刀具切削刃鈍圓半徑的圖像測量法*

曾志偉，蔣代君

(西華大學 機械工程與自動化學院，成都 610039)

0 引言

機械加工中，刀具切削刃鈍圓半徑對切削力、應力分布、刀具磨損、能耗以及成品表面粗糙度等有重要影響［1-4］。切削刃鈍圓半徑的精確測量成為影響加工質量和效率的重要因素。三坐標測量儀是一種傳統的測量工具，具有價格昂貴、操作復雜的弊端。隨著計算機技術的發展，數字圖像處理在刀具測量領域已得到越來越多的應用。其中的邊緣檢測和刃口曲線計算對系統測量精度最為重要。

一些經典算子可用于邊緣檢測，如Roberts、Sobel、Prewitt、Laplacian、LoG 和Canny 算 子 等［5-6］。Roberts算子邊緣定位較準確，但不具備噪聲抑制力。Sobel 和Prewitt 算子邊緣定位較準確且有一定的噪聲抑制力，但容易檢測到多像素邊緣。Laplacian 算子能準確定位階躍型邊緣，但容易檢測到不連續邊緣，噪聲抑制力差。LoG 和Canny 算子具有較強的噪聲抑制力，但同時也將尖銳邊緣平滑掉。實際的圖像總含有噪聲且灰度遞變地并不劇烈，上述算子難以得到連續單像素邊緣，更不能實現邊緣的亞像素級定位，所以不適用于刀具的精確測量。為此，Lim 等［7］提出在包含邊緣的感興趣區域(Region of Interest，ROI)，沿近似的梯度方向提取像素，擬合灰度曲線，在灰度函數一階導數曲線上準確定位邊緣點的方法，有效提高了切削刃鈍圓半徑測量精度。但該方法沒有充分利用邊緣附近灰度等值線分布規律，對梯度方向的近似計算還不夠準確。對于刃口曲線計算，如今多數方法都是直接采用檢測到的圓弧部分邊緣點擬合刃口曲線。這些方法沒有考慮到刀具直線段和圓弧段刃口曲線相切的幾何關系［8-9］，圓弧段刃口曲線擬合精度不高，切削刃鈍圓半徑測量誤差較大。文中將給出改進的邊緣檢測和含約束條件的刃口曲線計算方法，并在實際測量中驗證邊緣檢測的準確性和切削刃鈍圓半徑的測量精度。

1 材料和方法

1.1 實驗

實驗選用辦公掃描儀采集刀具圖像。它在運行時提供較為理想的光照條件，采集的圖像質量穩定，最大輸出分辨率為12800dip。刀具選用三角形銑刀片，其鈍圓半徑為0.4mm。圖1a 是采集的刀具圖像，圖1b是其中一個刀尖。

圖1 掃描儀采集的刀具圖像

為了獲取測量系統采集的圖像中一個像素的實際尺寸，需要對掃描儀進行標定。標定精度對測量精度有直接影響。實驗采用標準量塊標定掃描儀，其制造精度在0.0005mm 以下。經計算，系統標定系數為1.9554 ×10-3mm/pixel。

實驗中刀具切削刃鈍圓半徑測量方法見圖2，其實現工具為Visual Studio 2010。

圖2 刀具切削刃鈍圓半徑測量方法

1.2 定義ROI

由于不均勻光照和刀具表面存在的污垢會使采集的圖像變得模糊，所以首先對刀尖原始圖像進行中值濾波。中值濾波不僅能去除圖像噪聲，也能較好地保持邊緣特性［10］。

邊緣是背景和刀具區域的分水嶺，邊緣附近梯度大于背景和刀具區域梯度(見圖3b)，將邊緣附近梯度較大的區域定義為ROI。顯然，ROI 以外的梯度信息與邊緣檢測無直接關系，ROI 內梯度信息能完整反映邊緣附近灰度遞變情況，所以將邊緣檢測的范圍限制在ROI 內。這不僅能節省計算時間，而且由于ROI 邊界大致平行于刀具邊緣，這在邊緣檢測時會很有用。為得到ROI，首先從背景中分離出刀具。因為掃描儀內置LED 光源提供了較好的光照條件，刀具背景灰度變化較小，采用Otsu 閾值分割效果較好。對閾值分割圖像(見圖3a)分別進行形態學腐蝕和膨脹，刀具邊界收縮、擴張形成新的邊界Be、Bd。用鏈碼技術跟蹤Be、B［11］d，則二者之間的區域就是ROI (見圖3b)。

