基于Toeplitz算法的諧波和間諧波參數估計*

羅日成，盧澤華，張 昇，黃 彪，李 穩

(1.長沙理工大學電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410004；2.高電壓與電磁兼容

北京市重點實驗室(華北電力大學），北京 102206；3.溫嶺供電公司，浙江溫嶺 317500）

基于Toeplitz算法的諧波和間諧波參數估計*

羅日成1?，盧澤華2，張 昇3，黃 彪1，李 穩1

(1.長沙理工大學電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410004；2.高電壓與電磁兼容

北京市重點實驗室(華北電力大學），北京 102206；3.溫嶺供電公司，浙江溫嶺 317500）

為準確地檢測電力系統中諧波信號的參數，從被檢測信號噪聲的基本特性出發，將空間譜估計理論中的Toeplitz算法應用于諧波、間諧波參數檢測.首先對采樣信號構成的自相關矩陣進行奇異值分解，根據不同時刻白噪聲相互獨立的原理劃分出噪聲子空間和信號子空間，再利用最小二乘法和旋轉不變參數估計的原理，實現信號的頻率和幅值參數的準確估計.根據白噪聲均值為0的特性，通過仿真實驗和現場數據分析表明:本文提出的方法在提高諧波和間諧波的參數估計精度和抗噪能力等方面具有較好的可行性和有效性，能滿足實際應用的需要.

諧波；間諧波；Toeplitz；最小二乘；旋轉不變性；陣列信號處理；共軛矩陣

近年來，非線性電力電子設備被廣泛應用，使電網中出現了日趨嚴重的電能質量問題［1-2］，尤其以諧波、間諧波污染為主.隨著中國加快推進智能電網的建設，對海島風電、太陽能等新能源、儲能設備(如鉛酸蓄電池組、鋰電池組等）和電動汽車充電設備的并網運行［3］，都給電網帶來較大的諧波污染；諧波污染會增加電網損耗，減小電力供應的效率，也會造成供電不穩定、保護裝置誤動作，給電力系統帶來十分嚴重的后果.

目前諧波和間諧波的檢測算法都是建立在能夠精確分析信號的頻譜特征的前提上，對其頻率和幅值進行估計.現有的檢測方法主要有快速傅里葉變換(FFT）和小波分析等時域估計方法，多重信號分類(Multiple Signal Classification，MUSIC）、最小二乘-子空間旋轉不變子空間(TLS-ESPRIT）等具有代表性的子空間分解類譜估計算法［4］，以及神經網絡和遺傳算法等智能辨識分析方法.FFT在檢測不穩定信號時，易造成頻譜泄漏，難實現信號同步采樣，容易引起測量結果不準確［5-7］.小波變換在電網系統出現頻率偏差時，小波變換法的頻率分辨率低，會發生頻譜泄露問題［8-9］.MUSIC可較精確估計出諧波參數，但要進行復雜的峰值搜索，計算量較大，且在峰值搜索的過程中存在柵欄效應，導致頻率估計精度不夠精確［10-12］.TLS-ESPRIT需要提前估計出子信號的數目，實際信號數目與估計數目有差別時，會導致噪聲子空間和信號子空間不正交，造成估計結果不準確［13］.神經網絡和遺傳算法屬于人工智能算法，對噪聲的敏感程度不高，但是對樣本的要求很嚴格，需要對訓練樣本進行長久訓練，過程復雜［14］.

本文提出的Toeplitz算法主要是利用信號子空間的旋轉不變性.首先對采樣信號構成的協方差矩陣進行奇異值分解，得到大特征值組成的信號子空間，然后利用分解后的奇異矢量來近似代替數據協方差矩陣并構造新的求解矩陣，再用最小二乘法求解，得到相應的頻率、幅值信息.

1 基于Toeplitz的諧波和間諧波檢測原理

Toeplitz法是基于子空間分解的高分辨率的諧波和間諧波檢測新方法，能有效地識別電網中衰減和非衰減正弦信號的頻率、幅值等信息.該方法被廣泛應用于語音信號和陣列信號的處理以及電力系統暫態信號的分解等方面.

假設信號由M個復正弦信號和一個高斯白噪聲組成：

式中：ai為諧波幅值；fi為頻率；φi為初始相位；i為諧波次數，當i=0時，x(t）為基波；w(t）為均值等于0，方差σ2=1的白噪聲，且與各個頻率分量相互獨立.

對于N個快拍數，式(1）也可表示為：

對信號采樣，建造U×V的采樣數據矩陣：

式中：V為時間長度，且V＞M；U+V為采樣數目.

定義信號矢量：

式中：A=［A1，A2，…，AM］T；φ=diag｛ejω1，ejω2，…，ejωM｝；P=［p(f1），…，p(fM）］.其中p(fi）=［1，ejωi，…，ej(V-1）ωi］，1≤i≤M；求得矩陣φ后，由于φ中含有信號源的頻率信息，即可求出信號的頻率，進而得出其余信號頻率的相關參數.

