材料色散對光子晶體全反射隧穿光場分布的影響

劉啟能，劉 沁

（1.重慶工商大學計算機科學與信息工程學院，重慶400067；2.重慶工商大學設計藝術學院，重慶400067）

材料色散對光子晶體全反射隧穿光場分布的影響

劉啟能1，劉 沁2

（1.重慶工商大學計算機科學與信息工程學院，重慶400067；2.重慶工商大學設計藝術學院，重慶400067）

為了研究材料色散對光子晶體全反射隧穿光場分布的影響，利用特征矩陣，推導出1維光子晶體中的光場分布公式。又利用光場分布公式和材料色散公式，研究了材料色散對1維摻雜光子晶體全反射隧穿光場分布的影響。結果表明，材料色散對1維光子晶體全反射隧穿的光場分布會產生明顯的影響，材料色散會使全反射隧穿光場的峰值發生明顯變化，并會使光場分布的周期性發生明顯改變。此研究結果加深了對1維光子晶體全反射隧穿現象的認識。

光電子學；光子晶體；色散；全反射隧穿；光場

引 言

所謂光子晶體就是其折射率在空間成周期性排列的人造功能性材料。自從1987年光子晶體的概念被提出后，由于光在光子晶體傳播時受到周期性結構的作用會在光子晶體內部產生光的帶隙機構［1-6］，利用光子晶體的帶隙可以十分方便地控制光波的傳播。因此，對光子晶體的研究成為光學前沿領域內一個活躍的課題［7-13］。

作者利用光在介質中的色散關系研究了介質色散對1維光子晶體全反射隧穿效應的影響［14］，發現介質材料的色散會對1維光子晶體中全反射隧穿導帶產生明顯的影響，全反射隧穿導帶的頻率中心都隨色散強度的增加而降低，頻率寬度都隨色散強度的增加而增大。最近作者又對1維摻雜光子晶體中偏振光缺陷模的光場分布開展了研究［15］，得出了1維摻雜光子晶體中偏振光缺陷模的光場分布特征。那么材料的色散是否會對1維光子晶體全反射隧穿效應的光場分布產生影響呢？這是一個值得研究的新問題。下面將建立材料的色散關系，并推導TE波在1維光子晶體中光場的分布公式，然后利用材料的色散關系研究色散對1維光子晶體全反射隧穿效應光場分布的影響。

1 理論模型

1.1 材料的色散

用洛倫茲振子模型來模擬色散材料的介電常數［14］有：

式中，εb，ω，ωr，γ和χ0分別為背景材料的介電常數、入射光的圓頻率、材料的諧振圓頻率、衰減系數和色散強度。改變εb，ωr，γ和χ0等參量，將改變介質材料的色散特性。由（1）式可知，材料的介電常數為復數，其折射率也為復數，稱為材料的復折射率。復折射率的實部描述材料對光的折射性質，復折射率的虛部描述材料對光的吸收性質，下面僅研究復折射率實部的色散特性。

由（2）式可看出，在影響折射率色散特性的諸多因素中色散強度χ0是最重要的因素，χ0＝0表示材料無色散；χ0≠0表示材料有色散。

1.2 光場分布公式

設TE波在1維光子晶體中的傳播，如圖1所示。TE波在入射空間電矢量為E0、磁矢量的切向分量為H0∥，TE波通過1維光子晶體中任意一層Δzm后的電矢量為E、磁矢量的切向分量為H∥。根據特征矩陣的關系有：

式中，Mi為TE波通過第i層介質中的特征矩陣，M為TE波通過前m層介質中的特征矩陣。由（3）式得：

式中，M11－1，M12－1，M21－1和M22－1為矩陣元，展開（4）式有：

由圖1可知：

Fig.1 Light intensity of TE wave in 1-D photonic crystal

（6）式和（7）式中的r是該1維光子晶體對TE波的反射系數。

將（6）式和（7）式代入（5）式得：

由（8）式得出TE波在1維光子晶體中任意一層Δzm后光場的分布公式：

利用（9）式可以研究TE波在1維摻雜光子晶體中光場的分布規律。

2 色散對全反射隧穿光場的影響

設1維光子晶體的結構為（AB）N＋0.5，為了研究方便，選介質A為色散材料，其復折射率實部n1滿足（2）式，取εb＝1.9，ωr＝8×1014Hz，γ＝4×1014Hz，考慮色散時取χ0＝0.4，不考慮色散時取χ0＝0，厚度為d2。介質B為非色散材料硫化鋅（其折射率為n2＝2.38、厚度為d2）。兩種介質周期性地交替構成。設入射空間和出射空間的介質也為硫化鋅，即n2＝n0。因n0＞n1，所以當光大于全反射角入射該光子晶體時會產生全反射現象，在不考慮介質A的色散時，其全反射角為θm＝arcsin（n1／n0）＝0.62rad。取N＝5，n1d1＝n2d2＝λ0／4，λ0＝60nm，對應波長λ0的圓頻率ω0＝2πc／λ0，c為真空中光速。

在不考慮介質A的色散時（χ0＝0），利用特征矩陣法計算當入射光的圓頻率ω＝1.5ω0的TE波入射該1維光子晶體時，其透射率隨入射角的響應曲線，如圖2所示。由圖2可以看出：當TE波大于全反射角入射時，在入射角θ0＝0.86rad～0.95rad范圍內出現了多個明顯的透射峰，即出現了全反射隧穿現象。大于全反射角的其它角度的透射率為0。