圖3 包含刀具邊緣的ROI

1.3 計算邊緣檢測方向

設g(x，y)為灰度函數。如圖4a 所示，在Be上取點O，作垂線OP。由于ROI 內灰度等值線大致平行于Be，OP大致垂直于OP方向的灰度等值線，所以OP方向可近似作為該方向上各像素(如P1、P2、P3)的梯度方向，從O點開始、g(x，y)沿OP方向的灰度變化率最快。同理，可將Be上其他像素的法線方向近似作為該法線方向上各像素的梯度方向。刀具邊緣附近灰度在梯度方向遞變地最劇烈。

圖4 計算ROI 內像素近似梯度方向

為計算邊緣檢測方向、即梯度方向，Lim 等采取的方法是，將刀具圖像分割成幾部分，此時各部分中Be、Bd上像素數量相差不大，然后將各部分的Be、Bd上像素按順序配對，并把配對像素的連線方向近似作為該方向上各像素的梯度方向。該方法有兩點不足:①Be、Bd上配對像素的連線方向不一定垂直于ROI 邊界，也就不一定垂直于灰度等值線，所以對梯度方向近似的準確度不夠高;②ROI 直線段內各像素的梯度方向都可以近似成同一方向、即該段ROI 邊界Be的法線方向，Lim 等的方法會造成重復計算。

本文以Be上像素的法線方向近似該法線方向上各像素的梯度方向。如圖4b 所示，采用改進的Hough變換［12］，檢測Be左、右部分直線la、lb，計算la、lb夾角平分線lm，lm與Be交于點G。在角平分線上找到點H，使H到la的距離等于GH。過H作la、lb的垂線，兩條垂線分別與Be交于D、F，此時ROI 由D、F分成三部分。ROI 直線部分某像素的梯度方向就是la或lb的法線方向，圓弧部分某像素梯度方向為此像素與H的連線方向。顯然，ROI 直線段內各像素的梯度方向只需計算一次，且由于ROI 邊界大致平行于灰度等值線，所以對梯度方向近似的準確度也比較高。

1.4 檢測邊緣

為檢測刀具邊緣，設灰度函數:

則

式中:f(a0，…，a5)—目標函數;

Gi—第i個像素的灰度;

Ri—第i個像素與起始像素間的距離。

式(1)的最優解就是g(r)的參數。如圖5a 所示，在Be上取點Q并沿其e1方向提取像素，由(1)式擬合灰度曲線并計算灰度變化率曲線，結果見圖6 中曲線1 和曲線2。那么，所得到的e1方向灰度變化率極大值點E1(見圖5b 和圖6 的點5)是不是邊緣點呢?如果E1是邊緣點，則E1也必定是過E1垂直于刀具邊緣方向(e2方向)上的灰度變化率極大值點。為此，過E1作Be垂線，沿垂足V的e2方向提取像素(見圖5a)，擬合灰度曲線并計算灰度變化率曲線，結果見圖6 中曲線3 和曲線4。計算表明，e2方向灰度變化率極大值點是E2(見圖5b和圖6 的點6)，所以E2才是準確的邊緣點。雖然此例中E1僅偏離邊緣點E2約0. 6 個像素，但若提取像素的方向更為偏離梯度方向，邊緣點的計算誤差會更大。所以，沿梯度方向才能檢測到準確的邊緣點。

