基于彈流潤滑理論的雙圓弧齒輪傳動多目標優(yōu)化設計

劉儀廣，錢學毅，陳慧中，施強來

（武夷學院 機電工程學院，福建 武夷山 354300）

基于彈流潤滑理論的雙圓弧齒輪傳動多目標優(yōu)化設計

劉儀廣，錢學毅，陳慧中，施強來

（武夷學院 機電工程學院，福建 武夷山 354300）

為提高雙圓弧齒輪傳動的綜合技術經(jīng)濟指標，依據(jù)彈性流體動力潤滑的理論，借助于改進的微分進化多目標優(yōu)化技術及Matlab計算機仿真技術，通過建立同時追求齒面在一定范圍內(nèi)的縱向重合度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動總體積最小的約束多目標優(yōu)化設計數(shù)學模型，對雙圓弧齒輪傳動進行了有約束多目標優(yōu)化設計。研究過程及結果表明，改進的微分進化多目標優(yōu)化技術能有效地縮短產(chǎn)品的設計周期，提高產(chǎn)品的設計質(zhì)量。

微分進化多目標優(yōu)化算法；縱向重合度；約束多目標優(yōu)化設計；彈性流體動力潤滑

0 引言

由于雙圓弧齒輪齒廓不受端面共軛條件限制，不易產(chǎn)生干涉，齒形參數(shù)比較靈活，制造工藝簡單、成本低，因此在高速、重載、大功率機械傳動中具有顯著的優(yōu)越性，尤其是在中小型發(fā)電站汽輪發(fā)電機組、工業(yè)汽輪機、燃氣輪機、透平壓縮機等行業(yè)應用更為突出。和有二百余年歷史的漸開線齒輪相比，雙圓弧齒輪無論在理論研究上，還是在設計方法上，都遠不及漸開線齒輪那樣成熟，都有待進一步深入研究。

本文根據(jù)彈性流體動力潤滑的理論及雙圓弧齒輪的嚙合原理與設計方法，建立了同時追求齒面在一定范圍內(nèi)的縱向重合度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動總體積最小的約束多目標優(yōu)化設計數(shù)學模型，擯棄了傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化設計方法，在修正微分進化多目標優(yōu)化技術的基礎上，通過范例，在追求綜合性能最優(yōu)的前題下對雙圓弧齒輪傳動進行了有約束多目標優(yōu)化設計。

1 雙圓弧齒輪傳動齒間最小油膜厚度

對于雙圓弧齒輪的膠合強度設計問題，目前尚無系統(tǒng)而深入的研究。文獻[1～3]就雙圓弧齒輪的冷膠合強度問題提出了如下的設計計算方法。

如圖1兩齒輪的節(jié)圓半徑為R01和R02、端面壓力角為αs、接觸點移距為l。由于在端面上凸齒齒廓的圓弧半徑（一般取為l）要比凹齒的圓弧半徑略小，因而理論上圓弧齒輪的嚙合應是點接觸。但是經(jīng)過磨合以后，輪齒接觸部位迅速擴大到占整個齒高的60%～80%以上，這樣，雙圓弧齒輪的嚙合實際上可以處理為兩個圓弧圓柱體的線接觸。柱體的半徑為 RK1和 RK2，寬度為2L，圓弧面半徑為l。

圖1 圓弧齒輪傳動Fig.1 Circular gear transmission

根據(jù)圓弧齒輪的嚙合原理可以推導出與接觸跡相切的兩共軛齒面的法曲率半徑RK1和RK2，即圓弧面柱體的半徑分別為：

其中，β—螺旋角；RB1、RB2—接觸跡所在圓柱的半徑，由圖1的幾何關系可得：

沿齒高方向的接觸寬為2L，一般選取：

L=l（αs-δ）Kmn（αs-δ）

其中：K—系數(shù)，通常K=1.5；mn—齒輪法面模數(shù)；δ—工藝角。

兩圓弧面柱體的對滾速度即嚙合點沿接觸跡的線速度vK1和vK2為：

式中，v0—節(jié)圓的線速度。作用在輪齒上的法向力為Fn，則單位寬度上的載荷為Fn/2L。這樣，相當于圓弧齒輪嚙合的兩個圓弧面柱體的幾何尺寸、運動速度和載荷可由以上各式求出。然后，根據(jù)圓弧面柱體的幾何和運動特點，近似地引用Dowson-Higginson線接觸最小油膜厚度公式，并結合圓弧齒輪的情況進行簡化處理，即可得到彈流潤滑最小油膜厚度的計算公式，對于鋼制圓弧齒輪采用礦物油潤滑時，最小油膜厚度hmin為：

