圓度誤差的二分法逼近搜索評定

李 飛，雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471003）

圓度誤差的二分法逼近搜索評定

李 飛，雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471003）

結合圓度誤差的定義及其幾何特征，提出了一種新的圓度誤差評定算法——圓度誤差的二分法逼近搜索評定。首先，將被測圓輪廓上測量點的直角坐標數據轉化為極坐標數據，分別以極角和極徑為橫、縱坐標軸建立新的坐標系，實現被測點的線性化處理，將圓度誤差的求解問題轉化為直線度誤差的求解問題。然后，用二分法逼近搜索的方法，對轉化后的直線度誤差進行最小區域評定，從而實現了圓度誤差的最小區域評定。闡述了圓度誤差線性化處理的方法和二分法逼近搜索的原理及實現過程。實例驗證結果表明：該算法可以有效、正確地評定圓度誤差。

誤差評定；圓度誤差；線性化；直線度誤差；二分法逼近搜索

0 引言

圓度誤差是機械零件最基本的幾何要素之一，它反映的是實際圓相對于理想圓的變動量。圓度誤差值的大小是以包容實際輪廓的兩個同心圓的半徑差來衡量的。其評定方法的核心是根據被測圓輪廓上的點找出理想的評定圓心。是否能準確有效地評定圓度誤差，直接影響到機械產品的性能和壽命。國標規定的評定方法有最小二乘法、最小區域法、最大內接圓法和最小外接圓法。其中，最小二乘法是最常用的評定方法，其算法計算簡便且有唯一解，但其評定原理不符合形狀誤差評定的最小條件準則［1］。最小區域法是符合國標準則的誤差評定方法，但實現最小區域的過程是解決多極值的非線性最優化問題，因此不易直接求解。國內外學者利用多種數學方法對圓度誤差的最小區域評定算法進行了研究，比較有代表性的算法有：仿增量算法［2］、剛體坐標變換算法［3］、搜索算法［1，4－5］、遺傳算法［6－7］、計算幾何算法［8］、最陡下降算法［9］及線性化算法［10］等；這些成果都有一定的實用價值，但這些算法大都比較復雜，不易被實際應用。

本文結合圓度誤差的定義、幾何特點，提出了一種新的圓度誤差評定算法—圓度誤差的二分法逼近搜索評定，實現圓度誤差的快速準確評定。

1 圓度誤差數據的線性化過程

由于直線度誤差的評定比圓度誤差的評定相對容易，因此，通過直角坐標與極坐標的轉換，先將被測圓輪廓線性化處理，使圓度誤差的評定問題轉化為直線度誤差的評定［10］。

設在直角坐標系XOY中，被測圓輪廓上的測量點為Pi（xi，yi）（i＝1，2， ，N，N≥4）。在提取點中選取大致均勻分布的3個測量點，由此3點擬合圓心坐標O′（x0′，y0′），或者按式（1）確定圓心坐標O′（x0′，y0′），以O′（x0′，y0′）為坐標原點建立新的直角坐標系X′O′Y′（見圖1）。

圖1 新建直角坐標系X′O′Y′

在新的直角坐標系X′O′Y′中，測量點Pi（x′i，y′i）的值由式（2）給出：

以新直角坐標系的O′X′軸作為極坐標變換的起始直線，逆時針方向取測量點的極角，將直角坐標系X′O′Y′中的測量點坐標轉化為極坐標形式（見圖2）。則各測量點Pi（θi，ρi）的極坐標由式（3）計算出：

以極角θ為橫坐標，以極徑 ρ為縱坐標，建立新的直角坐標系θiO″ρi（見圖3），即沿圓心O′將被測圓周展開成一條直線，則被測圓輪廓上的測量點就轉化為“直線”上的測量點。（為了盡量的減小誤差，必須保證圓心O′與原點O″在同一位置。）這樣就把圓度誤差的評定問題轉化為直線度誤差的評定問題，轉化后“直線”的直線度誤差就是被測實際圓的圓度誤差。

