PIE+MOM的Mamdani模糊系統通用逼近性充要條件

游文虎，王 茂，施 佳

(1.哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，150001哈爾濱;2.中國航空無線電電子研究所，200241上海)

學者 Kosko［1］和 Wang［2］在 1992 年的 IEEE 模糊系統會議上提出了模糊系統可以作為通用逼近器，并分別從不同角度給予了證明.自此，不少學者圍繞模糊系統作為通用逼近器開展了相關研究.Bova等［3］研究了Mamdani模糊系統的一種模糊邏輯推理過程.Wang等［4］分析了簡化結構演變的Mamdani模糊系統辨識及其應用高維問題的方法.關于模糊系統作為通用逼近器的理論研究可分為3大類:存在性，充分性和必要性.

1)模糊系統通用逼近性的存在性.Kosko［1］首先建立加型模糊系統模型，然后采用有限覆蓋定理對基于此模型的模糊系統的通用逼近性的存在性給出了分析;進一步和Dickerson等［5］共同分析了具備橢圓規則的加型模糊系統的通用逼近性.Buckley等［6］選取一類模糊控制器的傳遞函數作為研究對象，從泛函角度對模糊系統具有通用逼近性給出了存在性證明.Zeng等［7-8］分析研究了采用乘積和最小推理方法得到的模糊系統，得出了其具有通用逼近性的對給定輸入的局部逼近特性的一般表達式，并給出了如何提高全局通用逼近性的方向性建議.Kóczy等［9］從“貓和鼠”等問題出發對采用最大-最小算子推理的Mamdani模型和T-S模型模糊系統的通用逼近性的存在性進行了研究.Cao等［10-11］從動態模型角度分別研究了T-S模糊模型和Mamdani模糊模型的通用逼近性.Cuong等［12］引入Mamdani模糊系統的一類分段多線性模型，并研究了其逼近能力.

2)模糊系統通用逼近性的充分性.Ying［13-14］采用構造性方法，分別分析了預先給定的逼近精度的T-S型和Mamdani型模糊系統作為通用逼近器的充分條件.Zeng等［15］通過對線性T-S性模糊系統的隸屬函數作了一定的限制后給出了新的通用逼近性的充分性條件.黃衛華等［16］推導了輸入采用廣義線性隸屬函數的典型Mamdani模糊系統的解析結構，并證明了通用逼近性.

3)模糊系統通用逼近性的必要性.Ying等［17-18］深入研究了一般單輸入單輸出、多輸入單輸出的Mamdani型模糊系統和典型的T-S型模糊系統可以作為通用逼近器的必要條件，并分析了其極可能具有最簡潔系統構成.孫富春等［19］研究了單輸入單輸出(SISO)Mamdani模糊系統在給定逼近精度下作為函數逼近器的必要條件，對文獻［17-18］的結論做了推廣.

以上這些研究都沒有給出某種情形下的模糊系統具有通用逼近性的充要條件.這些研究都是指針對某一特定類模糊系統的通用逼近能力，他們都未能解答具有通用逼近性能的模糊系統必須具備怎樣的條件.具體采用怎樣的途徑和方法來構造模糊系統，從而使其具有通用逼近性，這仍然需要進一步的研究分析.

本文將分析并證明一類具有通用逼近性的Mamdani型模糊系統的充要條件.

1 一類通用逼近的Mamdani模糊系統

在研究模糊系統的逼近性能時，需要在有界閉區間上進行.因此，設定n維模糊系統的輸入空間為［ai，bi］n，i=1，2，…，n.對區間［ai，bi］進行劃分，即在區間［ai，bi］上定義Ni個模糊數，且有，則有，其中Cj i為Aj

i的中心點.

定義1 設T:［0，1］×［0，1］→［0，1］，T是T-norm，當且僅當對于所有的x，y，z∈［0，1］有:

1)T(x，y)=T(y，x)(交換律);

2)當y≤z，T(x，y)≤T(y，x)(單調性);

3)T(x，T(y，z))=T(T(x，y)，z)(結合律);

4)T(x，1)=x.

