切削顫振綜合預報函數的構建研究*

徐志明，賀 勇，孫 濤，李國平

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315200)

0 引言

切削顫振［1］是一種典型的自激振動現象，是“機床-刀具-工件”構成的閉環切削系統的動態不穩定現象，根源于切削力的異常變化。它會造成刀具與工件之間十分強烈而持續的相對振動，從而影響零件的加工質量，大大降低切削加工的質量和效率，嚴重時會破壞被加工零件，出現崩刃、加工中斷等后果，甚至會對機床產生較大的沖擊力。自從1907 年美國學者F.W. Taylor 發表第一篇有關切削顫振的文章以來［2］，人們在機床切削顫振領域做了大量的研究，主要目的是通過在線監測切削加工過程，判別切削顫振發生的征兆，然后通過減振措施抑制顫振的進一步發展。在這些研究工作中，如何建立一個快速準確的預報函數來判別切削顫振發生的征兆，對切削顫振的快速抑制十分重要。

切削顫振預報函數是基于機床切削過程中從穩定切削過渡到顫振切削的信號特征建立的識別此過程的函數。Rioulo 等提出了將不同的時頻能量信號作為切削顫振特征量建立預報函數［3］。JongMin Lee 等人將隱馬爾可夫模型應用于切削顫振的在線監測與判別，并且通過實驗驗證了切削顫振在線智能監測的預測性和準確性［4］。Taejun Choi 等運用小波參數估計法建立了一種不受切削條件影響的切削顫振參數識別法，這種參數估計法不僅具有很好的準確性和及時性，而且可以識別不同切削條件下顫振的發生［5］。呂凱波、景敏卿等自主開發了一種實用的切削顫振監測系統，通過監測數據與正常切削時建立的對比庫進行對比從而對切削顫振進行預報研究，并通過了大量實際加工的驗證［6］。胡耀斌、江涌濤等首先對切削振動信號進行小波包分解，然后對各頻帶區間內的能量進行歸一化處理，最后通過SVR 算法對能量變化進行回歸預測，預測結果基本可以反映出能量的變化趨勢，從而預測切削顫振的發生［7］?？稻?、馮長建利用自組織特征影射神經網絡對提取的特征矢量進行與分類編碼，然后基于離散隱馬爾可夫模型的模式識別理論建立了一種切削顫振的概率識別方法，并實驗驗證了可行性［8］。

本文基于切削顫振信號的方差比和自相關函數的實驗與仿真分析，提出一種以方差比和自相關函數為基礎建立的切削顫振綜合預報函數，通過實驗驗證它可以準確判別切削顫振的發生，避免偶然因素引起的過判和漏判。

1 切削顫振信號采集系統

切削顫振是刀具和零件之間的相互劇烈振動的現象，但是刀具與零件間的相對振動難以檢測，所以切削顫振信號采集系統選取能夠敏感反映切削狀態變化的刀架振動加速度信號作為切削顫振的特征信號［9］，并在一臺最大加工直徑為350mm 的C646 車床上進行顫振監測實驗，采集系統組成如圖1 所示。

圖1 中標號1 的器件是型號為8640A50 的KISTLER 加速度傳感器，可以獲取主切削方向上刀架的振動加速度，驅動電源與信號放大器采用配套的型號5134B 型一體電源與信號放大器，頻譜分析儀選用型號CF-7200FFT 幅頻分析儀，實時觀測振動信號，信號采集器運用USB 接口實時將幅頻分析儀采集到的數據輸入電腦。圖2a，2b 為穩定切削和顫振切削的典型振動信號。

圖2 穩定切削與顫振切削的振動信號

2 以切削振動信號的方差比構建顫振預報函數

從圖2 可以看出，切削過程從穩定切削到顫振切削的發展過程中，時域內的切削振動信號幅值迅速增大。信號方差可以有效反映信號幅值增大過程，所以信號方差可以作為切削顫振發生的特征量，其計算公式為:

式(1)中，xi為振動信號，n為樣本容量，為平穩切削的振動信號平均值

運用Matlab 軟件中的函數功能求解振動信號方差，每隔128 個點確定一個樣本，求得圖2 所示兩種典型切削振動信號的樣本方差，樣本方差的變化過程如圖3 所示。

圖3 穩定切削與顫振切削的信號方差

由圖3b 可以看出，切削顫振發生時振動信號方差σ2隨振動幅值增大而增大，有效反映了振動信號的幅值增大過程。但是在不同的加工條件下，切削力大小相差很大，導致穩定切削時切削振動信號的幅值也相差很大，甚至有時大切深穩定切削時的振動幅值會大于小切深顫振切削時的振動幅值，因此單獨以方差σ2構建預報函數難以確定切削顫振的判別閥值。而方差比是一個可以反映振動信號瞬時幅值相對于穩定幅值(平均幅值)增長情況的無量綱數，可以消除穩定切削的振動信號幅值變化對顫振預報函數預判閥值的影響，所以改進以方差比建立切削顫振預報函數，定義為:

