基于懸鏈線近似數(shù)學(xué)模型解決架空輸電線路高程測(cè)量問題

陳雄

(秦皇島市測(cè)繪大隊(duì)，河北 秦皇島 066001)

1 引 言

城市區(qū)架空輸電線路對(duì)于城市基礎(chǔ)設(shè)施規(guī)劃是一個(gè)不可忽視的因素，如何保證架空輸電線路跨越建筑物、道路或其他設(shè)施時(shí)高度適宜是規(guī)劃設(shè)計(jì)部門必須考慮的一個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。如今的架空線路高程測(cè)量主要采取免棱鏡全站儀施測(cè)或者RTK 測(cè)量結(jié)合全站儀懸高測(cè)量的方法，但這兩種方法的缺點(diǎn)是顯而易見的:①費(fèi)時(shí)費(fèi)力，并且得不到重要的特征點(diǎn)(如極值點(diǎn))的高程;②架空輸電線路通常很密集并且交叉，全站儀架設(shè)較遠(yuǎn)不易辨別。如果我們?cè)诂F(xiàn)場(chǎng)只用實(shí)測(cè)同一條架空輸電線路兩端的懸掛點(diǎn)和中間少數(shù)點(diǎn)的三維坐標(biāo)，模擬出該條架空輸電線路的線路數(shù)學(xué)模型，這樣該條架空輸電線路上任意點(diǎn)的三維坐標(biāo)就迎刃而解了。

2 懸鏈線數(shù)學(xué)模型

通常任何材料包括導(dǎo)線在內(nèi)，都具有一定的剛性，但由于懸掛在桿塔上的一檔導(dǎo)線相對(duì)較長(zhǎng)，因此導(dǎo)線材料的剛性對(duì)其幾何形狀的影響很小，故在計(jì)算中假定:①導(dǎo)線為理想的柔索。因此，導(dǎo)線只承受軸向張力(或拉力)，任意一點(diǎn)的彎矩為零。這樣導(dǎo)線力學(xué)計(jì)算可應(yīng)用理論力學(xué)中的柔索理論進(jìn)行計(jì)算。②作用在導(dǎo)線上的荷載均指同一方向，且沿導(dǎo)線均勻分布。實(shí)際上，導(dǎo)線懸在空中的曲線形態(tài)，從數(shù)學(xué)角度用什么方程來描述是進(jìn)行導(dǎo)線力學(xué)分析的前提。由于假定視導(dǎo)線為柔索，則可按照理論力學(xué)中的懸鏈線關(guān)系來進(jìn)行分析，即將導(dǎo)線架設(shè)在空中的幾何形態(tài)視為懸鏈形態(tài)，而由此導(dǎo)出的方程式為懸鏈線方程。當(dāng)一檔導(dǎo)線懸掛于等高的兩懸掛點(diǎn)時(shí)，以導(dǎo)線最低點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系可以根據(jù)導(dǎo)線受力及幾何關(guān)系推導(dǎo)出著名的懸鏈線方程:

在線路設(shè)計(jì)中，為了計(jì)算上的方便，一般不使用精確式方程，而是將其展開為泰勒級(jí)數(shù)形式。將懸鏈線方程式展開成無窮級(jí)數(shù)(在x=0 點(diǎn))，可得:

實(shí)踐證明，當(dāng)導(dǎo)線的跨度不大時(shí)，該式可以省去多次方項(xiàng)，近似寫成也就是說在懸掛點(diǎn)跨度不大時(shí)，架空輸電線路的數(shù)學(xué)模型近似于拋物線。

3 工程應(yīng)用實(shí)例

在現(xiàn)實(shí)中，架空輸電線路的兩懸掛點(diǎn)很少是等高的，但當(dāng)懸掛點(diǎn)高差相對(duì)于跨度很小時(shí)，通過對(duì)懸鏈線數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)和分析，架空輸電線路的數(shù)學(xué)模型可以近似為斜拋物線，即數(shù)學(xué)方程為:

如果我們以其中一個(gè)懸掛點(diǎn)A 作為原點(diǎn)，以兩懸掛點(diǎn)A、B 的連線到過原點(diǎn)的水平面的投影AB'為x 軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，那么將A(0，0)帶入式(1)即可得c=0。那么式(1)可直接寫作:

圖1 架空輸電線路示意圖

從式(2)可知，只要我們能獲得除原點(diǎn)A 的另兩個(gè)線路上的點(diǎn)的三維坐標(biāo)，就可以確定待定系數(shù)a、b，從而擬合出該條架空線路的軌跡方程。在實(shí)際中為了保證計(jì)算的可靠性和準(zhǔn)確性，通常我們測(cè)量的實(shí)際點(diǎn)多余2 個(gè)，這樣我們可以采用最小二乘原理求解待定系數(shù)a、b，并且通過解求的殘差衡量待定系數(shù)的精度。

當(dāng)已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(n≥2)時(shí)，函數(shù)模型可以寫成:BA+W=0

按條件平差原理，A=－BT(B BT)－1W。

下面我們通過具體實(shí)例來比較該方法和傳統(tǒng)測(cè)高方法的異同。如圖1所示，本工程先用索佳250RX 型免棱鏡全站儀實(shí)測(cè)出懸掛點(diǎn)A、B 的三維坐標(biāo)，然后將其平面坐標(biāo)輸入RTK 手簿分別測(cè)設(shè)兩懸掛點(diǎn)在x 軸的投影AB'上距A 點(diǎn)50 m倍數(shù)的點(diǎn)，再依次用全站儀懸高測(cè)量方法實(shí)測(cè)這些線路點(diǎn)的高程，數(shù)據(jù)如表1所示:

表1 線路點(diǎn)實(shí)測(cè)坐標(biāo)及高程

選取其中100 m 點(diǎn)與B(518.476 m)點(diǎn)計(jì)算出a=0.000 155，b=－0．034 002。然后再選其中100 m點(diǎn)、250 m點(diǎn)、400 m 點(diǎn)、B(518.476 m)點(diǎn)4 點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算a=0.000 153 91，b=－0．033 327。最后將全部觀測(cè)點(diǎn)參與解算a=0.000 154 86，b=－0．033 879，將三次計(jì)算后的殘差相比如表2所示:

表2 不同選點(diǎn)的計(jì)算及比較表

4 結(jié) 語

架空輸電線路是理想化的懸鏈線，當(dāng)線路覆冰或有外物著力時(shí)就不能用其模擬。但工程設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)線路安全距離精度一般留有空余時(shí)，用斜拋物線模擬懸鏈線精度完全滿足要求。實(shí)際工作中只需觀測(cè)線路上均勻長(zhǎng)度的少數(shù)點(diǎn)即可，避免造成人力物力的浪費(fèi)。通過數(shù)學(xué)方程，我們能輕松求解需要的任何數(shù)據(jù)。

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