定義2 乘積推理機(PIE).指定U上的給定模糊集A'向V上的模糊集B'的映射規則如下:

其中μA'(x)表示模糊集分別為模糊規則前件、后件的隸屬度函數.

Mamdani模糊系統的結構比T-S模糊系統的結構要復雜得多，因為對于Mamdani模糊系統來說，其規則后件也為模糊數，而且解模糊器也有多種選擇.本文只討論基于乘積推理機(PIE)的情形.

對于Mamdani型模糊系統，根據其規則后件的不同，其模糊系統具有不同形式.當采用一般解模糊化算子［20］時，其模糊系統具有如下形式:

其中:M為該模糊系統的模糊規則數;yl為)取最大值時所對應的點;)α表示第l個模糊規則的合成算子，且

當取α=1時，表示上式采用面積平均解模糊器，取α=+∞時，則采用了最大值平均解模糊器(MOM).

引理1(Weierstrass第一定理)［21］設f(x)是在區間［a，b］上定義的連續函數，則任意給定ε＞0，都存在多項式P(x)，使得

如下定理將給出一類Mamdani型模糊系統是否具有通用逼近性的結論.

定理1 給定一個在定義域D上的任意連續函數f(x)和任意的逼近精度ε＞0時，若模糊系統F(x)的推理機為乘積推理機，且解模糊器為最大值平均解模糊器，則 Mamdani模糊系統F(x)具有通用逼近性的充要條件:

也就是說，當符合上述條件的Mamdani模糊系統F(x)滿足下式:

證明 對于式(1)對應的模糊系統的模糊規則后件有兩種選擇方式.

1)規則后件為單點規則后件，即

在這種情形下，由于μAi(xi)＞ξ(其中ξ為一足夠小的正常數)，所以一定存在τ=τ(ξ)＞0，使得

在式(1)中，yl(l=1，2，…，M)為常數.不妨設和ya=，則中一定存在N個常值小于或等于ya，M-N個大于ya.不失一般性，設前N個常值小于或等于ya.

采用最大值平均解模糊器(MOM)，即α=+∞時，有

可推出

當對應的輸入點x*的各個分量只有一個輸入隸屬函數值為最大，則式(3)可化為

若對于該點有a個輸入隸屬函數值相等且為該點處最大的隸屬值，則式(3)也可化為

即模糊系統具備通用逼近性，即式(2)成立.

②必要性證明.采用反證法，假設系統不滿足上述條件，而該模糊系統仍具有通用逼近性.

可得到

即對于給定的ε，在模糊規則數足夠大時，由隸屬函數滿足的條件可知，一定存在

將上兩式比較可得

所以有

這與該情形不符，顯然假設不成立.故這種情形下模糊系統不具有通用逼近性.

證畢.

2)規則后件為模糊數，即

其中yl為模糊數的中心點，且)是凸函數.

在這種情形下，由于μAi(xi)＞ξ(ξ為一正常數)，所以采用模糊推理后，一定存在τ=τ(ξ)＞0，使得在區間中必有均為正的常數，且必有)在區間中為最大.

在式(1)中，yl(l=1，2，…，M)為常數.不妨設)和ya=，則yl(l=1，2，…，M)中一定存在N個常值小于或等于ya，M-N個大于ya.不失一般性，設前N個常值小于或等于N.

采用最大值平均解模糊器，即α=+∞ 時，在這種情形下，有

可得

即模糊系統具備通用逼近性，即有式(2)成立.

②必要性證明.采用反證法，假設不滿足條件時，該模糊系統仍具有通用逼近性.

這里有兩種情形:

即對于給定的ε，在模糊規則數足夠大時，一定存在

將上兩式比較可得

這與該情形不符，假設不成立.

對于左邊界點處有

由式(7)～(9)可得

故在此情形下，假設不成立.

