位移共振與速度共振之別

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

在機(jī)械振動(dòng)中，共振現(xiàn)象包括兩種，即位移共振和速度共振；在電磁振蕩中，共振現(xiàn)象也包括兩種，即電壓共振和電流共振，統(tǒng)稱為電諧振.那么位移共振與速度共振有何異同？電壓共振與電流共振相當(dāng)于機(jī)械振動(dòng)中的哪種共振？下面舉例分析.

1 機(jī)械振動(dòng)中的位移共振和速度共振

物體在彈簧彈力和正比于速度的線性力作用下的運(yùn)動(dòng)為阻尼振動(dòng).

【例1】有一個(gè)豎直彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為κ，振子為圓盤形，質(zhì)量為m，其表面與彈簧垂直，在某種液體中上下振動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)速度較小的情況下，粘滯阻力的大小與速率成正比，即f=κ′v，若圓盤還受到一個(gè)沿豎直方向的周期性外力F′=Fmsinω′t的作用，選擇平衡位置為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸豎直向下，設(shè)開始向下的初速度為v0，試求振子的位置坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律.

解析:對(duì)于豎直彈簧振子，當(dāng)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，重力無影響；再者，振子質(zhì)量較小，重力可忽略.圓盤形的振子體積較小，受到液體的浮力可忽略不計(jì)，以豎直向下為正方向，由牛頓第二定律，有

-κx-κ′v+Fmsinω′t=ma

即

如圖3所示，將圓臺(tái)母線延長(zhǎng)，恰交于小活塞中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立x軸.

則

所以

設(shè)OE=x，則

所以深度E處水的壓強(qiáng)為

E處長(zhǎng)為dx的微元環(huán)面積dS為

缸體側(cè)壁所受總壓力

所以缸體側(cè)壁所受總力的豎直分力F側(cè)為

F側(cè)=F總sinθ=

8F+136=8F+136 (單位：N)

所以

N=G缸-F側(cè)=

50×10-(8F+136)=

-8F+364 (單位：N)

即

齊次微分方程的特征方程為

其兩個(gè)根為

當(dāng)阻尼因數(shù)較小即β<ω0時(shí)，為弱阻尼狀態(tài)，特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，即

對(duì)該式有兩種情況:

(1)無阻尼時(shí)，即當(dāng)β=0時(shí)，r=±iω0，振動(dòng)為無阻尼的受迫振動(dòng)，這種振動(dòng)包括兩種情形.

其一，若擾動(dòng)度頻率與固有頻率不等，即ω′≠ω0，則由高等數(shù)學(xué)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程理論可知，微分方程的通解為

其二，若擾動(dòng)頻率等于固有頻率，則微分方程的通解為

2 電諧振

【例2】如圖1所示，有一個(gè)電阻R，自感L，電容C和電源E串聯(lián)組成的電路，其中R，L及C為常量，電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)：E=Emsinω′t，這里Em及ω′也是常量.電源內(nèi)阻不計(jì).當(dāng)閉合開關(guān)接通電源時(shí)，試推導(dǎo)電容器兩極的電壓隨時(shí)間變化的微分方程及電諧振條件.

圖1

列出回路電路電壓方程為

E-EL-uC-uR=0

即

得

化簡(jiǎn)為

可知函數(shù)y最小值的條件是

此時(shí)電壓幅取得最大值，因此RLC串聯(lián)電路的電壓諧振與機(jī)械振動(dòng)的位移共振相應(yīng).

由此可知電流幅取極大值的條件是外界擾動(dòng)頻率ω′與系統(tǒng)固有頻率ω0相等，因此電流諧振與機(jī)械振動(dòng)的速度共振相應(yīng).

電流諧振現(xiàn)象可通過實(shí)驗(yàn)來觀察，將RLC串聯(lián)電路中的電阻元件換為小燈泡，當(dāng)調(diào)節(jié)交流電源的頻率等于RLC串聯(lián)電路的固有頻率時(shí)，即在ω′=ω0的條件小燈泡最亮，表明此時(shí)電流最大，即電路中交變電流的有效值最大，發(fā)生電流諧振.這是由于諧振時(shí)電抗為零，則阻抗最小，即RLC串聯(lián)電路的等效電阻為純電阻R.電諧振實(shí)質(zhì)是在交流電通過RLC電路中的電容和電感時(shí)，交流電源本身的周期性變化與LC電路充、放電的周期性變化步調(diào)一致，即二者固有頻率相等，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

對(duì)于串聯(lián)諧振電路發(fā)生諧振的條件，還可通過歐姆定律和阻抗公式及容抗公式來推導(dǎo).

設(shè)電路中交流電源為E=Emsinωt，則阻抗為

而

令

y=R2ω2C2+(ω2LC-1)2=

L2C2ω4+(R2C2-2LC)ω2+1

這是關(guān)于變量ω2的二次函數(shù)，有最小值條件是

即

在此條件下，電容器兩端的電壓的有效值達(dá)到最大，電壓的峰值也達(dá)到最大，因此發(fā)生電壓諧振.

參考文獻(xiàn)

1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè)).北京：高等教育出版社，1986.375

2 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1987.432～436

3 周紹敏.電工基礎(chǔ)(第三版).北京：高等教育出版社，2005.169

4 吳進(jìn)校.應(yīng)如何定義共振.物理通報(bào)，2003(9):12