基于分割縮放的欠采樣相位圖解包裹算法

徐天杰，錢曉凡，戴欣冉，李 斌

（昆明理工大學理學院激光研究所，昆明650500）

基于分割縮放的欠采樣相位圖解包裹算法

徐天杰，錢曉凡*，戴欣冉，李 斌

（昆明理工大學理學院激光研究所，昆明650500）

為了提取所需的相位信息，克服噪聲、斷點以及欠采樣等不利因素的影響，針對采樣問題出現的根本原因（采樣頻率過低、圖像條紋密度過高），在處理欠采樣問題時采用基于分割縮放原理的相位解包裹算法，對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進行解包裹運算。在理論分析的基礎上給出了具體的相位解包裹算法，模擬計算和實驗驗證都表明了該算法的可行性。結果表明，該算法對有欠采樣相位的解包裹能取得不錯的效果。

全息；相位解包裹；分割縮放；欠采樣

引 言

數字全息技術記錄了可以反映物體表面2維形貌、形變、應力分布或溫度場等信息的光場相位，所以，通過對數字再現象的相位進行提取與解包裹計算，就可實現包括2維形貌檢測在內的各種測量，因而應用前景廣闊［1］。在提取相位信息時由于通常要引入反正切函數，得到的相位稱為包裹相位，即相位值介于（－π，π］之間，這就需要采用相位解包裹運算處理相位分布上的跳變點，將被截斷（包裹）的相位連接起來，以得到真實的相位分布［2］。

實際問題中，由于噪聲、斷點，特別是欠采樣等的影響，包裹相位中有大量不可靠數據點存在，使相位解包裹成了一個十分困難的問題［3］。目前相位解包裹最常用的算法是最小二乘法［4-6］，其中最小二乘法又分為無權最小二乘法［4，7］和加權最小二乘法［8-9］。針對欠采樣造成的相位解包裹困難，作者在無權最小二乘解包裹算法的基礎上，提出了基于分割縮放原理的相位解包裹算法，模擬計算和實驗驗證均表明，該算法對有欠采樣相位的解包裹能取得不錯的效果。

1 分割縮放原理

采樣頻率過低、圖像條紋密度過高，是欠采樣問題出現的根本原因，為此，如果對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進行相位解包裹處理，可以有效克服欠采樣的發生。但在實際操作中，待解包裹圖的分辨率一般都比較高，在進行插值放大后就會很容易出現超出計算機軟硬件處理能力的情況。針對該問題，作者提出了基于分割縮放原理的相位解包裹算法：（1）將包裹相位圖分割成若干個子單元；（2）對每個子單元進行插值放大處理；（3）對插值放大后的子單元塊進行解包裹運算；（4）將解包裹后的子單元塊縮小至原來的大小；（5）將縮小后的子單元塊合并成為完整圖像。

實際上，由于解包裹的過程是將斷裂的條紋拼接起來的過程，在合并的過程中會帶來條紋整體平移的問題，不調整相鄰單元塊之間相位值大小的直接合并操作，會使得各個小單元之間出現明顯的斷層，所以必須找到合理的合并方法。

2 一種擴散式的合并方法

前面已經說明，找到好的合并方法是本文中相位解包裹算法得以實現的關鍵，作者提出了下面的合并方法。

如圖1所示，把待處理包裹相位圖按順序分割成數個子單元圖，每個子單元大小均為（m+Δm）×（n+Δn）像素（處于最后一行和列的單元除外）。為避免簡單合并所帶來的錯誤，作者讓相鄰的兩個子單元、最末端的子單元與余項單元之間存在Δm行和Δn列的重疊區域。完成對所有子單元的相位解包裹后，需要進行修正，修正過程要求對每個子單元加上一個增量δi，j，δi，j的值由相鄰單元重疊區域的相位平均值決定。最后將校正過的解包裹單元合并起來，從而解決直接合并所帶來的錯誤。

