具有最優模型傳遞矩陣的交互式多模型算法

周衛東，蔡佳楠，孫 龍

（哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱）

具有最優模型傳遞矩陣的交互式多模型算法

周衛東，蔡佳楠，孫 龍

（哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱）

在傳統的交互式多模型（IMM，interacting multiple model）算法中，描述模型馬爾科夫切換過程的模型傳遞矩陣被定義成一個常值矩陣，并且將子濾波器間的相關性信息遺漏.然而，由于實際環境的復雜性，傳統的IMM算法無法滿足飛行器跟蹤的需求.為此，提出一種具有最優模型傳遞矩陣的交互式多模型（OMTM-IMM，optimal mode transition matrix IMM）算法，該算法在考慮子濾波器相關性的前提下，以線性最小方差理論為基礎，推導出最優的模型傳遞矩陣，該傳遞矩陣更加符合實際情況，理論分析和仿真實驗表明該算法有效地提高了飛行器跟蹤精度.

交互式多模型算法；常值模型傳遞矩陣；最優模型傳遞矩陣；線性最小方差理論；相關性

目標跟蹤既涉及連續狀態的估計問題，又涉及多個模型間的協調問題.文獻［1］提出了交互式多模型（interacting multiple model，IMM）算法，由于在復雜性和估計精度方面良好的折中，該算法被廣泛應用到很多領域［2-4］.為進一步提高IMM算法跟蹤能力，出現許多改進的IMM算法，如交互式有偏多模型算法（interacting multiple bias model，IMBM）、變結構交互式多模型算法（variablestructureinteractingmultiplemodel， VSIMM）等［5-12］.

這些IMM算法中都存在兩個共同的問題：

1）在描述模型馬爾科夫切換過程采用的是一個常值的模型傳遞矩陣.該傳遞矩陣是由每個模型的逗留時間決定的，而非由連續的狀態所決定［8］.這會涉及模型數量大于2時模型傳遞矩陣的非對角線元素不唯一和如何確定逗留時間的難題［13］.

2）子濾波器的相關性信息被遺漏.由于每一個子濾波器的交互初值是由所有子濾波器交互得到，因此每一個子濾波器的狀態估計即取決于自身，又取決于其他子濾波器.那么子濾波器之間是存在相關性的，特別是對于復雜環境下目標跟蹤問題，相關性信息不可忽略［14-17］.

為解決以上問題，本文給出了一種具有最優模型傳遞矩陣的交互式多模型（optimal mode transition matrix IMM，OMTM?IMM）算法.該算法在考慮子濾波器相關性的基礎上，以線性最小方差理論為基礎，推導得到最優模型傳遞矩陣.通過理論證明和仿真實驗表明，該算法能夠更好地適應實際應用的需求，提高目標跟蹤精度.

1 問題描述

飛行器目標跟蹤系統可以用如下方程描述：

式中：χ（k）為a維的狀態向量；z（k）為b維量測向量；mk為系統模型編號，指示出在k時刻與當前運動相匹配的模型，mk∈N，N＝｛1，2，…，n｝為模型數目；w（k-1，mk）和v（k，mk）為互不相關的高斯白噪聲，方差為Q（k-1，mk）和R（k，mk）；令Fj，Hj，Qj，Rj分別代表當mk＝j時的狀態矩陣F（k｜k-1，mk），量測矩陣H（k，mk），Q（k-1，mk），R（k，mk）．

在傳統的IMM算法中，描述模型馬爾科夫切換過程的模型傳遞矩陣是一個常值矩陣π，模型概率πij為其元素，被定義為：

式中：0≤πij≤1，?i，j∈N；πi為第i個模型的逗留時間，E［πi］為πi的期望值，πii表示從模型i到模型i的傳遞概率．

由式（4）可知，當用于目標跟蹤的模型數目n≤2時，可以計算得到唯一的πij；但當模型數目因此n＞2時，通過式（4）、（5）只能得到在沒有額外約束條件時，無法獲得唯一的π［13］．由式（5）可知，πii僅僅依賴于E［πi］，與連續的系統狀態無關［8］，因此，計算模型傳遞矩陣的前提是E［πi］已知．

除此之外，IMM算法的第一步驟是計算交互初值和對應的方差陣［7］，如式（6）、（7）所示.