固定θ0＝0.91rad，利用特征矩陣法計算出介質A無色散（χ0＝0）和介質A有色散（χ0＝0.4）兩情況下透射率隨頻率的曲線響應曲線，如圖3所示。在圖3中實線表示無色散（χ0＝0）的情況，虛線表示雜質有色散（χ0＝0.4）的情況。由圖3可以看出：材料的色散對1維光子晶體的全反射隧穿峰的影響十分明顯，色散會使全反射隧穿的5個峰向高頻方向移動，色散會使相鄰隧穿峰的頻率間距減小，色散會使隧穿峰的頻率寬度減小。

Fig.2 Response curves of transmissivity versus incident angle

Fig.3 Response curves of transmissivity versus frequency

下面進一步研究材料的色散對1維光子晶體全反射隧穿效應光場分布的影響。由圖3可以看出，圓頻率ω＝1.49ω0處是材料無色散時中間全反射隧穿峰（第3個）的位置，圓頻率ω＝1.56ω0處是材料有色散時中間全反射隧穿峰（第3個）的位置，下面研究這兩個頻率位置1維光子晶體中光場的分布。

2.1 ω＝1.49ω0時的光場分布

固定θ0＝0.91rad，ω＝1.49ω0，利用（9）式計算出TE波在無色散（χ0＝0）和有色散（χ0＝0.4）的情況下光場隨透射深度的響應曲線，如圖4所示。在圖4中實線表示無色散（χ0＝0）的情況，虛線表示有色散（χ0＝0.4）的情況。透射深度D以一個周期的光程厚度為單位，整個1維光子晶體的透射深度范圍為0.0～5.5，而5.5～7.0為透射空間。

Fig.4 Response curves of light field versus depth of transmission（ω＝1.49ω0）

（1）無色散時光場的分布特征。無色散時光在光子晶體內部的場分布（實線）周期性地出現了3個分布峰，3個分布峰分別出現在透射深度D為0.8，2.8和4.8處，其光場的峰值達到8。這表明在1維光子晶體全反射隧穿峰值處，光子晶體內部光場的分布具有周期性，并且光場的分布很強。透射空間光場保持0.96不變。

（2）有色散時光場的分布特征。考慮材料有色散時，ω＝1.49ω0處的透射率T僅為0.2，不是全反射隧穿峰值的位置。其光在光子晶體內部的場分布（虛線）沒有明顯的規律，不具有周期性。光場最大位置出現在透射深度D＝1.7處，其光場為3.2。光子晶體內光場的分布較弱。透射空間光場保持0.2不變。

2.2 ω＝1.56ω0時的光場分布

固定θ0＝0.91rad，ω＝1.56ω0，利用（9）式計算出TE波在無色散（χ0＝0）和有色散（χ0＝0.4）的情況下光場隨透射深度的響應曲線，如圖5所示。在圖5中實線表示無色散（χ0＝0）的情況，虛線表示有色散（χ0＝0.4）的情況。

Fig.5 Response curves of light field versus depth of transmission（ω＝1.56ω0）

（1）無色散時光場的分布特征。無色散時，ω＝1.56ω0處的透射率T僅為0.18，不是全反射隧穿峰值的位置。其光在光子晶體內部的場分布（實線）沒有明顯的規律，不具有周期性。光場最大位置出現在透射深度D＝1.7處，其光場為2.2，光子晶體內光場的分布較弱。透射空間光場保持0.18不變。

（2）有色散時光場的分布特征。考慮材料有色散時，ω＝1.56ω0處的透射率T為0.97，是全反射隧穿峰值的位置。光子晶體內部的場分布（虛線）周期性地出現了3個分布峰，3個分布峰分別出現在透射深度D為0.8，2.8和4.8處，其光場的峰值達到7.9。這表明在1維光子晶體全反射隧穿峰值處光子晶體內部光場的分布具有周期性，并且光場的分布很強。透射空間光場保持0.97不變。

從前面的對比分析中可以看出，材料的色散對1維光子晶體全反射隧穿的光場分布的周期性和強弱都有明顯的影響。

3 結 論

利用特征矩陣的方法推導出光在1維光子晶體中光場的分布公式，利用光場的分布公式和材料的色散公式研究了材料色散對1維光子晶體全反射隧穿光場分布的影響。研究表明：材料色散對1維光子晶體全反射隧穿的光場的分布會產生明顯的影響，材料色散會使全反射隧穿光場的峰值發生明顯變化，會使光場分布的周期性發生明顯改變。這些規律的獲得加深了對1維光子晶體全反射隧穿現象的認識。

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Effect of dispersion on light field of total reflection tunnel in 1-D photonic crystal

LIU Qineng1，LIU Qin2
（1.School of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China；2.Institute of Design and Art，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to obtain effect of material dispersion on the light field distribution of the total reflection tunnel in 1-D photonic crystal，the light field formula of 1-D photonic crystal was deduced based on the characteristic matrix.The effect of material dispersion on the light field distribution of total reflection tunnel in 1-D photonic crystal was studied by the light field distribution formula and the material dispersion formula.The results show that the dispersion can affect the light field of total reflection tunnel.The dispersion can change the peak of the light field and make obvious change of the periodicity of the light field.The study makes deeper understanding of the phenomenon of the total reflection tunnel of1-D photonic crystal.

optoelectronics；photonic crystal；dispersion；total reflection tunnel；light field

O436.3

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.06.004

1001-3806（2014）06-0738-04

重慶市教委科技項目基金資助（KJ130713）

劉啟能（1957-），男，教授，現主要從事光學與聲學的研究。

E-mail：liuqineng57＠163.com

2013-11-04；

2013-12-05