Fig.1 Schematic diagram of segmentation

當然，校正順序不同，合并的方法也相應不同，選用的是一種擴散式的合并方法：該方法以左上角的子單元作為參考單元，然后沿x和y方向延展順序校正其后的各個單元。

Ai，j（i＝0，1，…，L－1；j＝0，1，…，K－1）的大小為（m+Δm）×（n+Δn）像素；L是x方向上的子單元數，K是y方向上的子單元數，通常情況下，x和y方向的末端會出現與子單元大小不相同的余項單元。余項單元單獨處理；子單元Ai+1，j和Ai，j有Δm行重疊區域，分塊Ai，j+1和Ai，j有Δn列重疊區域。先確定第1個單元A0，0（i＝0，j＝0）為基準單元，然后分別計算其與右、下方向相鄰單元A0，1和A1，0的增量δ0，1與δ1，0，再以A0，1和A1，0為基準依次計算下去。

子單元的處理方法如下：

（1）當i＝0，j＝0時，即確定初始的基準單元時，需要確定一個初始增量δ0，0，δ0，0的值通過對解包裹后的子單元進行再包裹，然后與原始包裹相位相減，再取差值的平均值得到。

（2）當i＝0且j＝1，…，K－1或i＝1，…，K－1且j＝0時，增量的取值分別為：

（3）當i＝L－1且j＝1，…，K－2或i＝1，…，K－2且j＝L－1時，增量的取值為：

（4）當i＝L－1，j＝L－1時，增量的取值為：

式中，

（5）其它情況下增量的取值為：

式中，φ1（l，k）是未經修正的子單元Ai，j的解包裹相位，φ2（l，k）和φ3（l，k）分別是子單元Ai－1，j和Ai，j－1經修正后的解包裹相位。

通過上述計算，可以對分割后的子單元塊進行很好的合并處理。解決了圖像合并這一關鍵問題后，使用本文中的方法解決欠采樣圖像相位解包裹的問題也就迎刃而解了。

3 基于分割縮放原理的欠采樣相位圖解包裹算法模擬計算

為了檢驗作者所提出的算法針對欠采樣相位圖解包裹是否能達到預期效果，現做以下模擬計算。

作者用MATLAB中的peaks函數再乘以20構建一個2維相位分布（512pixel×512pixel），如圖2a所示，其包裹相位如圖2b所示。使用傳統的最小二乘法進行解包裹計算，結果如圖2c所示，可以看出結果不是很理想，主要是由于peaks函數乘以20后其包裹相位變化太快，出現了欠采樣。

Fig.2 Simulated unwrapping results of wrapped phase with undersampling from least-square unwrapping operation

下面采用本文中的方法解包裹，為了觀察解包裹的效果，作者給出了計算誤差，即將解包裹得到的相位與原始相位相減，得到了幾個典型的計算結果（X表示插值放大倍數）在圖3中給出。結果顯示，分割包裹相位圖后進行適當縮放再完成解包裹計算，能很好地避免欠采樣問題。

Fig.3 Simulated unwrapping results of wrapped phase with undersampling from segmentation and zooming unwrapping operation and the error

通過對比可以看到：使用最小二乘法對欠采樣圖像進行相位解包裹有很大的誤差，而使用本文中的分割縮放解包裹算法解包裹，誤差很小（最大相對誤差不到0.5%）。放大倍數X越大，解包裹的效果越好。但是，放大倍數X越大，運算的速度越慢。

4 處理實驗數據的驗證結果

為了進一步檢驗所提出算法的效果，將其用于實驗得到的有欠采樣包裹相位圖的解包裹，為此作者布置了如圖4所示的實驗光路［10］。激光束（波長為632.8nm）被分束鏡（beam splitter，BS）BS1分為兩束，其中一束經擴束系統（beam expanding system，BES）BES1和透鏡L1變為平行光，再經反射鏡M1和分束鏡BS2反射后作為參考光到達CCD（2048pixel×1536pixel，像素大小為6.4μm）；另一束被反射鏡M2反射，經擴束系統BES2和透鏡L2變為平行光，再經透鏡L3匯聚為球面波，最后通過分束鏡BS2作為物光到達CCD。參考光、物光在CCD處干涉并記錄下來得到數字全息圖，送計算機處理。