圖2 直角坐標轉化為極坐標

2 二分法逼近搜索評定過程

直線度誤差的二分法逼近搜索評定算法的原理是：首先，確定假設的直線兩端點坐標，以直線的兩個端點為參考點，在與縱坐標平行的方向上按一定長度值（如估計的直線度誤差值）分別布置區域并構造輔助點，連接所構造的輔助點可得到4條線段，即假設的理想中心線。計算測量點到這4條線段的距離，可得4個距離的極差值（測量點與每條線段的距離的最大值和最小值之差），其中，最小者用F1表示。同樣地，計算測量點到初始直線距離的極差值，用△D表示。然后比較F1與△D的大小。如果F1＜△D，那么起始參考點就變為與F1相對應的假設理想中心線的端點，構造新的輔助點；如果F1≥△D，則參考點不變，將誤差區域縮小一倍，構造新的輔助點。如此不斷重復，直到滿足直線度誤差評定要求。

圖3 線性化后的“直線”

2.1 構造最小區域的假設理想中心線

設轉化后“直線”的兩端點分別為P1（θ1，ρ1）和PN（θN，ρN）。

首先，將端點 P1設為參考點（如圖4所示），創建兩個輔助點 P11（θ11，ρ11）和 P12（θ12，ρ12），且（為了使理想中心線包容在其范圍內，e的值至少為直線度誤差值的兩倍）。此時，兩個輔助點P11（θ11，ρ11）、P12（θ12，ρ12）的坐標由式（4）給出。

同樣地，設端點PN（θN，ρN）為參考點（如圖4所示），創建兩個的輔助點PN1（θN1，ρN1）和此時，兩個輔助點PN1（θN1，ρN1）、PN2（θN2，ρN2）的坐標由式（5）給出。

圖4 二分法逼近搜索的算法原理圖

將上述創建的4個輔助點兩兩相連，可得到4條假設理想中心線（P11PN1，P11PN2，P12PN1和P12PN2）。若設假設理想中心線的方程為y＝kx＋b，其斜率k和截距b的表達式為：

同樣地，“直線”的最初兩端點P1（θ1，ρ1）和PN（θN，ρN）之間的線段也可看作是假設的理想中心線，其斜率K和截距B的表達式為：

2.2 計算所有測量點與4條假設理想中心線之間距離的極差值

利用式（8）計算所有測量點Pi（θi，ρi）與4條假設理想中心線之間的距離，并計算出所有測量點與每一條假設理想中心線之間距離的極差值（距離的最大值與最小值之差）。由于有4條假設的理想中心線，那么就可以得到4個距離的極差值。由平面直線度的定義可知：4個極差值中的最小者就是直線度誤差，用F1來表示。

2.3 計算所有測量點與兩個參考點所構成的直線之間距離的極差值

根據式（10）算出所有測量點Pi（θi，ρi）與P1PN的距離，其距離的極差值用△D表示（△D＝Dmax－Dmin）。

2.4 二分法逼近搜索方法

比較F1和△D。如果F1＜△D，說明極差F1所對應的假定理想中心線更接近于理想中心線，那么起始參考點就變為與F1相對應的中心線的端點，例如，與F1相對應的假設理想中心線為P11PN2，則參考點就變為該線段的兩個端點P11（θ11，ρ11）和PN2（θN2，ρN2），創建新的輔助點，重復2.1～2.4。如果F1≥△D，說明極差△D所對應的中心線更接近于理想中心線，那么參考點不變，將誤差區域縮小1倍（亦即e＝0.5e），構造新的輔助點，重復2.1～2.4。

當e的值小于定值δ（一般地，δ＝0.000 1 mm），可以認為搜索到的假定理想中心線已經非常接近理想中心線，停止搜索。此時，F1和△D中的較小者就是平面直線度誤差，較小者用F表示，則

