基于PSO-NP 機械加工尺寸的PI 型廣義預測控制*

李國龍，李國勇

(太原理工大學 信息工程學院，太原030024)

0 引言

機械加工通過對工件的幾何參數進行改造能夠有效的提高社會生產效率從而產生更大的經濟效益，因此研究機械加工尺寸的預測控制顯得尤為重要。機械加工過程中對加工尺寸進行檢測和控制能夠有效的保證零件加工尺寸的精度，其首要條件是建立適當的模型對加工尺寸的變化情況進行準確的描述和預測，而通過廣義預測控制中的多步預測，使系統根據以往尺寸的輸入，輸出數據和已選定的未來尺寸輸入值，不斷的預測未來尺寸的輸出值從而克服系統的不確定性以及增強系統的魯棒性。但是GPC 中所選的參數與工程實際要求的指標聯系不夠緊密，并且對于隨機突發的干擾不能達到實時的控制效果。PI 型廣義預測控制能夠有效提高實時跟蹤性，改善系統的控制品質，結合兩種控制技術的優勢可以產生控制效果更加符合實際要求的PI 型廣義預測控制。然而加工過程中各種因素的機理非常復雜，并且加工過程受到很多實際條件的約束，在控制系統中存在了約束，勢必會對控制量求解帶來難度，使問題復雜，計算量加大，影響了算法的性能，再加之PI 型廣義預測控制的比例因子和積分因子整定比較困難，所以對其參數整定就有十分重要的意義。文獻［2］利用遺傳算法優化整定PI 型廣義預測控制的參數，但并沒有考慮實際尺寸加工過程對控制作用的約束，文獻［3］在PI 型廣義預測控制的基礎上，使用lagrange 乘子法處理PI 型廣義預測控制輸入輸出的約束條件，但并沒有考慮PI 型廣義預測控制參數整定困難的問題。本文在PIGPC 算法的基礎上引入MATLAB 最優工具箱中求解非線性規劃問題的fmincon 函數處理機械加工尺寸過程中的約束條件，再通過粒子群算法對其比例因子和積分因子進行優化整定，并通過MATLAB 仿真實驗從而獲得更有效的控制策略，從而提高加工零件的質量。

1 加工尺寸的建模和預測

1.1 確定目標函數

預測控制中的預測模型是一個基礎的模型，主要是被用來描述系統的動態變化。將通過在線測量獲得的加工尺寸數據序列作為一個時間序列，采用適當的在線建模方法建立起相應的模型，該預測模型能夠根據系統以往的加工尺寸數據預測出之后的尺寸數據。該預測模型將PID 的反饋結構和GPC 的預測功能相結合，其設計基于下面的CARMA 模型。

A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)分別是na、nb和nc階的z-1的多項式;y(k)、u(k)和ω(k)分別表示尺寸輸出、輸入和噪聲序列;Δ=1- z-1;

式中

PI 型廣義預測控制所采用的目標函數為:

其中，{yr(k + j)}是設定的尺寸輸出值;{y∧(k +j)}為預測向前第j步的尺寸預測值，Nμ表示輸出控制時域，輸出的預測時域為Ny;λ＞0 為控制加權因子，Kp，Ki為比例因子及積分因子。

在目標函數中加入后一項為了使過于劇烈的控制增量得到壓制，其目的是為了避免系統超出限制范圍并且抑制劇烈振蕩。

為了獲得尺寸輸出y(k)的向前多步預測值，求解如下丟番圖方程:

其中j =1，2，…，N，系數項Ej、Fj、Gj、Hj都是Z-1的多項式。

由式(1)、(3)可求得k +j時刻尺寸預測值的輸出為:

式中，GNy中Z-1項的系數為gi。

目標函數式(2)的向量形式為:

式(6)中，

1.2 帶約束條件的控制律的求解

1.2.1 控制對象的約束條件

在實際生產中對于尺寸的輸入輸出有一定的限制，一般主要有如下三種約束情況，即控制增量約束，控制量約束和輸出約束。

控制量增量約束:

控制量幅值約束:

輸出量約束:

上式中，

帶約束條件的PI 型廣義預測控制問題，可以歸結為在滿足(7)，(8)，(9)三個約束條件下，使目標函數(6)達到最小。

1.2.2 非線性規劃

非線性規劃中的目標函數和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數，其主要研究一個n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題。因此上述問題可以轉化為求解非線性規劃問題進而求得目標函數(6)在約束條件下的最小值，進而求得帶約束的PI 型廣義預測控制的控制律。

非線性規劃的形式可以表達如下:

其中，設計變量x =［x1，x2，…xn］T是n維歐式空間Rn的向量，f(x)為(6)式中的目標函數，hi(x)=0，gj(x)≤0 為式(7)，(8)，(9)的約束條件。