圖4 顫振切削的信號方差比

對比圖4 和圖3b 可以看出，切削振動信號的方差比對幅值變化更加敏感，特別是顫振初期方差比的增長速度明顯比方差快(即0.4s～0.5s)，而且它是一個無量綱數，消除了不同切削條件下的穩定切削振動變化對顫振預報函數預判閥值的影響，所以方差比更適合作為判別切削顫振發生的時域特征量。

圖5 偶然因素產生的突變信號及其方差比

但是在實際穩定切削過程中由于一些偶然擾動因素的影響，時域內振動信號的幅值會產生突變，如圖5a 所示，這種情況會造成信號方差比也產生突變，如圖5b 所示。這種情況下，單獨以切削振動信號的方差比構建顫振預報函數會產生誤判，所以雖然切削振動信號的方差比可以反映切削顫振產生過程的時域幅值特征變化，但是單獨以信號方差比Bσ作為特征量建立的切削顫振預報函數，在預報切削顫振時不能取得很好的預測效果。

3 以切削振動信號的自相關函數構建顫振預報函數

振動信號的方差比是按照樣本的時間順序計算，而它的大小不受時間順序的影響。信號的自相關特性可以反映信號中兩個不同時刻狀態之間的關系［10］。因此，對顫振信號進行自相關性分析可以得到切削顫振發生時的振動信號頻率特征。

自相關函數是反映信號自相關特性的特征量，設振動信號兩個不同時刻的時間差為Δ，則自相關函數可表示為:

為了分析自相關函數lxx(Δ)與信號頻率的關系。首先考慮信號由單一諧波信號組成:

觀察自相關函數與信號頻率的關系，取值An =10，bn取方差為1、均值為0 的白噪聲，信號頻率an =n(n=1，2，3，…，6400)，采樣頻率取f =3200 Hz，總樣本容量N=6400，所得的信號如圖6a 所示。每隔128個點確定一個小樣本，計算每一個小樣本的自相關函數lxx(Δ)，得到計算結果如圖6b 所示。

圖6 取樣信號頻率和自相關函數的周期關系

由圖6b 可以看出，自相關函數是信號頻率的周期函數，周期是為取樣頻率。當信號頻率在信號頻率在1600Hz 內，即信號頻率在取樣頻率內時，自相關函數lxx(Δ)與信號頻率an之間為遞減關系，而在工程采樣中，為了獲取全部采樣信號的所有信息，采樣頻率一般至少取信號頻率兩倍?，F在只考慮采樣頻率大于兩倍信號頻率的情況，如圖7 所示。

圖7 信號的自相關函數

由圖7 可以看出，當采樣頻率大于兩倍信號頻率時，單一波形信號的自相關函數與信號頻率之間有確定的遞減關系。而在實際工程測試信號往往含有各種頻率成分，所以再假定振動信號包含有m種諧波成分

在多諧波信號的情況下，運用Matlab 軟件分析切削振動信號自相函數lxx(Δ)與信號主能量頻率之間的關系，用兩個余弦波模擬多個諧波中的兩個主能量頻率信號，用白噪聲模擬其他諧波，則信號可以表示為

用兩個余弦波的幅值變化模擬多諧波信號不同頻率信號的能量變化引起的信號主能量頻率改變，即信號主能量的頻率變化，觀察多諧波信號的自相函數lxx(Δ)隨多諧波信號主能量頻率的變化情況，如圖8a，8b，8c 所示。

圖8 信號自相關函數lxx(Δ)與主能量頻率的關系

第一種情況，如圖8a 所示，當信號主能量頻率從600Hz 轉移到1000Hz 時，信號自相關函數lxx(Δ)隨信號主能量頻率增大而逐漸變小;第二種情況，如圖8b所示，當信號主能量頻帶從600Hz 轉移到200Hz 時，信號自相關函數lxx(Δ)隨信號主能量頻率減小而逐漸增大;從上兩種情況可以看出，多諧波信號的主能量頻率與自相關函數lxx(Δ)與具有確定反向關系。第三種情況，如圖8c 所示，當信號的主能量頻率靠近采樣頻率的四分之一時，信號自相關函數lxx(Δ)趨向于零，此時信號自相關函數lxx(Δ)隨信號頻率的變化的趨勢不明顯，即當信號的主能量頻率在采樣頻率的附近變化時，信號自相關函數lxx(Δ)不能很好地反映信號主能量頻率的變化。

