相位梯度自聚焦在FFBP聚束SAR處理中的應用

李浩林，陳露露，張 磊，邢孟道，保 錚

（西安電子科技大學 雷 達信號處理國家重點實驗室，陜西 西 安 710071）

后向投影（Back－Projection，BP）[1－2]的本質是天線相位陣列沿特定方向的波束形成[3].后向投影算法不但適用于線性或非線性航跡，而且重構的圖像不存在波前彎曲和幾何形變.快速分解后向投影（Fast Factorized Back－Projection，FFBP）算法[4－5]是后向投影算法的快速實現，除了具備上述優勢之外，快速分解后向投影算法最顯著的特點就是大幅降低了運算量.然而在存在運動誤差的情況下，這種通過積分實現方位聚焦的方式會導致后向投影算法和快速分解后向投影算法無法結合自聚焦進行運動補償[6]，原因如下：運動誤差引起的圖像散焦不沿方位向圖像域和距離壓縮相位歷程域（以下簡稱相位歷程域）之間的傅里葉變換對（Fourier Transform Pairs，FTP）關系不存在.因此，如何使用快速分解后向投影算法進行自聚焦處理是目前亟待解決的問題.

文獻[6]使用波束形成（等價于后向投影）在距離－正弦角網格上重建圖像，指出在小角域條件下正弦角域與方位時域近似為傅里葉變換對關系，并驗證了該方法結合相位梯度自聚焦（Phase Gradient Autofocus，PGA）恢復圖像的可能性.然而該方法并未從根本上解決運動誤差較大時的圖像快速重建問題.文獻[7]提出了虛擬極坐標系（距離－正弦角域）的概念，仿真說明了快速分解后向投影算法使用虛擬極坐標系進行圖像重構不影響聚焦質量.文獻[8]巧妙結合快速分解后向投影算法多孔徑遞歸融合和多孔徑圖像偏移（Multiple Aperture Mapdrift，MAM）多孔徑相位估計的特點，提出了嵌套多孔徑圖像偏移的快速分解后向投影算法.該方法是基于運動誤差的多項式模型提出的，在對高頻相位誤差進行估計時其性能下降.文獻[9－10]以最大圖像銳度為優化指標，通過求解聚焦性能代價函數估計運動誤差.然而該方法涉及高維參數優化搜索，不具有圖像快速重建能力，其實用性受到限制.

筆者提出了一種嵌套相位梯度自聚焦的改進快速分解后向投影算法.首先使用虛擬坐標系作為圖像融合平面，并沿視線方向建立局部極坐標系，為相位梯度自聚焦提供圖像域與相位歷程域之間的傅里葉變換對關系以及最優相位估計方向.其次，充分考慮到改進快速分解后向投影算法角域分辨力由低到高的變化規律，提出了角域低分辨的運動補償控制角域高分辨的圖像散焦的運動補償思路；通過建立全新的重疊子孔徑構型，將相位梯度自聚焦自然地嵌入到改進快速分解后向投影算法的不同階段.

1 后向投影信號模型

如圖1所示，雷達波束始終指向場景中心C，平臺以速度v沿x方向勻速直線運動，形成一個長度為L的合成孔徑.令t為慢時間，則天線相位中心坐標X ＝vt.以O為原點建立虛擬極坐標系，P點位于（rp，Θp），其中，Θp＝sinθp，則天線到P點的瞬時斜距為

圖1 極坐標系下角域位置誤差示意圖

將P點的回波信號變換到基帶并進行距離脈沖壓縮，則

其中，εp為P點的常值復反射系數，rect（·）為窗函數，γ為信號調頻率，T為脈沖持續時間為快時間，fc為中心頻率，回波延時Δt＝2R（rp，Θp；X）c.

由于平臺在實際飛行過程中出現偏航和姿態變化，導致P點在虛擬極坐標系（r－Θ 坐 標系，其中Θ＝sinθ）下存在距離位置誤差和角域位置誤差.假設距離位置誤差可以由全球定位系統或者慣性測量單元得到有效補償，且殘余的距離位置誤差沒有超過一個距離單元，因此在下面的分析中只考慮角域位置誤差對圖像聚焦的影響.如圖1所示，理想斜距＝ R（rp，Θp；X），運動誤差使P點的角域位置由Θp變為Θ，則真實斜距＝R（rp，Θ；X）.由于忽略了距離位置誤差，P′點在距離脈沖壓縮后仍位于rp距離單元.