由上述步驟可知：得到的F是包含所有測量點Pi（θi，ρi）的兩條平行直線之間的距離，逆向操作，此平行直線則轉變為半徑不同的兩個同心圓（半徑差為F），由圓度誤差的定義可知：F即為圓度誤差值。

2.5 求取圓心坐標

結合2.4，在與F對應的中心線上均勻的提取3個點M1（θl，ρl）、M2（θm，ρm）和M3（θn，ρn），該中心線可看作是一個圓的展開線，那么提取的3個點就是某個圓上均布的3個點。利用式（12）將其坐標值轉化為直角坐標。

設該圓的圓心和半徑分別為O0（a，b）和R，依據3點確定一個圓的原理，圓心O0（a，b）的坐標由式（13）得出：

其中，

式（13）得到的a、b的值在直角坐標系X′O′Y′下的圓心坐標，依據坐標平移原理，則在直角坐標系XOY內的圓心O0（X0，Y0）坐標為：

3 實例驗證

文獻［1］和文獻［10］對同一組數據采用不同的評定算法得出了與三坐標測量機相一致的結果，驗證了所提評定算法的正確性。本文實例采用文獻［1］的數據，初始參考點選取坐標變換后第一個測量點和最后一個測量點，終止搜索條件為 δ＝0.000 1 mm，所得結果見表1。

由表1可以看出：本文所提算法計算得到的圓度誤差與文獻［1］和文獻［10］中求得的圓度誤差相一致，根據微誤差取舍準則，結果是可以信賴的，說明該評定算法可以實現圓度誤差的評定。

表1 數據處理結果

4 結論

本文介紹了圓度誤差的二分法逼近搜索評定算法的原理及運用該算法實現圓度誤差評定的過程。本文提出的算法，原理簡單，直觀，便于編程，具有通用性和較好的實用性，對測樣點的分布沒有要求。實例驗證了算法的正確性，為圓度誤差的有效評定提供了一套新的評定算法。

［1］ 黃富貴，鄭育軍.基于區域搜索的圓度誤差評定方法［J］.計量學報，2008，29（2）：117－119.

［2］ 岳武陵，吳勇.基于仿增量算法的圓度誤差快速準確評定［J］.機械工程學報，2008，44（1）：87－91.

［3］ Endrias D H，Feng H Y.M inimum-zone form Tolerance Evaluation Using Rigid-body Coordinate Transformation［J］. Journal of Computing and Information Science in Engineering，2003，3（1）：31－38.

［4］ 雷賢卿，暢為航，李濟順，等.圓度誤差的網格搜索算法［J］.儀器儀表學報，2008，29（11）：2324－2329.

［5］ 涂鮮萍，李飛，雷賢卿，等.平面度誤差的遍歷搜索算法［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2013，34（5）：19－22.

［6］ 崔長彩，車仁生，葉東.基于遺傳算法的圓度誤差評估［J］.光學精密工程，2001，9（6）：499－503.

［7］ 溫秀蘭，張鵬.進化策略實現圓度誤差的統一評定研究［J］.計量學報，2008，29（2）：106－109.

［8］ Samuel G L，Shunmugam M S.Evaluation of Circularity from Coordinate and form Data Using Computational Geometric Techniques［J］.Precision Engineering，2000，24（3）：251－263.

［9］ Zhu L M，Ding H，Xiong Y.A Steepest Descent Algorithm for Circularity Evaluation［J］.Computer-Aided Design，2003，35（3）：255－265.

［10］ 黃富貴，董兆鵬.圓度誤差評定的線性化處理方法［J］.華僑大學學報，2011，32（5）：492－494.

TH164；TH161

A

1672－6871（2014）02－0020－04

國家自然科學基金項目（50875076）；河南省基礎與前沿技術研究計劃基金項目（122300410114）

李 飛（1987－），男，河南洛陽人，碩士生；雷賢卿（1963－），男，河南洛寧人，教授，博士，碩士生導師，主要從事精密測試技術研究.

2012－10－09