式中，η0—動力粘度 （Pa·s）。在近似計算時，上式中兩個方括號中的后面一項都可以忽略不計，并且取

2 雙圓弧齒輪傳動的縱向重合度

雙圓弧齒輪傳動時，齒面接觸點是沿軸向移動的。縱向重合度εβ表示一個齒面?zhèn)鬟f運動的富裕程度，用每一瞬時參與接觸的輪齒上的點數(shù)和輪齒對數(shù)的周期變化來描述。縱向重合度對雙圓弧齒輪傳動的承載能力及傳動的平穩(wěn)性均有重大的影響[4]。合理選用縱向重合度，可以提高雙圓弧齒輪傳動的承載能力，減輕振動和噪聲。

3 微分進化約束多目標優(yōu)化算法

微分進化算法（Differential Dvolution，DE）是近來提出的簡單而高效的多目標進化算法，目前國內(nèi)外的相關研究[5～8]主要集中在算法性能的改進與完善上。但這些研究還僅限于對數(shù)學測試函數(shù)的研究，在實際工程應用上還存在一些問題，尚需改進。

3.1 現(xiàn)有微分進化技術在機械設計中存在的問題

機械設計中的多目標優(yōu)化設計往往是在復雜而苛刻的約束條件下進行。當利用現(xiàn)存的算法[9～10]進行迭代時，會發(fā)生下面的問題：①在進行變異和交叉操作產(chǎn)生的新個體有可能在可行域內(nèi)，也有可能在不可行域內(nèi)，而支配關系的比較和極大極小距離密度的計算都是在目標函數(shù)空間中進行的，不可行域內(nèi)的個體產(chǎn)生的目標函數(shù)完全有可能支配可行域內(nèi)的個體產(chǎn)生的目標函數(shù)，其密度值的計算也同樣具有不確定性，這樣刪除的很可能將是有用的個體，保留的將是無用的個體。最后迭代出的結果很可能毫無意義；②若變異和交叉操作只在可行域內(nèi)進行，則每產(chǎn)生一個新個體都要進行可行性檢驗，滿足約束條件則保留，不滿足約束條件則罰掉，再重新搜索，直到滿足約束條件為止。設計實踐表明，復雜而苛刻的約束條件不但會使收斂速度慢得讓人難以接受，而且約束邊界上的目標個體還很容易使程序陷入死循環(huán)。

3.2 機械工程實用多目標微分進化算法

為解決前述多目標微分進化算法所產(chǎn)生的問題，使迭代高速有效，避免程序進入死循環(huán)，提出算法如下：

（1）設置初始參數(shù)：向量維度D、初始群體規(guī)模 NP、縮放因子F、交叉常量CR、最終可行解規(guī)模N。

（2）在可行域內(nèi)隨機生成初始群體P，規(guī)模為NP。

（3）將群體P中的非劣解加入Pareto候選解集中。

（4）在無約束條件下，用DE的變異和交叉操作，對群體P和Pareto候選解集中的每一目標個體x都生成一個新個體x′。

（5）對每一個新個體x′都進行可行性檢驗，滿足約束條件的保留，否則直接罰掉。

（6）將所有目標個體和滿足約束條件的新個體一起構成群體T。

（7）如果Pareto候選解集的規(guī)模沒有達到規(guī)定的大小，將所獲得的非劣解直接加入到Pareto候選解集中，直到達到候選解集的設定規(guī)模；否則，比較個體間的支配關系，保留支配個體，丟棄被支配個體，直到達到候選解集的規(guī)模；如果所有被支配個體都丟棄以后，候選解集的規(guī)模仍超過設定值N，則計算Pareto候選解集中每一個體的極大極小距離密度，并刪除密度值最大的個體，直到達到候選解集的設定規(guī)模。

（8）如果滿足中止條件，停止迭代，否則返回（4）。

4 優(yōu)化范例

（1）算例描述：功率P=9000kW，轉(zhuǎn)速n1=6054r/min，n2= 1485r/min，每天24小時連續(xù)運行，持久壽命設計。大小齒輪材料均選用42CrMo，單級人字齒輪結構，齒形GB/T12759為—1991標準雙圓弧齒廓，齒輪精度不低于6級 （GB/T15753—1995）。

（2）選取 5個設計變量：X=[X1,X2,X3,X4,X5]T。式中：X1—小齒輪齒數(shù)；X2—法向模數(shù)；X3—齒寬系數(shù)；X4—螺旋角；X5—齒端修薄長度。

（3）建立目標函數(shù)：①將齒輪傳動總體積V（X）=f1（X）最小作為第一個追求的目標；②將最小油膜厚度 hmin最大（即倒數(shù)最小）作為第二個追求的目標，hmin的計算按式①進行；③將縱向重合度最大（即倒數(shù)最小）作為另一個追求的目標。式中：b—經(jīng)修薄后單側(cè)齒寬 （mm），b=—小齒輪分度圓直徑d2—大齒輪分度圓直徑（mm），d2=4.077d1。