求解該非線性規劃問題，通過使用MATLAB 最優化工具箱中的fmincon 函數，其搜索在約束條件下非線性多元函數的最小值是從一個預估值開始的。其形式可以表示如下:

上式中，x、b、beq、lb和ub是矢量;A和Aeq為矩陣;c(x)和cep(x)返回矢量的函數;f(x)、c(x)和cep(x)是非線性函數。

2 基于粒子群算法的約束PI 型廣義預測控制參數整定

帶約束的PI 型廣義預測控制存在著比例因子、積分因子整定的困難，所以對其參數優化整定顯得非常重要，在計算智能領域，粒子群算法是一種針對群體的智能優化算法。該算法通過個體之間的協作來尋找最優解的進化計算技術，用于解決復雜系統的優化問題，算法簡單且容易實現。該算法最早是在1995 年由Kennedy 和Ebennedy 共同提出的，其主要是根據人工生命和演化計算理論。PSO 算法是通過觀察鳥類的捕食行為發現，鳥通過跟蹤其周圍有限數量的同伴從而使整個鳥的群體保持在一個中心控制范圍中，其表明簡單規則的相互作用可以引起復雜的全局行為。鳥類只有在離食物最近的鳥的附近范圍內尋找才能最快速的找到食物。PSO 算法就是根據鳥類尋找食物的方法得到的啟發，依次來解決求解最優解的問題，算法中每個粒子都有可能解決這個問題，并且每個粒子的適應度值都是由適應度函數決定的。其中粒子的速度決定粒子的距離和移動方向的，根據其他粒子的移動經驗該速度不斷的進行動態的調整，從而使個體粒子在整個可解空間中尋求到最優解。

粒子群算法初始化的一群粒子中每個粒子的特征是用位置，速度和適應度值三個指標表示的，粒子的優劣是由適應度值的好壞決定的，適應度值的求解是通過計算適應度函數得到的?？臻g中粒子的運動，更新個體極值位置時取決于個體極值Pbest和群體極值Gbest。個體極值Pbest表示個體有經歷的所有位置中最優的那個位置。粒子每變化一次位置要通過適應度函數計算一次該位置的適應度值，而為了獲得個體極值Pbest及群體極值Gbest的位置，可以通過將新粒子的適應度值和個體極值，群體極值的適應度值做比較得出。粒子就是根據這兩個極值不斷更新自己的速度和位置。

式中，w為慣性權重;d =1，2…，D;D表示一個粒子的總維數，根據具體的優化問題而定;i =1，2，…，n;n表示粒子的總個數;n為當前迭代次數;Vid為粒子的速度;c1，c2是非負的常數，稱為加速度因子;r1，r2是分布于［0，1］區間的隨機數。為降低粒子搜索的盲目性，一般將其位置和速度限制在一定的區間［- Xmax，Xmax］。

2.1 慣性權重的選取

慣性權重體現的是粒子繼承先前速度的能力，Shi.Y 指出較大的慣性權值能夠獲得較好的全局搜索能力，而要想獲得較好的局部搜索則需要較小的慣性權值［8］。為了使算法同時具有較強的局部搜索能力和全局搜索能力，線性遞減慣性權重被提出，即:

其中，初始慣性權重為wstart;wend為迭代至最大次數時的慣性權重;k為當前迭代代數;Tmax為最大迭代代數。通常而言，慣性權值wstart =0.9 ，wend =0.4 時算法性能最好。這樣，隨著迭代的進行，慣性權重由0.9 逐漸遞減至0.4，迭代初期較大的慣性權重是為了使算法的全局搜索能力較強，為了獲得更加精確的局部搜索能力可以使迭代后期的慣性權重較小。

2.2 適應度函數的選取

應用粒子群算法整定帶約束條件的PI 型廣義預測控制問題歸根到底是一個優化問題，是通過求Kp，Ki從而求得目標函數(6)的最小值，故采用目標函數(6)做為PSO 算法的適應度函數。

2.3 參數整定的算法實現

PI 型廣義預測控制在實際應用中存在著復雜多樣的約束條件，只有當目標函數可微時，才能求解約束的二次規劃，且只能獲得局部最優解。而PSO 算法不要求目標函數以及約束條件可微，便能快速的求得全局最優解，所以將PSO 算法與具有PI 廣義預測控制相互結合，能夠很好的解決在約束條件下被控對象很難獲得準確參數以及收斂速度慢的問題。