以上分析發現傳統IMM存在兩個問題：

1）常值的模型傳遞矩陣僅依賴于逗留時間，而逗留時間無法事先預知，同時當模型數目大于2并且沒有額外的約束條件時，模型傳遞矩陣不唯一.

2）子濾波器相關性信息被遺漏.

2 改進的交互式多模型算法

2.1 最優的模型傳遞矩陣

令模型傳遞概率為πij（k-1），交互概率為μi｜j（k-1），模型概率為μj（k-1），維數均為1×1；＾χj（k-1）為第j個子濾波器的狀態向量χj（k-1）的估計值，＾χ0j（k-1）為交互初值χ0j（k-1）的估計值，理想條件下，χ0j（k-1）即為狀態的真實值χ（k-1）．交互初值的誤差和第j個子濾波器的狀態估計誤差分別定義為：

在線性最小方差理論下，最優交互初值為：

交互概率滿足如下表達式：

根據式（8）～（11）有

其中：

其中e＝[11…1]T．

?χ0j（k-1）的方差為

其中：

從式（15）可以看出，?P0j（k-1）利用了所有的協方差信息．為得到最優的πij（k-1），將性能指標設定為

其中tr（·）表示對各個分塊矩陣求跡．問題轉化為在約束條件式（14）下，式（16）取得最小值時，可以得到最優的βj（k-1），從而解得最優的πij（k-1）．令

則性能指標改寫為

引入拉格朗日算子λ，構建輔助函數f：

令

可得矩陣方程組

顯然，B（k-1）是一正定矩陣，則eTB-1（k-1），那么性能指標函數的最優解為

由文獻［7］可知解得最優的πij（k-1）為

其中：B-1（k-1）＝A（k-1）；

將式（21）代入式（15），最小的交互誤差方差陣：

2.2 OMTM?IMM算法

利用上一節中推導得到的最優模型傳遞矩陣，則改進后的OMTM?IMM算法步驟為：

Step 1 最優模型傳遞矩陣更新

其中

Step 3 模型濾波.將＾χ0j（k-1）和?P0j（k-1）作為子濾波器的輸入，利用z（k）使子濾波器輸出估計值＾χj（k）和方差?Pjj（k），并計算似然函數為

Step 4 模型概率更新

Step 5 輸出交互

OMTM?IMM算法在每個濾波循環過程中增加了模型傳遞矩陣的計算步驟，并且在步驟2中交互初值方差陣利用了所有子濾波器間的協方差信息.與傳統的IMM相比，該算法更多依賴于連續狀態的估計值充分利用更多有用信息.

3 算法精度分析

3.1 子濾波器精度分析

對于子濾波器j，定義狀態預測誤差、狀態估計誤差和交互初值誤差分別為：

因此

假設?χj（k）與vj（k）不相關，則?χj（k）的方差為

依據文獻［18］，上式改寫為

由式（36）、（37）可得：

根據式（24），比較式（38）、（39），則

上式表明在最優的模型傳遞矩陣下所有的子濾波器的估計精度都有所提高.

3.2 OMTM?IMM算法精度分析

定義量測z的生成子空間為L（z），OMTM?IMM算法得到的狀態估計值為，其生成子空間為，誤差方差陣為POMTM-IMM；同時IMM算法的狀態估計值為，生成子空間為，誤差方差陣為PIMM．那么為的集合（θ＝OMTM-IMM，IMM）．

在傳統的IMM算法中πij（k-1）為常值；交互初值的方差陣為式（7）.在OMTM-IMM算法中，πij（k-1）為變量；交互初值的方差陣為式（27），其中包含了所有子濾波器的相關性信息.因此傳統的IMM算法是OMTM-IMM算法的特例，那么

4 仿 真

考慮兩個飛行器的目標跟蹤實驗.實驗A中逗留時間τi為已知，實驗B中τi為未知.為簡化實驗，這里只考慮水平方向的運動，則狀態X＝［PχVχPyVy］T分別為χ軸方向位置和速度、y軸方向的位置和速度．描述飛行器運動狀態的模型包括常速運動模型（constant velocity motion，CV）、常速左轉彎運動模型（left constant turn motion，LCT）和常速右轉彎運動模型（right constant turn motion，RCT），分別描述為

