自適應變長滑窗曲線擬合時間配準算法

雍霄駒，方洋旺，高 翔，楊鵬飛

（空軍工程大學 航 空航天工程學院，陜西 西 安 710038）

導彈的中制導過程中，綜合使用多個傳感器的觀測值，能夠改善對目標位置和速度的估計.由于各傳感器的采樣起始時間和采樣頻率不同，數據鏈傳輸數據的時延也不同.若使用未經配準的數據進行融合，可能會導致比單獨使用某一傳感器數據進行融合時的性能還差的結果，因此必須考慮時間配準問題[1－2].若采用集中式融合算法，融合中心在導彈上，則將導彈的中制導周期作為配準頻率進行時間配準[3].

目前常用的時間配準算法主要包括內插外推法[4]、最小二乘法[5]、曲線擬合法[6－7]等.各算法都有其優缺點[8－10].內插外推法是一種較常用的方法，根據插值法的原理，插值數據應在插值區間中部，才能保證較高的精度.因此，用于觀測數據事后處理效果較好，但實時性不夠；最小二乘算法的推導基于目標進行勻速直線運動，對目標運動狀態比較敏感，只對勻速直線運動精度較高；曲線擬合算法可解決采樣起始時間、數據傳輸時延都不同的情況，但需解決擬合階次與窗口長度選擇的問題[5].針對此問題，筆者提出了自適應變長滑窗曲線擬合時間配準算法，可在數據率遠大于配準頻率的情況下，較好解決窗口長度選擇問題，從而實現了導彈中制導過程中采用集中式多傳感器數據融合的時間配準問題.

1 滑窗曲線擬合算法

1.1 曲線擬合算法的基本原理

假定雷達記錄的探測數據打上高精度的 G PS時間戳，且其數據格式為 ｛ （x1，y1，t1），（x2，y2，t2），…，（xm，ym，tm）｝，配準時刻為tm1，tm2，…，tmn.則曲線擬合算法的基本原理是：根據雷達探測數據（xi，ti）擬合出另一條曲線f1（t），（yi，ti）擬合出一條曲線f2（t），從而確定出tm（j）（j＝1，2，…，n）時刻目標的位置.

假定時間窗口T＝ （t1，t2，…，tn）T內的雷達測量數據為X ＝ （ x1，x2，…，xn）T和Y ＝ （ y1，y2，…，yn）T.雷達在x方向的測量精度為，y方向的測量精度為.采用基于最小二乘的M次多項式擬合，即尋找A＝[a0，a1，…，aM]，使得J＝j∑ ＝1（f（tj）－yj） 最小，其中，f（t）＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋aMtM.

其中，Ax和Ay分別表示對X和Y進行擬合后得到的多項式系數向量.

1.2 狀態突變點確定

擬合時滑窗越長，窗口中包含的冗余信息越多，對隨機誤差的抑制效果越好.但目標大機動時，滑窗越長，誤差越大[12].所以在目標平穩運動階段可以適當增大滑窗長度，在目標機動時要減小滑窗長度.因此，可根據運動模式對曲線擬合的滑窗長度進行選擇.這里通過定義運動模式突變點和對運動進行模式劃分來解決此問題.

將運動模式的突變點定義為目標在直線運動和曲線運動之間切換的時刻，可按照目標運動的斜率來判斷突變點，即在i＋1時刻，目標運動的斜率q（i＋1）可以表示為

構建判別函數為

若M（i＋1）＝0，則表示目標在時刻i＋1的運動軌跡的斜率與時刻i的斜率相等，即目標在[i，i＋1]時間段內進行直線運動；若M（i＋1）≠0，則表示目標在時刻i＋1的運動軌跡的斜率與時刻i的斜率不相等，即目標在[i，i＋1]時間段內進行曲線運動.因此，可以通過對M的判別來確定目標的運動狀態突變點.考慮噪聲造成的影響，判別法則描述如下：

設定一個門限λ，若滿足

則i＋1時刻即為運動模式的突變點.其中，滿足式（5a）為從曲線運動模式轉為直線運動模式，滿足式（5b）為從直線運動模式轉為曲線運動模式.

1.3 門限確定算法

假定雷達的y方向探測誤差為V，x方向探測誤差為W，分別服從均值為0、方差為和的高斯分布，且任意兩次測量之間的誤差互不相關，V與W 之 間的協方差矩陣考慮誤差的情況下，判別函數可描述為

其中，x′和y′表示目標的真實位置.則y＝y′＋v，x＝x′＋w.

為減弱噪聲對判別的影響，將門限λ設為目標在[i，i＋1]時間段進行直線運動時對應的M2（i＋1）的均值，即E（M2（i＋1））.

由于[i，i＋1]時間段內目標進行直線運動，所以有

而兩次量測之間的誤差互不相關，則有

且由V與W 之 間的誤差的協方差矩陣可知：

將式（8）～（11）代入式（7），可得

所以，在運動狀態突變點判定時，將門限值設定為

即判定方法為

1.4 滑窗長度確定法則

在固定滑窗曲線擬合算法中，為兼顧實時性與精確性，滑窗長度一般固定地取為5～15，文中根據不同的運動模式，自適應地采用變長度滑窗進行曲線擬合.滑窗長度確定法則可描述如下：

（1）目標在配準時刻之前的15個雷達數據時刻內無運動模式的突變，即一直處于類直線運動或一直處于曲線運動狀態.若一直處于類直線運動狀態，則擬合多項式取一階；若一直處于曲線運動狀態，則擬合多項式取三階[11].滑窗長度取固定a.