下面通過后向投影算法完成sph（t；X）沿斜距歷程R（rp，Θ；X）的相干積累，得到（rp，Θ）處的脈沖響應為

其中，λ為波長，ΔR（rp，Θ；X）為斜距誤差（見圖1的BB′）.ε′p為受運動誤差調制的復反射系數，表示成

其中，φ為相位誤差，是X或t的函數，也是下面需要用自聚焦算法估計的相位.

假設雷達工作在遠場，結合式（1）對ΔR（rp，Θ；X）進行關于X的二階泰勒級數展開，即

其中，X和X2項分別等效為運動誤差引起的距離走動和距離彎曲.

若式（5）可以忽略X2項，則式（3）可簡化為

其中，kΘ＝4π（Θ－Θp）λ，對應方位波數.式（6）直觀地反映了受運動誤差破壞的距離壓縮數據ε′p可以關于X進行傅里葉變換得到脈沖響應I（rp，kΘ），即建立了圖像域與相位歷程域之間的傅里葉變換對關系.由于傅里葉變換對關系是相位梯度自聚焦的必要條件，下面將推導傅里葉變換對關系成立的約束條件.

根據文獻[2]，當運動誤差引起的距離走動量不超過一個距離分辨單元時，可以忽略距離彎曲量.由于孔徑兩端對應最大的距離走動量，則

其中，ρr＝ c （ 2B），ρr為距離分辨率，B為信號帶寬.

令θ＝θp＋δθ，其中δθ為角域位置誤差.假設δθ足夠小，使得sinδθ與δθ近似相等，則

聯合式（7）和式（8），則

其中，Q＝fcB，為中心頻率帶寬比；ρθ＝λ （ 2Lcosθp），為角域分辨率[1].

由于角域位置誤差δθ可正可負，存在雙邊特性，則

即角域位置誤差引起的散焦小于4Q個角域分辨單元時，可以忽略式（5）中X2項，得到如式（6）所示的圖像域與相位歷程域之間的傅里葉變換對關系.以中心頻率為10GHz、信號帶寬為1GHz的X波段正側視聚束合成孔徑雷達為例，其中心頻率帶寬比為10.若使用相位梯度自聚焦對該數據進行相位估計，則虛擬極坐標系下的圖像散焦必須小于40個角域分辨單元才能保證傅里葉變換對關系成立.然而對于角域分辨力極高的聚束合成孔徑雷達來說，圖像散焦可能超過幾百個角域分辨單元，這顯然違背了式（10）的約束.根據式（9），角域分辨力越低，可容忍的圖像散焦越大.考慮到快速分解后向投影算法角域分辨力隨圖像遞歸融合由低到高的變化規律，當圖像的角域分辨力低時，一定存在圖像散焦小于4Q個方位分辨單元的情況；如果該圖像被重建在虛擬極坐標系上，那么快速分解后向投影算法下的自聚焦處理的問題將迎刃而解.

2 改進快速分解后向投影算法

筆者在快速分解后向投影算法的基礎上進行改進，提出了使用虛擬極坐標系進行圖像融合的改進快速分解后向投影算法.由于沒有改變快速分解后向投影算法孔徑分解、波束形成和圖像遞歸融合的基本框架，改進快速分解后向投影算法也具有角域分辨力隨圖像遞歸融合由低到高的變化規律.在滿足約束條件的情況下，虛擬極坐標系的使用又可以提供相位梯度自聚焦所需的圖像域與相位歷程域之間的傅里葉變換對關系，為改進快速分解后向投影算法與相位梯度自聚焦的有效結合奠定了基礎.改進快速分解后向投影算法將后向投影算法在全孔徑上的積分分割成有限、等長孔徑上的分步、分段積分，因此第1節關于相位梯度自聚焦所需的傅里葉變換對關系及約束條件的推導在改進快速分解后向投影算法中仍然成立.

