基于數學廣角視野的“雞兔同籠”問題教學

■王釗

基于數學廣角視野的“雞兔同籠”問題教學

■王釗

【教學背景】

如果一個人站在十字路口，從理論上講，朝東、南、西、北四個方向走，都是有可能的，也都有其合理性。但是，如果要聯系他從哪里來，要到哪里去來重新進行思考，那么，就不是每一種可能都是合理的了。

前者就好比我們對純文本的解讀，單純看“雞兔同籠”問題，無論用什么策略解決這類問題都是合理的。但是，如果把這個文本放在特定的大環境下——數學廣角視野中，從教學的整體出發，我們就會發現，并不是每一種“有理的”解讀都是“合理的”。

很多教師已經嘗試對“數學廣角——雞兔同籠”問題進行過研究，我聽過的課中，有的老師把它上成“雞兔同籠”問題的專題講座；有的老師的課堂只有十來個思維活躍的學生追隨，其他學生望而生畏；有的老師甚至在一節課中向學生傳授用十幾種方法來解決“雞兔同籠”問題……這樣的教學有悖于學生的認知規律，有違編者意圖。因此，有必要對這個教學內容進行再研究，力求通過這樣的教學達到數學廣角應該達到的教學效果。

【課堂寫真】

（出示：今有雞兔同籠，從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？）

師：我們先來猜測一下，到底有幾只雞，幾只兔呢？（學生猜測并驗證，教師隨學生回答板書）

雞（只） 7 5 4 3兔（只） 1 3 4 5腳（只） 18 22 24 26

師：剛才我們的這些猜測，其實就是對答案的一種假設。這種任意的假設可能符合題意也可能不符合題意。像7只雞、1只兔這樣的假設不符合題意，因為它們只有18只腿。能不能通過調整使腿數符合26只呢？

生：能。

師：請仔細觀察，7只雞1只兔，總腳數18只，比26只少。那么雞、兔的只數應該向什么方向調整？

生1：應該減少雞的只數，增加兔的只數，這樣總腳數就會增加。

師：很有道理！究竟要怎樣調整雞兔的只數才符合26只腳的要求呢？把你的想法在小組里交流一下。（小組討論）

生2：我把先雞減少1只，兔增加1只，就有6只雞2只兔，現在就有20只腳了；然后再把雞減少1只，兔增加1只，就有5只雞3只兔，就有22只腳；接著把雞減少1只，兔增加1只，就有24只腳；最后再把雞減少1只，兔增加1只，就有3只雞5只兔，26只腳。

師：老師發現你調整的速度越來越快，是發現了什么嗎？

生2：因為每把雞減少1只，兔增加1只，總腳數就會增加2只。

師：這位同學是根據雞兔只數的變化引起腳只數的變化規律，一步一步調整得到符合題意的答案。還有不一樣的調整方法嗎？

生3：我比他調整得快一些！

師：噢，說說看！

生3：我想，7只雞1只兔，總腳數18只，比26只少，因此要增加兔的只數、減少雞的只數。那么我就先試著調整到5只雞3只兔，就有22只腳，還差4只腳；我就再增加2只兔，減少2只雞，就有26只腳了。

師：我們聽明白了，你是跨越式調整的。調整2次，就得到符合題意的答案。

生4：老師，我們只用調整1次，就可以得到26只腳！

師：只調整1次？快來說一說！

生4：現在有18只腳，題目中有26只腳，相差8只，8÷2=4，就要減少4只雞，增加4只兔，那么就是3只雞5只兔。

師：8÷2中的“2”是什么意思？

生4:2就是每把1只雞換成1只兔就會增加2只腳。

師：這位同學是在前兩位同學調整的基礎上根據規律，一步到位，調整成功。看來，無論是一步一步調整，還是跨越式調整，或是一步調整到位，都是抓住了雞兔只數變化引起腳的只數變化的規律。我們利用這個規律，就能把猜測的結果通過調整得到符合題意的只數。剛才大家經歷的這個猜測——調整的過程，就是假設的產生。

師：同學們，在剛才“猜測——調整”的過程中，無論你們是逐一調整，還是跳躍調整，甚至一步調整到位，都是抓住了雞兔只數變化引起腳的只數變化的規律。你們發現這個規律了嗎？誰能像他那樣再說說這個規律？