Toepliz算法首先求取采樣數據矩陣X的協方差矩陣：

對協方差矩陣R進行奇異值分解，可得到：

式中：Σs為大特征值組成的對角陣；Σn為小特征值組成的對角陣；λk和ek分別是協方差矩陣R的第i個特征值及其對應的特征矢量(1≤k≤M），由于大小特征值在數值上差別明顯，根據特征值的這一特性，可劃分信號子空間與噪聲子空間，大特征值組成的是信號子空間Us=［e1，e2，…，eD］；小特征值組成的是噪聲子空間Un=［eD+1，…，eM］，D為大特征值的個數.

此時，可用奇異值分解后的奇異矢量來近似代替無噪聲情況下的數據協方差矩陣：

通過旋轉不變子空間的方法：

此時，可將矩陣B分為兩個M-1維的子空間B1和B2.B1為矩陣B去掉最后一行后的M-1維子空間；B2為矩陣B去掉第一行后的M-1維子空間.可知：

顯然易見B1和B2滿足如下關系：

式中：矩陣D為最小二乘解.從式(11）可知：

其中，Us1為Us的前M-1行，Us2為Us的后M-1行.所以式(8）的最小二乘解為：

對矩陣D進行特征分解，由特征值λM即可獲得信號源中各個分量的頻率fM.

式中：fi為信號的頻率.

在求得信號中各個正弦分量的頻率后，可通過最小二乘法求得幅值信息.對于N個采樣信號，令

由最小二乘法可得：

由式(16）求得各信號分量的幅值為：

基于Toeplitz算法，對N點采樣數據，先通過式(7），(8），(9），(14）和式(15）估計出信號頻率信息，再通過式(16）和式(17）估計出幅值.本文算法流程圖如圖1所示.

圖1 算法流程圖Fig.1 Flowchart of algorithm

2 仿真算例

在電力系統中的諧波和間諧波幅值均不大，故將仿真信號中的諧波幅值比例控制在20%以內，通過式(18）進行仿真實驗.

式中：w為均值是0，方差為0.01的白噪聲；信號由頻率為50 Hz的基波，頻率分別為150 Hz和350 Hz的諧波以及頻率分別為42 Hz和276 Hz的間諧波等多個子信號組成.信噪比SNR為25 d B，采樣頻率為1 k Hz，采樣個數為512.加入高斯白噪聲后的波形如圖2所示.

圖2 仿真信號波形圖Fig.2 Waveforms of the simulation harmonic signal

利用Toeplitz提取的基波和諧波信號如圖3所示.表1為Toeplitz算法與經典FFT算法所得頻率與幅值的比較.

圖3 算法頻譜分析結果Fig.3 Spectrum analysis results of algorithm

表1 Toeplitz算法與經典FFT算法比較____Tab.1_Comparison of the FFT and Toepl_______ itz

利用Toeplitz算法精確提取了各次諧波信號的參數，并與用經典FFT算法估計的結果作比較.定義相對誤差：

式中：Er為相對誤差；X(i）為基波或各次諧波頻率、幅值的初值；為本文算法多次測量取得的平均值.

由表1可知，Toeplitz算法頻率誤差為0.046 7%，幅值誤差為4.367%.FFT算法頻率誤差為0.24%，幅值誤差為14.83%，由于經典FFT算法對簡諧波的檢測出現頻譜泄露和柵欄效應的問題，造成部分子信號幅頻特性嚴重失真，檢測出了一些虛假的間諧波信號(40.65，0.028；276.93，1.164），淹沒了原信號中(42 Hz，276 Hz）的2個間諧波信號，因此大大影響FFT對諧波參數檢測的準確性.而本文方法基于信號子空間的基礎上，結合子空間旋轉不變性思想和最小二乘法的特性，降低了噪聲空間對參數檢測的影響，實現了對信號參數的有效估計.分析表明，本文算法在低性噪比下比經典FFT算法頻率、幅值估計精確度更高.

為進一步驗證本文算法的精確性，取與式(18）中相同的512個樣本數據點，分別利用Toeplitz，PM-MUSIC(基于PM算子的MUSIC算法），TLSESPRIT(總體最小二乘 -空間旋轉不變性）和ROOT-MUSIC(求根MUSIC算法）提取諧波參數. TLS-ESPRIT屬于信號子空間算法，也是利用子空間信號的旋轉不變性來求解；PM-MUSIC和ROOT-MUSIC，都屬于噪聲子空間算法，利用導向矢量與噪聲子空間的正交性得到信號的參數.實驗結果如表2所示.

表2 Toeplitz算法與PM-MUSIC，TLS-ESPRIT，ROOT-MUSIC算法結果比較Tab.2 Comparison between Toeplitz and PM-MUSIC，TLS-ESPRIT，ROOT-MUSIC

由表2可知，利用相同的樣本數據，在信噪比SNR=25 d B的條件下，Toeplitz算法頻率估計誤差為0.046 7%，幅值估計誤差為4.367%，均小于其他3種算法的估計結果，因此Toeplitz算法的頻率與幅值估計結果更精確.

