利用改進的分段VTEC多項式模型建立全天電離層變化模型

劉迪 ，段德磊，徐春

(云南省電力設計院，云南 昆明 650011)

1 引 言

電離層延遲誤差是GPS 定位中的一項重要誤差源，也是導致差分GPS 的定位精度隨用戶和基準站間距離增加而迅速降低的主要原因之一。目前現有的電離層模型主要是長時期內全球平均狀況的經驗模型［1］，如Bent 模型、Klobuchar 模型、IRI 模型等。利用這些模型來估計某一時刻某一地點電離層延遲的精度均不夠理想，其誤差為實際延遲量的20% ～40%［2］。近年來基于電離層單層假設的二維電離層模型的研究已趨于成熟，即利用地基GPS 實際測定某一時段某一區域內的電離層延遲，再采用數學方法擬合電離層延遲模型。顯然，建立這種模型時并不要求對電離層變化規律有透徹的了解，一些時間尺度較長的不規則變化已經在模型中得到了反映［3］。本文利用VTEC 多項式模型對全天電離層TEC 進行了計算，但是采用此方法所得VTEC 值在分段模型間不連續。為此，本文通過增加已知條件和模型間取加權平均值的方法，能夠很好地反映電離層電子總含量的實際情況，能較好保證模型間的連續性，并且帶限制條件模型有利于提高長時間的電離層延遲模型的精度。

2 VTEC 多項式模型

VTEC 多項式模型是目前使用最多的局部電離層函數模型。該模型將VTEC 看做是緯度差φ－φ0和太陽時角差S－S0的函數，用一個規則的曲面來擬合各穿刺點處實際測定VTEC 值，其具體表達式為［4］:

式中:nmax、mmax是地理緯度φ 和日心經度S 二維多項式的泰勒展開式中的最大維數;Enm是VTEC 多項式模型的系數;φ0是測區中心點的地理緯度;S0是測區中心點在該時段中央時刻t0時的日心經度;φ 是穿刺點或者星下點的地理緯度。S 是穿刺點或者星下點的日心經度，它與地方時(LT)有關。

根據GPS 與VTEC 的關系，測站至衛星路徑上的總電子含量的觀測方程如下:

在本文計算中，穿刺點位置的計算采用電離層單層模型［5］，取電離層單層高度H =350 km、VTEC 模型參數nmax=2、mmax=3。

3 電離層電子總含量全天模型的建立與分析

為了了解電離層電子總含量全天變化規律，將一天分成6 個時段，分別對每個時段內的電離層TEC 進行擬合。在每個時段內，采用VTEC 多項式模型，一天內對應衛星和接收機的組合硬件延遲采用同一個參數［6］。這樣，其參數設置由兩部分組成:①6 個時段的電離層多項式模型系數，共6 ×3 ×4 =72 個參數;②衛星和接收機組合的硬件延遲，一般為29 個參數。則待估的參數一般為72 +29 =101。

本文利用觀測文件和GPS 衛星的精密星歷，計算了2006年4月10日北京房山站GPS 跟蹤站單站電離層延遲模型，再利用模型系數計算了北京附近某地理經緯度(40°N，116°E)上空全天的電離層TEC日變化曲線，如圖1所示。

圖1 電離層TEC日變化曲線

從圖1可以看出，電離層總電子含量最大值出現在地方時13 時左右，最小值出現在凌晨5 時左右(北京地方時比世界時晚8 h)。由于是分時段建立電離層延遲模型，再加上模型參數設置上自身的缺陷和觀測值的精度影響，在兩個相鄰的時段間，模型計算的總電子含量會出現跳躍，使得總電子含量曲線圖出現不連續現象。

為了克服這一不足，本文加入了在時間段的節點處函數模型值相等這一約束條件。即把多項式模型看成穿刺點經度、緯度和時間的函數:

其中B、L 分別為穿刺點的緯度和經度，t 為觀測時間，i 為時段號。

在兩個時段之間，要保持它在空間上的連續性和光滑性，則需要函數在空間所有點上的VTEC 值在時段間的節點處相等，這在建模時是不可能實現的。本文的計算中，選擇在站點上空設置一個網格，網格大小為1° ×1°或30' ×30'，即4 個點，讓函數模型6 個時段的銜接時刻，在網格點滿足下面條件:

式中，(Bg，Lg)為格網點的坐標，t 為時間段銜接處的時間。

這樣，共有5 ×4 =20 個限制條件，采用附有限制條件的間接平差方法，對模型參數進行求解。根據觀測方程和約束條件，可以寫出誤差方程和限制條件為:

其中n 為觀測量的個數，u 為參數的個數，s 為約束條件的個數。根據式(6)可知，約束條件Cj=(… ai，1…ai，12－ai，1…－ai，12…)，Wx=0。

由上述誤差方程和限制條件，按附有限制條件的間接平差理論，可得到:

因為Wx= 0，只需計算并且約束條件C 也是一個稀疏矩陣，在構造Ncc時可以按分塊構造的方法。利用上面模型重新計算北京某地全天的電離層TEC日變化曲線，結果如圖2所示。

圖2 帶限制條件的TEC日變化曲線

從圖2可以看出，在時間段銜接處的連續性有了一定提高，但還不是很光滑。為了讓總電子含量連續，并且保證曲線圖的精度，在時間段的銜接處取前后兩個模型的內插值和外推值的加權平均值。具體的做法是在每個時間段銜接處的前后25 個歷元，用下面公式計算該時刻的總電子含量，其中前一個公式用于計算時間段銜接處前25 個歷元的總電子含量，后一個公式用于計算時間段銜接處后25 個歷元的總電子含量:

式中，n 表示該時刻的歷元;ni表示第i 個時間段銜接處的歷元;Mi表示第i 個模型計算得到的總電子含量。

利用式(10)和帶限制條件模型重新計算全天某處的總電子含量，曲線圖如3 所示。

圖3 平滑后TEC日變化曲線

平滑后的曲線保持前面的TEC日變化曲線的特點，并且連續性和平滑性均得到改善，可以用于對TEC日變化規律進行研究。

4 小 結

通過試例可以看出，本文采用的增加已知條件和模型間取加權平均值的方法，能夠很好地反映電離層電子總含量的實際情況，并能較好保證模型分段處的連續性。但是，本文增加的已知條件較為簡單，最后也只用了加權平均的方法來提高連續性。今后可在增加約束條件個數和對約束條件求導等方面再做研究。

［1］章紅平，平勁松，朱文耀等．電離層延遲改正模型綜述［J］．天文學進展，2006，21(1):35 ～41．

［2］李征航，黃勁松．GPS 測量與數據處理［M］．武漢:武漢大學出版社，2005．

［3］張小紅，李征航，蔡昌盛．用雙頻GPS 觀測值建立小區域電離層延遲模型研究［J］．武漢大學學報·信息科學版，2001，26(2):140 ～143．

［4］Paulo de Oliveria Camargo，Joao Francisco Galera Monico．Application of ionospheric corrections in the equatorial region for L1 GPS users［J］．Earth Planets Space，2000，52(5):1083 ～1089．

［5］李征航，趙曉峰，蔡昌盛．利用雙頻GPS 觀測值建立電離層延遲模型［J］．測繪信息與工程，2003，28(1)．

［6］袁運斌，歐吉坤．GPS 觀測數據中的儀器偏差對確定電離層延遲的影響及處理方法［J］．測繪學報，1999，28(2):15 ～22．