改進快速分解后向投影算法使用虛擬極坐標系代替快速分解后向投影算法的極坐標系，即使用Θ（Θ＝sinθ）軸作為虛擬極坐標系的橫軸.根據瞬時多普勒fd＝2vΘλ知，fd與Θ僅存在常數倍的差異.因此，使用虛擬極坐標系不但具有明確的物理意義，而且在小角域范圍內重構的圖像可以近似認為位于距離－多普勒域.令角域帶寬為Bd，則角域范圍為

為了滿足相位梯度自聚焦的相位估計需求，改進快速分解后向投影算法還對坐標系的建立方式進行了改進，創新地沿子孔徑中心到場景中心的視線方向建立局部虛擬極坐標系.如圖2所示，第i處理階段第k（k為偶數）個孔徑的中心為，到場景中心的視線角為，而第k－1個孔徑的中心為，到場景中心的視線角為，虛擬極坐標系如扇形區域所示.若改進快速分解后向投影算法進行基2圖像融合，則第i＋1處理階段第k 2個孔徑的中心為，到場景中心的視線角為.圖2直觀地展示了坐標系a和坐標系b向坐標系c的融合過程，而本質上實現了和方向的波束在方向的波束形成.

以第i處理階段第k個子孔徑為例.假設孔徑中心為A（k），孔徑長度

圖2 圖像融合前后虛擬極坐標系的變化

為d，孔徑位置個數為Ns，則孔徑中心時刻為＝A（k）v，孔徑時間Ts＝NsFPR，數據域的孔徑時間范圍為

其中，t（k）的離散時間間隔為1 FPR，FPR為脈沖重復頻率.

使用改進快速分解后向投影算法對上述子孔徑數據進行聚焦，得到子圖像為

其中，kΘ（k）為第i處理階段第k個子孔徑對應的方位波數，φ（k）為相位誤差.

圖3 嵌套多孔徑相位梯度自聚焦的改進快速分解后向投影算法自聚焦處理流程

3 改進快速分解后向投影算法自聚焦處理

相位梯度自聚焦是合成孔徑雷達成像運動補償中最常用的自聚焦方法之一，具有很高的精度和魯棒性[11－12].雖然相位梯度自聚焦循環移位操作消除了相位誤差的線性分量，但是相鄰子孔徑間仍存在線性相位差異.如果使用子孔徑相位誤差直接對子圖像進行相位補償，相鄰孔徑間存在的線性相位差異勢必會引起子圖像間的相對偏移，即引入了角域位置誤差，從而不利于相位梯度自聚焦的收斂和圖像質量的逐步提高.為了避免該情況的發生，首先要根據子孔徑相位誤差獲得全孔徑相位誤差函數，然后根據各子孔徑中心時刻重新解算出子孔徑相位誤差，從而消除了子孔徑相位誤差之間的線性相位分量，避免了圖像偏移.然而，要獲得全孔徑相位誤差函數，需要相鄰孔徑間存在重疊的相位歷程.

重疊子孔徑最早結合極坐標算法（PFA）用于校正聚束合成孔徑雷達空變的波前彎曲效應[13]，之后被廣泛用于相位估計[14].考慮到改進快速分解后向投影算法的結構特點，筆者提出了一種適用于改進快速分解后向投影算法的全新的重疊子孔徑構型建立方法，較好地銜接了改進快速分解后向投影算法和相位梯度自聚焦相位估計，如圖3所示.

（1）在初始階段按照一定系數將全孔徑分解為若干較短的子孔徑，孔徑和數據均不存在重疊.

（2）在處理階段進行重疊子孔徑操作.假設第i處理階段有K（K為偶數）個子孔徑，任意相鄰的兩個孔徑進行圖像融合可以得到K－1幅子圖像，其中K2幅用于改進快速分解后向投影算法下一階段的圖像融合.此后繼續按照該方式建立重疊子孔徑構型，孔徑重疊率始終為1/2.

（3）最后兩個孔徑不進行重疊子孔徑操作，通過圖像融合直接得到一幅角域全分辨圖像，然后使用相位梯度自聚焦直接進行相位估計和補償.