生1：每把1只雞換成1只兔就增加2只腳。

師：反過來呢？

生2：每把1只兔換成1只雞就減少2只腳。

師：發現了這個規律，無論怎樣假設，都能通過調整得到符合題意的只數。我們甚至還可以假設全部是雞，也就是從8只雞0只兔開始假設；或者假設全部是兔，也就是0只雞8只兔開始假設。你們能用算式，把調整的過程表示出來嗎?先想想，再試試看吧。

生1：假設全部是雞。

2×8=16（只）

26-16=10（只）

10÷（4-2）=5（只）——兔

8-5=3在（只）——雞

師：你是怎么想的？

生1：假設籠子里全是雞，就有2× 8=16只腳，而籠子里實際有26只腳，這樣就多出了26－16=10只腳，而1只兔比1只雞多2只腳，這樣就有10÷ 2=5只兔，雞的數量就是8－5=3只了。

生2：假設全部是兔。

4×8=32（只）

32-16=6（只）

6÷（4-2）=3（只）——雞

8-3=5（只）——兔

（配合課件演示）

師：像這樣把極端假設的調整過程通過算式來體現，其實大家就體驗了“假設”的運用。

師：我們剛才無論是極端假設還是隨機假設，都是把雞兔的只數假設成已知數，既然雞、兔的只數我們可以假設成已知數，那么也可以把它們假設成？

生：未知數。

師：如果設兔的只數為x，那雞的只數怎樣用未知數表示？腳的總只數呢？

（隨學生回答，用代數式表示）

師：4x+2(8-x)是什么意思？

生1：4x表示兔的腳數，2(8-x)表示雞的腳數，4+2(8-x)表示雞和兔的總腳數，在這里就是26只。這種假設你能用方程來解決嗎？

（全班試做，指名演板，反饋交流）

生2：解：設兔有x只，則雞有8-x只。

4x+2(8-x)=26

x=5

8－5=3（只）——雞

答：雞有3只，兔有5只。

師：像這樣將未知數假設成字母x，用方程的方法解決問題，實際上也是“假設”思想的拓展應用。

【分析研究】

要想凸顯數學的本質，達到數學廣角的教學目的，我們需要對數學廣角這類課型的特點進行分析。

數學廣角的編排意義是：利用數學廣角系統而有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的、以學生容易接受的生活問題的形式呈現出來，使學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有序地、嚴密地思考問題的意識，同時使學生逐步提高探索數學問題的興趣與欲望，不斷強化發現、欣賞數學美的意識。

它的編排順序是：

二年級上冊、三年級上冊“搭配問題”——主要滲透排列與組合思想；

三年級下冊“興趣小組的統計”——主要滲透集合思想；

四年級上冊“烙餅、沏茶等合理安排”——主要滲透優化思想；

四年級下冊“植樹問題”——主要滲透建模、數形結合思想；

五年級上冊“郵政編碼”——主要滲透編碼思想；

五年級下冊“找次品”——主要滲透建模、化歸思想；

六年級上冊“雞兔同籠”——主要滲透假設思想；

六年級下冊“抽屜原理”——主要滲透建模思想。

那么，基于數學廣角視野，我們再來重新審視“雞兔同籠”問題的三種預設定位：是把它定位為專題講座，或是介紹用多種方法解決這類問題，還是借“雞兔同籠”的素材讓學生經歷“假設”思想的產生、應用及拓展過程？顯然，我們會不約而同地選擇后者。這，就是我們對這節課的定位。

那么，到底什么是假設思想呢？假設，是對題目中的已知條件或問題提出某些假設，然后按照題目中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最后找到正確答案的一種思想方法。它是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路，發展學生的智力。

基于對這節課的定位和“假設思想”的解讀，我們設計了這樣的一條主線：

看似不經意的隨意猜測，其實就是假設的雛形。學生在老師的帶領下，運用“雞、兔只數的變化引起總腳數的變化規律”對假設的結果進行調整，這樣猜測——調整的過程讓學生經歷了假設的產生。在調整過程中，學生可以逐一調整，也可以跳躍調整，甚至一步到位，從中閃現了智慧的火花。列式計算則是極端假設的應用，假設全是雞或假設全是兔其實就是極端假設。而方程就是假設的延伸拓展。如果我們將它假設成未知數，方程就應運而生了。由此看來，貫穿“猜測——調整——列式計算——方程解決”的主線就是對假設的定位與調整。

（作者單位：武漢市江岸區小學教研室）

責任編輯 王愛民