從一題多解看中值定理的應用

張建軍　胡偉文　沈靜

摘 要：該文研究了高等數學中中值定理在解題中的應用，分別通過計算題和證明題的實例闡明了四個中值定理的有機聯系及應用要點，以幫助學生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學的重點和難點。

關鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數學微分學的教學重點和難點，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統稱。這些定理的共同特點是：函數在一定的條件下，在給定的區間中，至少存在著一點（即中值），使得此點的導數與函數在區間上的增量存在著某種特定的等式聯系。中值定理是微分學的重要理論基礎，也是微分學研究函數性態的重要定理；它是溝通函數及其導數之間的橋梁，是應用導數研究函數在某點的局部性質和在某個區間上的整體性質的重要工具。而且，這四個定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關系密切，在內容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機聯系使得它們在求解某些實際問題時往往能同時奏效，并且用起來相得益彰、相映成趣。

一題多解是學員在教員的啟發下，多層面、多角度地分析數量關系，尋求多種解題策略的一種教學方式，它有利于發展學員思維的流暢性、變通性和獨創性。教學實踐表明，中值定理的理論性強，學員往往難以把握其要點。教學中，我們反復研究和探索其教學方法。本文給出我們對兩個典型問題的研究心得，分別通過對極限計算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優，闡明四個中值定理的內在邏輯聯系及應用要點。

1 運用中值定理計算極限

通過運用中值定理計算極限，教師應該讓學生掌握以下三點：第一是具有何種特點的極限計算題可考慮用中值定理計算；其次也是最關鍵的，如何對極限式進行巧妙變形，確定運用中值定理的輔助函數；最后，用不同的中值定理能計算同一極限，差別在哪里，又有什么本質聯系。我們的教學實踐表明，將這幾個問題講透徹，學員才能“知其然，更知其所以然”，在實際應用時才能“喜歡用”、“會用”中值定理，使問題迎刃而解。

例1試計算。

分析：此題為“”型不定式，其特點是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規方法相比，如果運用中值定理或許能取得意想不到的效果，關鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實在難以和柯西中值定理聯系起來，因此，必須對分母先“巧妙地”變形，即，我們取為，為，這時分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個輔助函數。事實上，令，則分子和分母分別為在區間（或）上的增量，適合運用柯西中值定理進行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數及自變量在區間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運用拉格朗日中值定理計算極限，關鍵是要視分式為“函數值與自變量的增量比”，往往能直接通過計算該函數導數的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計算也非常簡捷。

該方法的關鍵在于根據增量形式，將未定式轉化為計算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達法則（柯西中值定理）。其本質是多次運用柯西中值定理，事實上，

解法五：仔細觀察原式，可以看出，再由等價無窮小代換，立刻得到同樣的結果。

通過上述問題的“一題多問”，進而“一題五解”，可讓學員深化理解，如果未定式呈現增量比的形式，應仔細地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個中值定理去理解這種“增量比”。通過幾個不同的中值定理進行計算，也能殊途同歸，是其內在的、本質的邏輯聯系使然。教學實踐表明，這能夠加深學員對各中值定理關系的理解，逐步達到一種較高境界的“內化”。

2 運用中值定理證明理論性證明題

通過學習運用中值定理證明某些理論性證明題，教師應明確要達到以下目的：首先是具有何種特點的問題可考慮用中值定理論證；其次也是最關鍵的，如何對欲證結果進行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數；最后，掌握用多個中值定理論證同一問題的異同。通過將一個問題說明白講透徹，使學員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關鍵在于構造輔助函數，應對等式進行恒等變形，將含有的項放在一邊，再選取適當的函數或兩個函數和，使含有的一邊為或，再分別在區間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過上述理論性證明問題的巧妙設計、精講和知識點的揭示，結合三個不同的中值定理運用中體現出的特別的一致性，幫助學生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機聯系，去鼓勵學員在論證問題中去自覺地運用，提高學員運用中值定理進行理論論證的能力。

四個中值定理是獨立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質上卻殊途同歸，在教學實踐中不斷地探索，就能發掘它們在求解各類問題中體現出的有機聯系，使學員去感受、去體會。通過上述做法，對于幫助學生更好地掌握中值定理的本質聯系及應用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002-09.

[2] 李心燦.高等數學一題多解200例選編[M].北京：機械工業出版社，2002-09.