利用重疊子孔徑進行相位估計的基本操作有：全孔徑劃分為重疊子孔徑、子孔徑相位誤差估計、孔徑間線性相位消除、全孔徑相位誤差拼接以及全孔徑相位誤差補償.如圖3所示，第i階段的重疊子孔徑構型可得到K－1幅子圖像，其中有K2幅用于下一階段的圖像融合.使用相位梯度自聚焦對K － 1幅子圖像進行估計，可得到，…等 K － 1個子孔徑相位誤差.使用重疊子孔徑可以消除相鄰孔徑重疊部分的線性相位差異，實現相位誤差的連續拼接和濾波[15]，最終得到全孔徑相位誤差，如圖4所示.由于全孔徑相位誤差是方位時間t的函數，根據每幅子圖像的孔徑中心時刻t0（k），可計算出K2個子孔徑相位誤差函數.

圖4 全孔徑相位誤差拼接示意圖

4 實驗分析與驗證

為了驗證上述方法的有效性，下面使用X波段聚束合成孔徑雷達數據進行處理，其中心頻率帶寬比Q＝6，詳細參數如表1所示.在進行數據處理時，使用的距離采樣點數為4 096，可忽略距離空變性.根據表1參數，距離分辨率為0.13m，方位分辨率為0.28m.

表1 X波段雷達參數

圖5 自聚焦處理前后的成像結果對比

在改進快速分解后向投影算法的初始階段，子孔徑的方位脈沖數為128個.在處理階段的初期，由于角域分辨力較低，圖像散焦小于6個方位分辨單元，而該數據允許的相位梯度自聚焦估計的最大圖像散焦為24，因此6個方位分辨單元的圖像散焦滿足相位梯度自聚焦的約束條件.隨著遞歸融合的進行，之后處理階段的圖像散焦始終小于10個方位分辨單元，因此相位梯度自聚焦進行相位估計的窗寬只需略大于10，非常有利于相位估計的快速收斂，這與頻域算法自聚焦處理相比具有顯著優勢.圖5（a）為使用改進快速分解后向投影算法未進行運動補償的成像結果，圖5（b）為使用筆者提出的方法處理得到的成像結果.為了獲得良好的視覺效果，沿距離向進行二視處理，使二維分辨率接近.由圖5（a）可以發現，改進快速分解后向投影算法不結合自聚焦處理進行運動補償的圖像存在嚴重的方位散焦.圖5（b）的圖像得到了良好的聚焦，運動誤差基本得到了校正.由于圖5（b）的熵值小于圖5（a）的熵值，說明筆者提出的方法對圖像質量的改善效果明顯.將不同階段相位梯度自聚焦估計的相位誤差相加，得到最終的相位誤差，將其換算為斜距誤差，得到如圖6所示的結果.雖然斜距誤差變化范圍僅有0.3m，但在高分辨、長CPI的情況下，即使如此小的運動誤差也足以引起圖像的嚴重散焦和幾何失真.而且這么小的斜距誤差已經超出現階段大多數運動測量系統的精度，從而有力地說明基于數據的自聚焦處理在高分辨合成孔徑雷達成像中的必要性.

圖7中的圖像分別對應圖5（a）和圖5（b）中方框所示區域的局部放大結果.利用圖7中橢圓框內的特顯點進行方位響應分析，得到方位剖面如圖8所示，虛線為使用改進快速分解后向投影算法未進行運動補償的方位響應，實線為使用筆者提出的方法的方位響應.顯然，使用筆者提出的方法的方位響應不但非常接近“sinc”形式，而且具有較好的旁瓣性能.

圖6 筆者提出的方法估計的斜距誤差

圖7 局部放大結果

圖8 點目標方位剖面

5 結束語

筆者將虛擬極坐標系作為子孔徑遞歸融合平面，為相位梯度自聚焦提供了圖像域與相位歷程域之間傅里葉變換對關系；創新地沿視線方向建立虛擬極坐標系，為相位梯度自聚焦提供了最優的相位估計方向.建立了全新的重疊子孔徑框架，巧妙地銜接了改進快速分解后向投影算法和多孔徑相位梯度自聚焦，將相位梯度自聚焦嵌套到改進快速分解后向投影算法遞歸融合的不同階段.最后，通過實測數據的處理結果和圖像質量的定量分析驗證了筆者提出方法的可行性.

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