圖5 沿e1、e2 方向檢測邊緣

圖6 e1、e2 方向的灰度曲線及灰度變化率曲線

1.5 計算刃口曲線

在計算刀具刃口曲線前，采用Be的分段方法，將邊緣點分成直線組和圓弧組。

在刀具的設計和加工中，為方便制造、測量和檢驗，常用圓弧和直線的組合代替刃口曲線，此時要保證直線與圓弧之間光滑連接。但通常的刀具刃口曲線計算方法并未將此考慮在內，都是直接利用圓弧組邊緣點擬合刃口曲線方程。這些方法的不足，一是圓弧組邊緣點較少，擬合的刃口曲線精度不高;二是沒有充分利用直線組邊緣點。所以，在擬合圓弧段刃口曲線時，提出如下約束條件:

(1)刀具圓弧段刃口曲線圓心處于兩條直線段刃口曲線形成的刀尖角的角平分線上。

(2)刀具圓弧段刃口曲線半徑等于圓心到兩條直線段刃口曲線的距離。

設刀具直線段刃口曲線l1、l2的方程為:

則

式中:f(k1，b1)—l1的目標函數;

f(k2，b2)—l2的目標函數;

(Xi，Yi)—l1第i個邊緣點坐標;

(Xj，Yj)—l2第j個邊緣點坐標。

式(4)的最優解就是l1、l2的參數。設l1、l2相夾的刀尖角的角平分線l3的方程為:

l3的參數由l1、l2的方程聯立解出。設刀具圓弧段刃口曲線c的方程為:

則

式中:f(a，b，r)—c的目標函數;

(Xi，Yi)—c的第i個邊緣點坐標;

h1(a，b)—約束條件(1)對應的函數;

h2(a，b，r)—約束條件(2)對應的函數。

式(7)的最優解就是c的參數，由此可得刀具切削刃鈍圓半徑。

2 結果和討論

測量刀具切削刃鈍圓半徑時，先將(7)式中的約束條件去掉、直接用圓弧組邊緣點擬合刃口曲線，再以本文提出的約束條件擬合刃口曲線，相關結果見表1。無約束圖像測量誤差為7%，測得的切削刃鈍圓半徑普遍偏小，故系統誤差較大，測量準確度較低。有約束圖像測量誤差為0.5%，測得的切削刃鈍圓半徑比較集中和均勻地分布在0.4mm 附近，故系統誤差和隨機誤差均小，測量的準確度較高。

表1 刀具切削刃鈍圓半徑的測量結果

無約束圖像測量誤差偏大的原因是，圓弧組邊緣點僅占完整圓周的小部分，較大的數據噪聲會影響圓心的定位和半徑的計算精度［13-14］。設c的圓心到l1與l2的距離分別為d1、d2。理論上，d1=d2=r= 0.4mm。如圖7 所示，實驗中的d1、d2大于r，說明c和l1、l2無交點。d1與d2差值顯著，說明c的圓心明顯偏離角平分線l3。d1、d2小于0.4mm，說明c的圓心離l1、l2過近，所以切削刃鈍圓半徑測量值偏小。可見，用較少的數據無約束擬合c，c圓心的定位和半徑的計算精度并不高。利用刀具直線段和圓弧段刃口曲線相切的幾何關系，對圓心和半徑進行約束，可顯著提高圓心的定位和半徑的計算精度。這種方法在測量新刀具時效果較好。

3 結論

(1)刀具ROI 邊界像素法線方向可以比較準確地近似該法線方向上各像素的梯度方向。沿近似梯度方向提取像素，可以擬合一條變化率最快的灰度曲線，從而可在相應的灰度變化率曲線上精確定位邊緣點。

(2)以刀具直線段和圓弧段刃口曲線相切作為約束條件，最優化擬合圓弧段刃口曲線，使切削刃鈍圓半徑的測量誤差從不加約束的7%減小到加入約束的0.5%。改進的刃口曲線計算方法可以顯著提高切削刃鈍圓半徑的測量精度。

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