Fig.4 Schematic experiment setup

圖5 a是實際拍攝的一幅全息圖，記錄的是一個球面波的光場，通過減小球面半徑，得到了包裹相位存在欠采樣的數字全息圖；圖5b是對應的包裹相位圖。

Fig.5 Digital hologram and wrapped phase

圖6中給出了用不同算法對實驗得到的有欠采樣包裹相位圖解包裹的結果。其中圖6a中給出的是用傳統的最小二乘法解包裹所得結果，與模擬計算一樣，有欠采樣發生時，用傳統最小二乘法解包裹得到的相位有嚴重失真，誤差很大；圖6b中給出的是用常用的枝切法解包裹所得結果，由于有欠采樣，大片區域無法順利完成解包裹運算；圖6c中是用作者提出的分割縮放方法解包裹結果，計算中取m＝n＝30，X＝10。可以看出，該方法解決欠采樣問題的能力到達了預期的效果。

Fig.6 Experimental unwrapped phase by different unwrapping algorithm

5 結 論

由于噪聲、陰影、條紋斷裂及欠采樣等因素的影響，包裹相位中有大量不可靠數據點存在，給最小二乘相位解包裹帶來困難。本文中將分割縮放原理引入到數字全息再現光場的重構中，對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進行相位解包裹處理，提出了基于分割縮放原理的欠采樣相位圖解包裹算法，可以有效克服欠采樣的發生。通過模擬計算得到了不錯的效果，實驗結果也驗證了這種算法的可行性，該算法為有欠采樣相位的解包裹提供了一種新的思路。

［1］ XU L，PENG X Y，ANAND A K，et al.Digital microholointerferometer development and validation［J］.Optical Engineering，2003，42（8）：2218-2224.

［2］ GE B Z，CUIP，LU Q N.Implement of phase unwrapping of digital holographic reconstruction image by discrete cosine transform least-square method［J］.Journal of China University of Petroleum（Natural Science Edition），2008，32（6）：1673-5005（in Chinese）.

［3］ ZHANG X，QIAN X F.An improvement on the least-squares phase unwrapping algorithm for undersampled interferogram［J］.Acta Photonica Sinica，2011，40（1）：121-125（in Chinese）.

［4］ PRITT M D，SHIPMAN JS.Least-squares two-dimensional phase unwrapping using FFT’s［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，1994，32（3）：706-708.

［5］ MENESESJ，GHARBIT，HUMBERT P.Phase-unwrapping algorithm for images with high noise content based on a local histogram［J］.Applied Optics，2005，44（7）：1207-1215.

［6］ HUIM，WANG D Sh，LIQ X，et al.Phase unwrapping method based on the solution of discrete poisson equation［J］.Acta Optica Sinica，2003，23（10）：1245-1249（in Chinese）.

［7］ GHIGLIA D C，REMORO L A.Robust two-dimensional weighted and unweighted phase unwrapping that uses fast transforms and iterative methods［J］.Journal of the Optical Society of America，1994，A11（1）：107-117.

［8］ QIAN K M，WU X P.Modulation analysis based on weighted least-squares approach for phase unwrapping［J］.Acta Photonica Sinica，2001，30（5）：585-588（in Chinese）.

［9］ QIAN X F.A new phase calculation method in 3-D optical phase measurement by combining PSP with IFTP［J］.Optoelectronics Letters，2010，6（2）：120-123.

［10］ LIB，QIAN X F，LIX H，et al.Phase-unwrapping algorithm based on radial shearing principle［J］.Laser Technology，2013，37（1）：44-47（in Chinese）.

Unwrapping algorithm based on segmentation and zooming for undersampled wrapped phase

XU Tianjie，QIAN Xiaofan，DAI Xinran，LI Bin
（Institute of Lasers，Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

In order to obtain phase information，many unfavorable factors such as noise，breakpoint and under sampling must be overcome.Aimed at too low sampling frequency and high fringe density，the root cause of the undersampling problem，unwrapping algorithm based on segmentation and zooming principle was introduced.After enlarging interference fringe whose density is too high by interpolation method，the phase was unwrapped.The simulation and experimental results show the feasibility of the proposed algorithm.It turns out that it is an effective unwrapping algorithm for undersampled wrapped phase.

holography；phase unwrapping；segmentation and zooming；undersampling

O438.1

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.01.009

1001-3806（2014）01-0039-05

國家自然科學基金資助項目（61067004）

徐天杰（1986-），男，碩士研究生，現主要從事光信息處理方面的研究。

*通訊聯系人。E-mail：qianxiaofan1＠sina.com

2013-04-16；

2013-05-16