綜上兩種情形，不滿足條件時，該Mamdani模糊系統不具有通用逼近性.

證畢.

2 Mamdani模糊系統通用逼近性判據分析

滿足上述判據的Mamdani模糊系統在規則數足夠多的情形下可以以任意精度逼近緊致集上的任意連續函數.若是不滿足上述判據的話，無論規則數有多少總存在緊致集上的某一連續函數使得該模糊系統不能以任意精度逼近.下面構造不同的Mamdani模糊系統來逼近兩個函數比較以確認上述判據的正確性.為了反映普遍性.在選取被逼近函數時選擇指數函數和三角函數.因為指數函數的傅里葉展開式為無窮階多項式，而多項式可以以任意精度逼近任意緊致集上的連續函數;再就是三角函數為周期函數也具有一定的代表性.下面針對本文所給判據作舉例分析.

示例 現有在區間［0，1］上的兩個函數g1(x)=ex和g2(x)=sin(2π·x)，分別構造滿足解模糊器為最大值平均解模糊器時的判據的Mamdani模糊系統和不滿足該判據的Mamdani模糊系統來逼近這兩個函數.

由于條件限制推理機必須選取局域推理機.不失一般性，選擇乘積推理機.隸屬函數選擇高斯型隸屬函數exp(-((x-xl)/σl)2).

首先構造滿足判據的Mamdani模糊系統.由該判據可知，當隸屬函數是局域隸屬函數時，滿足判據，當隸屬函數為全域隸屬函數時，只要其滿足一定的條件，依然滿足判據.如當采用高斯型隸屬函數時，其參數σl(l=1，2，…，n0)都為同一值.

分別給出規則數為21和51的滿足上述判據的Mamdani模糊系統來逼近函數g1(x)=ex，σl=0.8(l=1，2，…，n0).Mamdani模糊系統輸出和逼近誤差分別如圖1～2所示.

再給出規則數分別為21和51的滿足該判據的Mamdani模糊系統來逼近函數g2(x)=sin(2π·x)，σl=0.8(l=1，2，…，n0).系統輸出和逼近誤差分別如圖3～4所示.

圖1 滿足判據的Mamdani模糊系統對g1(x)=ex的輸出

圖2 滿足判據的Mamdani模糊系統對g1(x)=ex的逼近誤差

圖3 滿足判據的Mamdani模糊系統對g2(x)=sin(2π·x)的輸出

下面構造不滿足該判據的Mamdani模糊系統.選取第一個規則的規則前件的隸屬函數為定值σ1=0.8，其他的分別為:當規則數為21時σl=0.025(l=2，3，…，n0);當規則數為 51 時σl=0.01(l=2，3，…，n0).首先給出其對g1(x)=ex的仿真圖，系統輸出如圖5所示.

圖4 滿足判據的Mamdani模糊系統對g2(x)=sin(2π·x)的逼近誤差

圖5 不滿足判據的Mamdani模糊系統對g1(x)=ex的輸出

再給出其對g2(x)=sin(2π·x)的仿真圖，系統輸出如圖6所示.

圖6 不滿足判據的Mamdani模糊系統對g2(x)?=sin(2π·x)的輸出

由此可得，在推理機為局域推理機的情形下，滿足該判據的Mamdani模糊系統具有通用逼近性.不滿足該判據且采用最大值平均解模糊器的Mamdani模糊系統不具有通用逼近性.

3 結語

本文率先給出了一類Mamdani模糊系統具有通用逼近性的充要條件.由上述定理證明結果可知，當解模糊器為最大值平均解模糊器時，Mamdani模糊系統的具有通用逼近性的充要條件是:模糊器和規則前件的隸屬函數中所有滿足的隸屬函數的中心點，具有當一定有0的性質和規則后件的隸屬函數具有如下性質，即當一定有使得其對應的規則后件隸屬函數的隸屬度的值的取值范圍長度也趨近于零.

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