Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的精確解

李 偉，張金良

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023）

Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的精確解

李 偉，張金良

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023）

利用（G′／G）－展開法求出了Klein-Gordon-Schr?dinger方程組含參數(shù)的雙曲函數(shù)形式孤波解及三角函數(shù)形式周期波解。文獻(xiàn)中用齊次平衡原則與F展開法得到的孤波解與三角函數(shù)解是本文所得精確解的特殊情況。此外，結(jié)合劉氏定理又得出一種類型的孤波解——扭鐘型孤波解。

Klein-Gordon-Schr?dinger方程組；（G′／G）－展開法；劉氏定理；孤波解；周期波解；扭鐘型解

0 引言

本文所討論的Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）方程組，是應(yīng)用科學(xué)中出現(xiàn)的重要的非線性發(fā)展方程組，它在現(xiàn)代物理中具有十分重要的作用。其一般形式為：

該方程組描述了一個(gè)保守的復(fù)原子核場(chǎng)ψ與一個(gè)實(shí)中性介子場(chǎng)φ相互作用的古典Yukaua模型［1］，這兩個(gè)場(chǎng)是標(biāo)量場(chǎng)。M是介子的質(zhì)量，△是拉普拉斯算子。文獻(xiàn)［2］用齊次平衡方法得出了該方程組的孤波解；文獻(xiàn)［3－6］用F展開法得出了方程組（1）的周期波解。本文利用（G′／G）－展開法［7－10］求出了方程組（1）的含參數(shù)的行波解，當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)，可得到文獻(xiàn)［2－5］中的一些孤波解與三角函數(shù)解。此外，結(jié)合劉氏定理［11］由鐘型解得出扭鐘型解。扭鐘型解在文獻(xiàn)［2－6］中沒有出現(xiàn)。

1 KGS方程組的精確解

由于ψ（x，t）是一個(gè)復(fù)函數(shù)，設(shè)

其中，x＝（x1，x2，x3）∈?3；t∈?；α≡（α1，α2，α3）∈?3。

將式（2）代入方程組（1），得方程組如下：

設(shè)方程組（3）的行波解為：

其中，k、α是待定常向量。將式（4）代入方程組（3），可得常微分方程組：

2 結(jié)論

本文利用（G′／G）－展開法求出了Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的含參數(shù)的兩種類型的行波解。適當(dāng)選擇參數(shù)，由這兩種類型的行波解可得到文獻(xiàn)［2－5］中用齊次平衡方法與F展開法得出的孤波解與三角函數(shù)周期波解。由此說明（G′／G）－展開法可得出比文獻(xiàn)中更為豐富的孤波解與三角函數(shù)解。此外，將（G′／G）－展開法與劉氏定理相結(jié)合，易得到扭鐘型孤波解及正切正割型三角函數(shù)解，進(jìn)一步豐富了由（G′／G）－展開法求得的精確解。表明本文所用方法是獲得非線性方程孤波解與三角函數(shù)解的一種高效、直接、簡明的方法。

致謝：本文得到王明亮教授的指導(dǎo)，在此表示衷心感謝。

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O175.2

A

1672－6871（2014）06－0084－04

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171227）；河南省科技攻關(guān)基金項(xiàng)目（132102310309）

李 偉（1964－），女，河南偃師人，副教授，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性數(shù)學(xué)物理方程.

2014－05－29