振動信號的自相關函數lxx(Δ)與主能量頻率之間具有確定的反向關系，這給我們提供了一個可以反映振動信號頻域特性的特征量。但是當信號的主能量頻率在采樣頻率的附近變化時，信號自相關函數lxx(Δ)總會趨向于零，不能很好地反映信號主能量頻率的變化，而且信號自相關函數lxx(Δ)也不能識別由于偶然因素引起的信號頻率突變，這也使得單獨以信號自相關函數lxx(Δ)建立的切削顫振預報函數，在預報切削顫振時也不能取得很好的預測效果。

4 綜合預報函數的實驗研究

單獨以方差比Bσ或者自相關函數llxx(Δ)為特征量建立切削顫振函數時，都會受到一些偶然因素的影響，從而產生誤判。因此，綜合預報函數需要綜合利用能反映切削顫振信號時域特征的方差比Bσ和頻域特征的自相關函數lxx(Δ)。首先，利用符號函數sgn1(Bσ-K)簡化時域特征量Bσ的取值，其中K相當于時域內的切削顫振閥值，當Bσ-K≥0 時，符號函數sgn1(Bσ-K)=1 ，反之，符號函數sgn1(Bσ-K)= -1 。根據大量的實驗研究，K取2.5 可以及時判別出時域內切削顫振的發生［9］。其次，雖然信號自相關函數lxx(Δ)可以反映信號主能量頻率的變化，但是不同的切削條件自相關函數lxx(Δ)的取值范圍不同，所以在建立切削顫振的頻域特征函數時，可以選用統計量的置信區間來判斷切削顫振頻特征在頻域內的變化，參考文獻［11］取置信區間為±3σl，同樣用符號函數來判斷信號頻域特征是否在置信區間內。其中l為瞬時自相關函數值lxx(Δ)，為切削系統在穩定切削狀態下計算的大量瞬時自相關函數值lxx(Δ)的平均值，σ2ell為切削系統在穩定切削狀態下計算的大量瞬時自相關函數值lxx(Δ)的方差。當l --時，符號函數，反之，符號函數;最后將兩個符號函數以2 的指數形式轉化到正值域，并將它們相乘建立切削振動信號的方差比和自相關函數的綜合預報函數，其定義為:

因此綜合預報函數就簡化為一個0.25、1 和4 的階梯函數，當穩定切削時，方差比Bσ比較小，則Bσ-K＜0 ，時域特征量2sgn1(Bσ-K)=0.5 ，同時信號的主頻帶比較穩定，則自相關函數lxx(Δ)在置信區間內，則頻域特征量2sgn2(l-ˉl-1.96σl)=0.5 ，則預報函數值為Y =0.25 ;如果由于偶然因素導致系統振動突然幅值增加，則可能會導致Bσ-K≥0 ，時域特征量2sgn1(Bσ-K)=2 ，然而只要頻域特征量不受影響，仍然為0.5，預報函數值B =1 ，另外對于偶然因素導致系統頻率突變也是一樣，只要時域特征量和頻域特征量不同時變化，預報函數值最大為1;當發生切削顫振時，時域內振動幅值肯定會迅速增大，從而使Bσ-K ＞0 ，頻域特征量增大到2，頻域內顫振信號的主能量頻率會從高頻段向低頻段轉移，而由前面分析可得信號自相關函數lxx(Δ)會隨之變大，從而使得自相關函數lxx(Δ)超出置信區間，則l --1.96σ2l ＞0 ，頻域特征量增大到2，這時預報函數值為4，所以綜合預報函數值為:

為了驗證綜合預報函數的顫振預報性能，將采集的切削顫振信號作為綜合預報函數的輸入值，輸出預報函數判別值。如圖9a 和圖9b 所示分別為部分振動加速度信號和綜合預報函數的判別值。

圖9 綜合預報函數的實驗結果

對比圖9a 和圖9b 可以看出，以方差比和自相關函數建立綜合預報函數可以準確判別切削顫振的發生，減少偶然因素引起的誤判。

5 結論

(1)研究表明方差比和自相關函數能分別反映切削顫振發生時的時域征兆和頻域征兆，但是單獨以一個特征量建立切削顫振預報函數，都難以排出偶然因素引起振動幅值或者信號頻率突變造成的過判和漏判。

(2)本文以切削振動信號的方差比和自相關函數為基礎，定義了一個綜合利用切削振動信號的方差比和自相關函數的階梯函數作為切削顫振綜合預報函數，并通過實驗結果證明它可以準確判別切削顫振的發生，減少偶然因素引起的過判和漏判。

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