[3] 王志平.高等數學大講堂[M].大連：大連理工大學出版社，2004-09.endprint

摘 要：該文研究了高等數學中中值定理在解題中的應用，分別通過計算題和證明題的實例闡明了四個中值定理的有機聯系及應用要點，以幫助學生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學的重點和難點。

關鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數學微分學的教學重點和難點，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統稱。這些定理的共同特點是：函數在一定的條件下，在給定的區間中，至少存在著一點（即中值），使得此點的導數與函數在區間上的增量存在著某種特定的等式聯系。中值定理是微分學的重要理論基礎，也是微分學研究函數性態的重要定理；它是溝通函數及其導數之間的橋梁，是應用導數研究函數在某點的局部性質和在某個區間上的整體性質的重要工具。而且，這四個定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關系密切，在內容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機聯系使得它們在求解某些實際問題時往往能同時奏效，并且用起來相得益彰、相映成趣。

一題多解是學員在教員的啟發下，多層面、多角度地分析數量關系，尋求多種解題策略的一種教學方式，它有利于發展學員思維的流暢性、變通性和獨創性。教學實踐表明，中值定理的理論性強，學員往往難以把握其要點。教學中，我們反復研究和探索其教學方法。本文給出我們對兩個典型問題的研究心得，分別通過對極限計算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優，闡明四個中值定理的內在邏輯聯系及應用要點。

1 運用中值定理計算極限

通過運用中值定理計算極限，教師應該讓學生掌握以下三點：第一是具有何種特點的極限計算題可考慮用中值定理計算；其次也是最關鍵的，如何對極限式進行巧妙變形，確定運用中值定理的輔助函數；最后，用不同的中值定理能計算同一極限，差別在哪里，又有什么本質聯系。我們的教學實踐表明，將這幾個問題講透徹，學員才能“知其然，更知其所以然”，在實際應用時才能“喜歡用”、“會用”中值定理，使問題迎刃而解。

例1試計算。

分析：此題為“”型不定式，其特點是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規方法相比，如果運用中值定理或許能取得意想不到的效果，關鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實在難以和柯西中值定理聯系起來，因此，必須對分母先“巧妙地”變形，即，我們取為，為，這時分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個輔助函數。事實上，令，則分子和分母分別為在區間（或）上的增量，適合運用柯西中值定理進行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數及自變量在區間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運用拉格朗日中值定理計算極限，關鍵是要視分式為“函數值與自變量的增量比”，往往能直接通過計算該函數導數的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計算也非常簡捷。

該方法的關鍵在于根據增量形式，將未定式轉化為計算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達法則（柯西中值定理）。其本質是多次運用柯西中值定理，事實上，

解法五：仔細觀察原式，可以看出，再由等價無窮小代換，立刻得到同樣的結果。

通過上述問題的“一題多問”，進而“一題五解”，可讓學員深化理解，如果未定式呈現增量比的形式，應仔細地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個中值定理去理解這種“增量比”。通過幾個不同的中值定理進行計算，也能殊途同歸，是其內在的、本質的邏輯聯系使然。教學實踐表明，這能夠加深學員對各中值定理關系的理解，逐步達到一種較高境界的“內化”。

2 運用中值定理證明理論性證明題

通過學習運用中值定理證明某些理論性證明題，教師應明確要達到以下目的：首先是具有何種特點的問題可考慮用中值定理論證；其次也是最關鍵的，如何對欲證結果進行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數；最后，掌握用多個中值定理論證同一問題的異同。通過將一個問題說明白講透徹，使學員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關鍵在于構造輔助函數，應對等式進行恒等變形，將含有的項放在一邊，再選取適當的函數或兩個函數和，使含有的一邊為或，再分別在區間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過上述理論性證明問題的巧妙設計、精講和知識點的揭示，結合三個不同的中值定理運用中體現出的特別的一致性，幫助學生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機聯系，去鼓勵學員在論證問題中去自覺地運用，提高學員運用中值定理進行理論論證的能力。

四個中值定理是獨立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質上卻殊途同歸，在教學實踐中不斷地探索，就能發掘它們在求解各類問題中體現出的有機聯系，使學員去感受、去體會。通過上述做法，對于幫助學生更好地掌握中值定理的本質聯系及應用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002-09.

[2] 李心燦.高等數學一題多解200例選編[M].北京：機械工業出版社，2002-09.