（4）確定約束條件：依據(jù)文獻[11]和工程經(jīng)驗確定約束條件及限定設計變量的上下界。

（5）優(yōu)化計算：用Matlab進行程序設計計算，設置初始參數(shù)：D=6、NP=50、F=0.35、CR=0.6、N=100，循環(huán)200次，結果得到100組可行解及相應的目標函數(shù)值。以 f1（X）、f2（X）和 f3（X）為目標函數(shù)的非劣最優(yōu)目標域如圖2所示。

根據(jù)程序運行結果，從中選取3個目標函數(shù)都接近最小值，綜合性能最佳的一組結果（決策者也可根據(jù)自己的偏好選擇其他的結果）作為最終方案：

圖2 非劣最優(yōu)目標域Fig.2 The pareto optimal front

式中：φa—齒寬系數(shù)；c—齒端修薄長度 （其它符號意義同前）。總體積V（X）=0.4412×108mm3，最小油膜厚度hmin=11.790μm，縱向重合度εβ=2.7211。

5 結論

本文改進了基于極大極小距離密度的多目標微分進化算法，并應用該方法對雙圓弧齒輪傳動范例成功地進行了優(yōu)化。優(yōu)化設計出的雙圓弧齒輪傳動即具有較高的膠合強度、接觸疲勞強度、較好的平穩(wěn)性及嚙合特性，又具有較低的產(chǎn)品成本。能夠充分地發(fā)揮圓弧齒輪傳動系統(tǒng)的潛質(zhì)，比傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化設計方法及通過每一單目標進行優(yōu)化的現(xiàn)代方法具有明顯的科學合理性。

[1]溫詩鑄，黃平.摩擦學原理[M].北京：清華大學出版社，2002.

[2]劉瑩，劉洲，肖力天，等.圓弧齒輪彈性流體動力潤滑計算[J].南昌大學學報（工科版），1997，2.

[3]溫詩鑄，等.彈性流體動力潤滑[M].北京：清華大學出版社，1992.

[4]陳諶聞.圓弧齒圓柱齒輪傳動[M].北京：高等教育出版社，1995.

[5]H A Abbass.The Self-adaptive Pareto Differential Evolution Algorithm[C].Proc of the Congress on Evolu tionary Compution(CEC’2002).Piscataway:IEEE Service Center，2002.

[6]N K Madavan.Multiobjective Optimization Using a Pareto Differential Evolution Approach[C].Proc of the Congress on Evolution Computation（CEC’2002）.Piscataway:IEEE Service Center，2002.

[7]F Xue,A C Sanderson,R J Graves.Pareto-based Multi-objective Differentil Evolution[C].Proc of the 2003 Congress on Evolutionary Computation(CEC’2003).Piscataway,NJ:IEEE press，2003.

[8]張利彪，許相莉，馬銘，等.基于微分進化求解多目標優(yōu)化問題中的退化現(xiàn)象[J].吉林大學學報（工學版），2009，4.

[9]張利彪.基于粒子群和微分進化的優(yōu)化算法研究[D].吉林大學計算機科學與技術學院，2007.

[10]張利彪，周春光，馬銘，等.基于極大極小距離密度的多目標微分進化算法[J].計算機研究與發(fā)展，2007，1.

[11]齒輪手冊編委會.齒輪手冊[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

Multi-objective Optimal Design of a Double Circular Gear Based on the Elastohydrodynamic Lubrication Theory

LIU Yi-Guang，QIAN Xue-Yi，CHEN Hui-Zhong，SHI Qiang-Lai
（College of Mechanical&Electrical Engineering,Wuyi University,Wuyi Mountain Fujian 354300,China）

In order to improve the comprehensive technical and economic indicators of a double circular gear,based on the elastohydrodynamic lubrication theory,by use of the modified differential evolution multi-objective optimization technique and MATLAB computer simulation technology,constrained Multi-objective optimization design model was established with the maximum tooth surface longitudinal contact ratio in a certain range and the maximum value of the film smallest thickness between gear teeth and the minimum total volume of gear transmission,constrained multi-objective optimization design of a double circular gear was done.According to the research process and results,by use of the improved differential evolutionary multi-objective optimization technique,the design cycle of product can be shorten effectively,the design quality of product can be improved.

differential evolution multi-objective optimal algorithm；longitudinal contact ratio；multi-objective optimization design with constraint；elastohydrodynamic lubrication

TH132.416

：Adoi:10.3969/j.issn.1002-6673.2014.03.036

1002－6673（2014）03－090－03

2014－04－08

福建省自然科學基金項目（2012D128）；福建省大學生創(chuàng)新性實驗計劃項目（sj201210397752）

劉儀廣（1991-），男，河南商丘人，本科學生。研究方向：機械結構優(yōu)化設計及有限元分析。