粒子群算法整定帶約束的PI 型廣義預測控制的比例因子、積分因子算法如下:選取性能指標式(6)為PSO 算法的適配值評價函數;比例，積分因子Kp，Ki可認為是PSO 算法的尋優目標;粒子的種群為待求解的集合;根據PSO 算法的原理，首先初始化粒子的位置和速度，評價每個粒子的適配值，得到個體最優值Pbest和種群的最優值Gbest和此時粒子的位置，利用式(10)、(11)對粒子位置Xt和慣性權值w進行迭代更新，并重新計算每個粒子的適配度值。如果滿足算法的結束條件，具有最小適配值的粒子的位置就是所要求最佳Kp，Ki。

該算法的流程圖如下:

圖1 PSO 算法優化參數流程圖

3 基于PSO-NP 機械加工尺寸的PI 型廣義預測控制

首先獲得m(視具體情況取值)個加工尺寸檢測數據，，加工開始后對式(3)中的參數進行非線性最小二乘估計，然后按式(4)求取y∧(k +j)，之后每增加一個數據，進行一次上述過程，從而得到各時刻超前j步預測的加工尺寸數據序列;當所得的數據量達到m(視具體情況取值)時，每次新得一個尺寸數據就丟棄一個最老的數據，使在線預測的數據量始終為m。為了將控制性能的指標達到最優，通過非線性規劃處理機械尺寸預測過程中輸入輸出的約束條件，再通過粒子群算法對該算法中的參數Kp，Ki進行優化整定。其整個算法的流程圖如下:

圖2 PSO-NP 優化PI 型廣義預測控制

4 仿真研究

選取仿真的機械加工系統為:y(k)=0.3y(k -2)+0.3y(k -2)u(k -2)+0.5u(k -1)，帶約束的廣義PI 廣義預測控制的預測長度Ny =3，控制長度Nu =2，控制加權系數λ=1，初始比例、積分因子Kp =9，Ki =3，設置對象的輸入輸出為的約束為-0.3 ≤Δu(k)≤0.3，-1≤u(k)≤1，0 ≤y(t)≤2.5;粒子群算法整定Kp，Ki，學習因子c1= c2=2，慣性權重根據式(12)確定。

仿真結果如下:

圖3 PSOPIGPC 與GAPIGPC 優化參數后對比輸出

圖4 未對算法中參數進行優化整定的仿真

圖5 對參數進行優化整定后的本文算法仿真

通過圖3 的仿真結果可以看出，用粒子群算法取代文獻［2］中的遺傳算法優化參數，可以有效減少系統的超調，縮短調整時間，從而達到更好的控制效果。通過圖4 和圖5 中輸出量跟蹤曲線的比較可以看出，本文算法相比于文獻［3］中未對參數進行優化的算法具有更好的跟蹤性能和適應能力，輸出的波動更小，通過圖4，圖5 中控制量曲線的對比，對帶約束的PI 型廣義預測的參數進行優化整定后，控制量變化更加緩和并且減少了因模型失配引起的控制量振蕩。

5 結束語

本文將工程中廣泛應用的PI 控制技術與廣義預測相結合應用到機械尺寸加工過程中，通過粒子群算法對其進行參數的優化整定從而達到良好的控制效果，通過仿真可以看出本文算法能夠更加保證零件的加工質量，且本文算法策略便于實施，可應用于數控機床或自動化生產線上。

［1］李國勇. 智能預測控制及其MATLAB 實現(第2 版)［M］.北京:電子工業出版社，2010.

［2］仉寶玉.肖軍.基于GA 參數優化整定的PI 型廣義預測控制［J］.科學技術與工程，2011，11(2):367 -370.

［3］滕達，于佐軍，趙繼偉.帶約束的PI 型廣義預測控制［J］.青島科技大學學報，2012，33(5):495 -499.

［4］陳進東，王鮮芳，潘豐. 基于PSO 滾動優化的LS-SVM 預測控制［D］. 無錫:江南大學，2009.

［5］李明.詳解MATLAB 在最優化計算中的應用［M］.北京:電子工業出版社，2011.

［6］張強，李少遠.基于遺傳算法的約束廣義預測控制［J］.上海交通大學學報，2004，38(9):1562 -1566.

［7］楊春，李國勇.基于RBF 神經網絡的PI 型廣義預測控制［D］.中國科技論文在線，2013.

［8］徐青鶴，劉士榮，呂強. 一種改進的粒子群算法［D］. 杭州:杭州電子科技大學自動化研究所，2008.

［9］李旭芳，王士同. 一種自適應粒子群算法［D］. 無錫:江南大學，2009.

［10］龔立雄，萬勇，侯智，等.基于雙隱曾L-M 算法的BP 神經網絡機械加工誤差預測控制模型［D］. 重慶:重慶理工大學，2013.