其中：T＝1 s；t＝0.1；ωl＝2π／180；ωr＝-2π／180．

實驗A 飛行器的運動規律為CV-LCTRCT，每個運動狀態的逗留時間均為100 s，即τ1＝τ2＝τ3＝100 s.并假設模型傳遞矩陣每一行中的非對角線元素相等，那么，傳統IMM算法的模型傳遞矩陣為

OMTM-IMM算法的模型傳遞矩陣由式（22）計算得到.其中位置誤差δP＝速度誤差δV＝和為飛行器真實的位置和速度．蒙特卡洛實驗100次結果如圖1～3所示．

圖1 實驗A跟蹤軌跡

圖2 實驗A位置誤差和速度誤差

圖3 實驗A模型概率

在t＝100 s和t＝200 s時，飛行器運動狀態發生變化.圖1為兩種算法對真實軌跡的跟蹤圖，結合圖1中的局部放大圖和圖2表明，OMTMIMM算法的估計誤差明顯小于IMM算法.圖3顯示，OMTM-IMM算法在每一個運動狀態下，對應模型的模型概率更接近于1，并且在狀態切換過程中存在較小的時間延遲.因此，在此實驗條件下，OMTM-IMM算法具有更強的跟蹤能力，主要原因是該算法應用了全部的協方差信息，避免了信息的遺漏.

實驗B：飛行器的運動規律和逗留時間均未知，此時傳統的IMM算法無法計算得到模型傳遞概率.因此，在此假設模型傳遞概率與實驗A中的一致.蒙特卡洛實驗100次結果如圖4～6所示.

圖4 實驗B跟蹤軌跡

圖5 實驗B位置誤差和速度誤差

圖6 實驗B模型概率

圖4 、5表明，OMTM-IMM算法的估計精度仍然高于IMM算法.圖6顯示，IMM算法的模型概率已經不能準確描述當前的運動狀態，并且存在嚴重的滯后，OMTM-IMM算法仍能夠準確的跟蹤飛行器的運動變化情況.主要的原因是IMM算法的模型傳遞矩陣不準確，而OMTM-IMM算法的模型傳遞矩陣是由連續狀態估計值進行實時計算的，能夠較準確地描述當前的運動狀態.

5 結 論

基于線性最小方差理論，推導了最優的模型傳遞矩陣，以及對應的交互初值誤差矩陣，從而提出了OMTM-IMM算法.該算法利用了所有的子濾波器相關性信息，并且能夠實時準確地跟蹤模型切換情況，進而提高了飛行器目標跟蹤的估計精度.理論分析和仿真實驗都印證了這一結論.

除了在本文條件下得到的OMTM-IMM算法以外，還可以考慮如下兩種情況：

1）πij（k-1）維數為1×1，將μj（k-1）擴展為n×n維矩陣，模型概率可以區分每一維狀態對系統的影響.此時算法的估計精度較OMTM-IMM算法提高，但計算量變大.

2）將πij（k-1）和μj（k-1）均擴展為n×n維矩陣，模型傳遞矩陣和模型概率都可以區分每一維狀態對系統的影響.此時算法的估計精度最高，但計算量最大.

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（編輯 苗秀芝）

Interacting multiple model algorithm with optimal mode transition matrix

ZHOU Weidong，CAI Jianan，SUN Long

（College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China）

The traditional interacting multiple model（IMM）algorithm usually models the mode evolutions as Markov processes with constant mode transition matrix and leaves the correlative information among sub?filters out.However，because of the complexity of the practical application，the traditional IMM algorithm is unsuitable in aircraft tracking.To solve these problems，an optimal mode transition matrix IMM algorithm（OMTM?IMM）is presented.The new algorithm uses the linear minimum variance theory to calculate the optimal mode transition matrix according to the correlations between sub?filters.In this case，the new matrix further approaches the truth one，and the estimation accuracy can be improved.This conclusion can be support by the following theoretical derivation and simulations in aircraft tracking.

IMM；constant mode transition matrix；adaptable mode transition matrix；linear minimum variance theory；correlation

U666.12

：A

：0367-6234（2014）11-0101-06

2013-12-30.

國家自然科學基金（61374208）.

周衛東（1966—），男，教授，博士生導師.

蔡佳楠，happycaijianan＠163.com.