤,在設計及施工中操作困難。本文對鄰靠到發線和鄰靠正線兩種情況,分別建立了簡潔可靠的數學模型。經過CAD仿真校驗,結果證明本文中建立的模型簡捷可靠。

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Approach to the Mathematical Model for Widening of Curve Platform in Passenger Station

ZHU Chang-qing
(China Railway Siyuan Survey and Design Institute Group Ltd.,Wuhan 430053,China)

Passenger station platform shall meet the requirements for traffic safety and the safety of passengers on and off the board.This paper analyzes the dynamic range between train body and platform edge based on the basic formula and related regulations,and presents mathematical models of curve platform edge line in two cases:the adjacent to hair line and adjacent to main line,and the theoretical verification is conducted based on the models.

Railway passenger station;Platform;Curve widening;Mathematical model

U291.6+5

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2014.12.007

1004-2954(2014)12-0026-05

2014-03-31;

2014-04-22

朱長青(1974—),男,高級工程師,1997年畢業于北京交通大學鐵路運輸專業,工學學士,E-mail:758054313@qq.com。