（2）目標在配準時刻之前的15個采樣時刻內存在運動模式突變，即由曲線運動轉為類直線運動或由類直線運動轉為曲線運動.若由曲線運動轉為類直線運動，則擬合多項式取一階；若由類直線運動轉為曲線運動，則擬合多項式取三階.滑窗長度為突變點至當前時刻，當突變點至當前時刻長度小于b時，滑窗長度取b；當突變點至當前時刻長度大于a時，滑窗長度取a.

a和b分別為滑窗的最大值與最小值.a的取值與雷達數據率相關，若雷達的數據率較高，則一定時長內的雷達數據較多，a的取值相應較大，即a與雷達的數據率成正比.b的取值需大于等于曲線擬合的階數.

1.5 算法步驟

綜上所述，文中提出的自適應變長滑窗曲線擬合時間配準算法的步驟如下：

（1）在當前時間配準時刻，將接收到的雷達數據按照GPS時間戳按時間先后進行排序，并保留最近15個數據.

（2）計算保留的15個數據點的斜率，并計算每一點所對應的門限值，利用式（14）確定此時段內目標的運動狀態，并判定有無運動模式突變點.

（3）根據滑窗長度確定法則，確定滑窗長度與擬合多項式的階數.

（4）對滑窗內數據進行曲線擬合，確定時間配準時刻目標的位置.

2 仿真分析

以具有融合系統的導彈為例，飛機編隊雷達對目標進行探測，通過數據鏈將數據傳到導彈上數據融合中心，并進行數據融合.

現假定雷達的數據率為每秒提供5次目標數據，雷達測距精度為±10m，目標先進行20s的直線運動，在20～40s時，進行曲線運動；在40～80s時，進行直線運動；在80～200s時，進行曲線運動.假定當前數據鏈傳輸時延服從[0，0.4]之間的均勻分布.導彈的制導周期為1s，時間配準起止時間為[10s，190s].仿真時算法的參數選取a＝12，b＝5.

下面通過仿真驗證文中算法相對于固定長度滑窗時間配準算法的優越性.采用文中自適應長度滑窗曲線擬合時間配準算法的窗口長度如圖1所示.可以看出，在目標進行類直線運動時，窗口長度固定為12；在目標進行曲線運動時，窗口長度在5～12的范圍內自適應變化.

文中算法在x方向與y方向配準均方根誤差（RMS）隨時間變化關系及其與定長滑窗曲線擬合算法的比較如圖2和圖3所示.在前20s，目標處于直線運動階段，文中算法與長度為12的定長時間配準算法效果相當；隨后，目標進行曲線運動，文中算法同長度為9的定長時間配準算法效果相當.仿真結果的驗證了當目標進行直線運動時，窗口長度較長效果較好；目標進行曲線運動時，窗口長度較短，效果較好.但是定長曲線擬合算法無法實現窗口長度的最佳選擇.文中的自適應滑窗曲線擬合時間配準算法在不同的運動模式下自適應地選擇了較為合適的窗口長度，從而取得較為滿意的時間配準效果.

圖1 文中算法的滑窗長度選擇

圖2 與定長曲線擬合算法在x方向RMS的比較

圖3 與定長曲線擬合算法在y方向RMS的比較

圖4和圖5為文中算法同最小二乘時間配準算法和內插外推時間配準算法的比較結果.由此可以看出，最小二乘算法對目標的運動情況較為敏感，這是由于最小二乘算法的推導是基于目標進行勻速直線運動的假設，當目標進行勻速直線運動時，配準效果非常理想，一旦目標機動，配準效果迅速惡化；內插外推時間配準算法雖然對運動情況不太敏感，但是由于數據利用率不高，所以效果并不太好.而文中算法針對運動情況自適應地選擇了滑窗長度，降低了曲線擬合算法對運動模式的敏感度，相對于內插外推時間配準算法提高了數據的利用率.

下面分析文中算法對時間配準實時性的影響.仿真環境為Celeron D CPU，主頻為3.06GHz，內存為1GB，Windows XP SP3系統.文中算法在對181個配準時刻進行時間配準，總用時為0.494 2s，其中用于曲線擬合時間為0.478 0s，用于滑窗長度選擇時間為0.016 2s.而固定滑窗曲線擬合算法用時為0.546 9s，全部用于曲線擬合.通過以上結果可以發現，文中算法在提高精度的同時，對實時性提高了12.6%.

圖4 不同算法在x方向誤差RMS的比較

圖5 不同算法在y方向誤差RMS的比較

這是由于文中算法在確定滑窗長度時，雖然需增加除法、減法和邏輯比較運算（此過程用時為0.016 2s），但是由于縮短了滑窗長度，減少了數據維數，則可在進行多項式擬合算法時提高算法的實時性.

3 結束語

根據目標運動軌跡的歸一化瞬時斜率的變化規律，將目標運動分為兩種模式，并根據不同模式以及運動模式突變點自適應地確定曲線擬合的時間配準算法的窗口長度.仿真結果驗證了文中算法相對于定長滑窗曲線擬合時間配準算法、最小二乘時間配準算法以及內插外推時間配準算法的優越性.但是，若雷達的數據率和配準頻率相差不大時，無法采用曲線擬合的時間配準算法，限制了此算法的應用范圍.

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