在不同信噪比環境下，分別利用以上4種算法對相同的樣本數據估計頻率幅值，圖4為頻率誤差、幅值誤差與信噪比關系，在不同信噪比環境下，TLS-ESPRIT，PM-MUSIC，ROOT-MUSIC算法的頻率估計值相差不大，當SNR=10 dB時，誤差值增大到0.125%.從圖4可知，Toeplitz算法估計的頻率誤差明顯小于其他3種算法，因此抗噪能力更強.在SNR為10 dB時，Toeplitz算法估計的幅值誤差值為9.24%，比其他3種算法的幅值估計更小，估計性能更優.隨著信噪比降低，4種方法的估計精度都出現了一定的衰減，但本文算法的衰減幅度更小.信噪比較高時，PM-MUSIC和ROOT-MUSIC算法性能比較接近，但仍優于TLS-ESPRIT算法而差于Toeplitz算法.總的來說，Toeplitz算法較PM-MUSIC，TLS-ESPRIT和ROOT-MUSIC算法有更好的抗干擾性，在低信噪比的環境下，依然能夠獲得較好的參數估計性能.

圖4 高斯白噪聲下不同信噪比時誤差比較Fig.4 Comparison between the error in different SNRS

3 用電負荷中的實例分析

造成嚴重閃變的主要原因是工業負荷，尤其是那些大量使用電弧爐、軋鋼機和多組電焊機的鋼鐵企業.在許多情況下，類似礦井絞車等大型波動性電動機負荷也會引起閃變問題.經常會引起閃變的普通負荷是電弧爐(Electric Arc Furnace）.電弧爐是非線性時變負荷，常常造成很大的電壓閃變和諧波畸變，大多數大電流波動在熔化初期產生.在此期間，廢鋼碎塊實際上會在兩個電極之間搭橋，在電爐變壓器二次側造成大電抗短路.熔化期一般造成1～10 Hz的電壓閃變.一旦熔化期結束，就進入精煉期，通常極間會有穩定的電弧，導致高功率的三相穩定負荷.

在一煉鐵廠的電弧爐中取一相電流數據，利用Toeplitz方法對采樣數據進行檢測分析.圖5為實時信號波形圖.采樣頻率為1 280 Hz，采樣時間為0.16 s.圖6為利用Toeplitz算法分析得到的實時信號幅頻特性圖.

圖5 實時信號波形圖Fig.5 Waveforms of real-time signal

圖6 算法檢測的頻率檢測結果Fig.6 Spectrum analysis results of algorithm

在內存為2 GB，處理器為core2 extreme qx9770(3.2 GHz），操作系統win7，MATLAB7.0版本下，該算法的用時為15.2 ms，利用Toeplitz算法可把基波和諧波間諧波信號有效提取出來(幅值在0.01 k A以下省略）；由圖6可知，頻率分別為49.98，10.76，27.31，73.76，90.90，110.01，157.63，244.80，252.26和350.54，376.34 Hz；幅值分別為0.368 8，0.101 2，0.201 1，0.072 4，0.082 3，0.036 9，0.024 6，0.014 2，0.026 8，0.010 7和0.020 8 k A.實驗結果驗證了該算法能較好地處理實時數據，準確檢測出諧波和間諧波信號參數，具有較好的可通用性.

4 結 論

1）本文在對幾種常用電力諧波檢測方法進行比較的基礎上，結合最小二乘理論和旋轉不變性思想，提出了基于Toeplitz的諧波和間諧波檢測方法.

2）仿真實驗結果驗證了Toeplitz法好于FFT法和另外幾個常見的空間子分解類諧波檢測方法，它具有較好的抗噪能力.

3）從實時數據分析得出，Toeplitz法能夠應用于實時信號檢測中，是一種諧波間諧波分析的有效方法，可作為諧波間諧波檢測的一種新工具.

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Parameter Estimation of Harmonics and Inter Harmonics Based on Toeplitz Algorithm

LUO Ri-cheng1?，LU Ze-hua2，ZHANG Sheng3，HUANG Biao1，LI Wen1

（1.College of Electrical and Information Engineering，Changsha Univ of Science and Technology，Changsha，Hunan 410004，China；2.Beijing Key Laboratory of High Voltage&EMC，North China Electric Power Univ，Beijing 102206，China；3.Wenling Power Supply Company，Wenling，Zhejiang 317500，China）

In order to accurately detect the parameters of harmonics in the power system，an algorithm based on a method of spatial spectrum estimation named Toeplitz was proposed on the basis of the essential property of noise information.First，eigen-value decomposition was used for the autocorrelation of matrix constructed by sampling data to get signal sub-space and noise sub-space.It adopts the principle of least squares method and rotational invariance techniques to calculate high precision signal parameter flicker.Finally，based on the estimated frequency of every signal component and the characteristic of zero average value of noise signals，the simulation results and the real-time data analysis have verified the effectiveness of the algorithm，which satisfies the needs of practical application.

harmonic；inter-harmonic；Toeplitz；leastsquare；rotational invariance techniques；array signal processing；conjugate matrix

TM935

A

1674-2974（2014）08-0078-06

2014- 03- 17

國家自然科學基金資助項目(50977003）

羅日成(1969-），男，湖南隆回人，長沙理工大學副教授，博士

?通訊聯系人，E-mail：luorich@126.com