基于差分進化算法的衛星軌道計算方法

劉秀平,孫海峰,景軍鋒,韓麗麗

(1.西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048;2.西安電子科技大學 空間科學與技術學院,陜西 西安 710071;3.西安交通工程學院 電子工程系,陜西 西安 710065)

0 引 言

衛星或航天器的軌道位置信息是執行空間任務或導航的基礎[1].不論是用于通信的低軌道衛星,還是用于導航定位的高軌道衛星都對軌道位置的計算時間和精度有相應的容忍要求[2-3],及時獲取高精度的位置信息是導航的目標.通過對圓軌道、橢圓軌道、拋物線和雙曲線軌道建立位置與時間相關聯的開普勒方程來獲取高精度軌道位置信息[4].除圓軌道外,其他形式軌道的開普勒方程均涉及到超越方程的求解[5].傳統的Newton迭代法、梯度法等方法對初始值的選取要求較高,對函數的梯度計算敏感,并且導數冗繁[6].在面對不可微、函數性質復雜等問題時,傳統方法的優化結果不能令人滿意.研究高效的、穩定的、導數信息和初始值要求不高的求解方法十分重要.差分進化算法對約束的優化問題能獲得較好的性能.本文首先介紹了差分進化算法的原理,構建衛星軌道計算模型,然后利用差分進化算法對軌道參數計算,最后分析了各種衛星軌道的計算性能,并與其他算法進行了比較.

1 差分進化算法

差分進化算法(Differential Evolution,DE)是目前進化算法中最優秀的一種,在含約束的單目標優化問題和無約束的多目標優化問題中有廣泛的應用[7].DE算法是基于浮點矢量編碼具有保優思想的貪婪遺傳算法,其思想是從某一隨機產生的初始化種群(I),通過變異操作(M)和交叉操作(C)產生新個體,再通過選擇操作(S)實現優勝劣汰.不斷迭代,引導搜索過程向最優解逼近,直到滿足精度要求或滿足停止條件為止.具體操作步驟為:

Step 1:初始化(Initialization),在定義內隨機生成含有N個p維變量的個體,組成初始種群;當前迭代次數t=1,最大迭代次數為G.

Step 2:變異操作(Mutation),從當前種群中隨機選擇兩個個體xr1，xr2,對其進行變異操作,即

(1)

Step 3:交叉操作(Crossover),其目的是增加群體的多樣性,即

(2)

Step 4:選擇操作(Selection),為保證算法不斷向全局最優解靠近,算法采用“優勝劣汰”的選擇策略.經過變異和交叉后的個體,只有適應度更優時,才能被競爭選入子代,即

(3)

式中f()為目標函數,假設解決的為最小化問題.

圖1 地心赤道坐標系和近焦點坐標系關系

2 差分進化算法的軌道預測算法

在實際工程應用中,軌道根數是衛星的主要參數.軌道根數包括軌道的半長軸(a)(或比角動量的模)、傾角(i)、升交點赤經(Ω)、偏心率(e)、近地點幅角(ω)和真近點角度(θ).

(4)

式中μ為地球的引力參數,μ=398 600km3/s2,h為比角動量的模

(5)

(6)

(4) 根據地心赤道坐標下的初始位置向量rXYZ0和速度向量vXYZ0,迭代Δt時刻后的狀態向量.

根據rXYZ0和vXYZ0,計算出rXYZ0的模,vXYZ0在rXYZ0上投影得到速度的徑向分量和長半軸的倒數,分別表示為r0，vr0，α.

(7)

設t0為全局變量為零的時刻,則(t0+Δt_時刻的χ值,可由全局開普勒方程獲得.

(8)

(9)

當t0為其他不同于近地點的時間時,全局變量χi與近點角的關系為

(10)

針對軌道參數預測問題,通過DE算法得到的解決方案,能夠擴展搜索空間,提高群體的多樣性,能得到更優的軌道參數[8].通過啟發式策略修正使其滿足約束條件,并根據式(9)評價各個個體的適應值.DE算法具體如下:

Step 1:輸入軌道根數的參數和約束的上下限值,設置DE算法的參數.

Step 2:初始化群體，每個個體都有一組決策變量組成,這些變量為時間段內近點角的輸出值.

Step 3:針對個體χi,從群體中隨機選擇互不相同的個體χk,χi,χm,利用式(1)生成變異個體.

Step 4:針對個體χi,利用式(2)產生臨時測試個體ui.

Step 5:利用測試個體ui,使其滿足各種約束條件,并對ui的適應值進行評估[9].

Step 6:當適應值較大時,進入下一次迭代，且迭代次數增加.

Step 7:判斷停止條件.當群體中個體數目達到最大，或達到最大迭代次數，則滿足停止條件；否則，轉向Step3.

Step 8:輸出群體最優的方案.

3 結果與分析

測試DE算法對軌道全局近點角及軌道位置和速度信息的尋優性能,并與其他算法比較.算法利用Matlab平臺實現,各算法均在Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370@2.4GHz 2.4GHz內存,Win 7系統的PC機上運行.

為了測試算法的性能,選取衛星軌跡為橢圓、拋物線和雙曲線軌道為測試函數.DE算法對衛星軌道的真近點角的預測性能,如表1所示.對3類不同類型的5個衛星軌跡全局近點角進行了計算.橢圓軌道的參數為近地點半徑9 600km和遠地點半徑21 000km,利用DE算法計算1.132h和3h后的近點角,其最優解為120°和193.0°，DE算法比PSO算法和GA算法獲得的近點角有更好的逼近.對于雙曲線,參數分別為速度15km/s和近地點半徑300km,計算4.15h和3h的近點角,其理論值為111.1°和99.8°.從表1看出,DE算法有更高的軌道精度逼近性能.軌跡為拋物線時,也獲得了較好的效果.可見,DE算法在衛星軌道預測方面有較好的尋優能力.這主要得益于DE進化算法使得種群的進化在每一個較好的解附近搜索.因此,一旦有較好解出現在種群中,就獲得很大的發展空間,算法有較快的速率收斂.已知t0時刻的位置r0和速度v0,由拉格朗日系數及其導數,可以求得任意時刻的位置r和速度v,從而,確定任意時刻的位置信息和速度信息.

表1 算法對軌道真近點角預測性能比較

4 結束語

本文針對于衛星軌道預測中開普勒方程是超越方程,有不可微、函數性質復雜等特點,建立了衛星軌道預測模型,構建目標函數.采用標準化DE算法尋找到最優的全局近點角.通過分析3種不同衛星軌跡,結果表明該算法對于此類問題有較好的尋優能力.

參考文獻：

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[4] 陳剛,萬自明,徐敏,等.遺傳算法在航天橋軌跡優化中的應用[J].彈道學報,2006,18(1):1-5.

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[7] 畢曉軍,劉國安.基于云差分進化算法的多目標優化實現[J].哈爾濱工程大學學報,2012,33(8):1021-1025.

[8] KENNETH P,RAINER S,LAMPNEN J.Differential evolution:A practical approach to global optimization[M].Berlin:Springer,2005:37-130

[9] 高岳林,劉軍民.差分進化算法的參數研究[J].黑龍江大學自然科學學報,2009,26(1):81-85.