[3] 王志平.高等數學大講堂[M].大連：大連理工大學出版社，2004-09.endprint

摘 要：該文研究了高等數學中中值定理在解題中的應用，分別通過計算題和證明題的實例闡明了四個中值定理的有機聯系及應用要點，以幫助學生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學的重點和難點。

關鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數學微分學的教學重點和難點，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統稱。這些定理的共同特點是：函數在一定的條件下，在給定的區間中，至少存在著一點（即中值），使得此點的導數與函數在區間上的增量存在著某種特定的等式聯系。中值定理是微分學的重要理論基礎，也是微分學研究函數性態的重要定理；它是溝通函數及其導數之間的橋梁，是應用導數研究函數在某點的局部性質和在某個區間上的整體性質的重要工具。而且，這四個定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關系密切，在內容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機聯系使得它們在求解某些實際問題時往往能同時奏效，并且用起來相得益彰、相映成趣。

一題多解是學員在教員的啟發下，多層面、多角度地分析數量關系，尋求多種解題策略的一種教學方式，它有利于發展學員思維的流暢性、變通性和獨創性。教學實踐表明，中值定理的理論性強，學員往往難以把握其要點。教學中，我們反復研究和探索其教學方法。本文給出我們對兩個典型問題的研究心得，分別通過對極限計算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優，闡明四個中值定理的內在邏輯聯系及應用要點。

1 運用中值定理計算極限

通過運用中值定理計算極限，教師應該讓學生掌握以下三點：第一是具有何種特點的極限計算題可考慮用中值定理計算；其次也是最關鍵的，如何對極限式進行巧妙變形，確定運用中值定理的輔助函數；最后，用不同的中值定理能計算同一極限，差別在哪里，又有什么本質聯系。我們的教學實踐表明，將這幾個問題講透徹，學員才能“知其然，更知其所以然”，在實際應用時才能“喜歡用”、“會用”中值定理，使問題迎刃而解。

例1試計算。

分析：此題為“”型不定式，其特點是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規方法相比，如果運用中值定理或許能取得意想不到的效果，關鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實在難以和柯西中值定理聯系起來，因此，必須對分母先“巧妙地”變形，即，我們取為，為，這時分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個輔助函數。事實上，令，則分子和分母分別為在區間（或）上的增量，適合運用柯西中值定理進行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數及自變量在區間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運用拉格朗日中值定理計算極限，關鍵是要視分式為“函數值與自變量的增量比”，往往能直接通過計算該函數導數的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計算也非常簡捷。

該方法的關鍵在于根據增量形式，將未定式轉化為計算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達法則（柯西中值定理）。其本質是多次運用柯西中值定理，事實上，

解法五：仔細觀察原式，可以看出，再由等價無窮小代換，立刻得到同樣的結果。

通過上述問題的“一題多問”，進而“一題五解”，可讓學員深化理解，如果未定式呈現增量比的形式，應仔細地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個中值定理去理解這種“增量比”。通過幾個不同的中值定理進行計算，也能殊途同歸，是其內在的、本質的邏輯聯系使然。教學實踐表明，這能夠加深學員對各中值定理關系的理解，逐步達到一種較高境界的“內化”。

2 運用中值定理證明理論性證明題

通過學習運用中值定理證明某些理論性證明題，教師應明確要達到以下目的：首先是具有何種特點的問題可考慮用中值定理論證；其次也是最關鍵的，如何對欲證結果進行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數；最后，掌握用多個中值定理論證同一問題的異同。通過將一個問題說明白講透徹，使學員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關鍵在于構造輔助函數，應對等式進行恒等變形，將含有的項放在一邊，再選取適當的函數或兩個函數和，使含有的一邊為或，再分別在區間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過上述理論性證明問題的巧妙設計、精講和知識點的揭示，結合三個不同的中值定理運用中體現出的特別的一致性，幫助學生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機聯系，去鼓勵學員在論證問題中去自覺地運用，提高學員運用中值定理進行理論論證的能力。

四個中值定理是獨立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質上卻殊途同歸，在教學實踐中不斷地探索，就能發掘它們在求解各類問題中體現出的有機聯系，使學員去感受、去體會。通過上述做法，對于幫助學生更好地掌握中值定理的本質聯系及應用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002-09.

[2] 李心燦.高等數學一題多解200例選編[M].北京：機械工業出版社，2002-09.

[3] 王志平.高等數學大講堂[M].大連：大連理工大學出版社，2004-09.endprint