淺談不等式的交匯題型

陳懷平

【摘 要】不等式作為高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有應(yīng)用廣泛、變換靈活、知識(shí)綜合能力要求較高的特點(diǎn)。不等式問(wèn)題在近幾年的高考題中占有相當(dāng)?shù)谋戎亍１疚耐ㄟ^(guò)近幾年的高考試題，簡(jiǎn)單的介紹下不等式與集合、邏輯、函數(shù)、向量、方程、立體幾何交匯的方式，充分體現(xiàn)出不等式的工具性作用。

【關(guān)鍵詞】不等式；交匯

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，它是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反映了事物在量上的區(qū)別，所以說(shuō)不等式是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是研究數(shù)量大小關(guān)系的必備知識(shí)，也是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)和工具。從近幾年高考試題綜合分析來(lái)看，大致分為四類：解不等式問(wèn)題，求最大值、最小值問(wèn)題以及求參數(shù)的取值范圍，不等式的證明問(wèn)題，不等式的應(yīng)用問(wèn)題。這些試題不僅考察了不等式的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，而且有效地考察了考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和方法去分析問(wèn)題和解問(wèn)題的能力。筆者結(jié)合近幾年的高考試題，粗略地談?wù)劜坏仁降慕粎R問(wèn)題的幾種類型。

一、不等式與集合交匯

例：設(shè)常數(shù)a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}B={x|x≥a-1}若A∪B=R ，則a的取值范圍是 （2013上海高考）

解：當(dāng)a>1時(shí)A=（-∞，1]∪[a，+∞） ，B=[a-1，+∞）

若A∪B=R ，則a-1≤1

∴1

當(dāng)a=1時(shí)A=R 此時(shí)A∪B=R

當(dāng)a<1時(shí) A=（-∞，a]∪[1，+∞） ，B=[a-1，+∞）

若A∪B=R，則a-1≤a ，顯然成立

∴a<1

綜上所述 a的取值范圍是（-∞，2]

二、不等式與簡(jiǎn)易邏輯交匯

例：設(shè)x∈R，則“”是“2x2+x-1>0”的 條件（2012天津高考）

解：不等式2x2+x-1>0的解是或x<-1

所以是“2x2+x-1>0”成立的充分不必要條件

三、不等式與函數(shù)交匯

例：已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）>x 的解集用區(qū)間表示為 .

解：做出f（x）=x2-4x （x>0）的圖像，如下圖所示。

由于f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱做出x<0的圖像。

不等式f（x）>x，表示函數(shù)y=f（x）的圖像在y=x的上方，

觀察圖像易得：解集為（-5，0） ∪（5，﹢∞）.

四、不等式與方程交匯

例：設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2-kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則

m+k的最小值為 （2011重慶高考）

解：設(shè)f（x）=mx2-kx+2=0，則方程mx2-kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根等價(jià)于，因?yàn)閒（0）=2，所以f（1）=m-k+2>0，故拋物線開(kāi)口向上，于是m>0，00，得k≥3，則，所以m至少為2，但k2-8m>0，故k至少為5，又，所以m至少為3，又由m>k-2=5-2，所以m至少為4，……依次類推，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=6，k=7時(shí)，m，k首次滿足所有條件，故m+k的最小值為13

五、不等式與向量交匯

例：若平面向量 滿足 ，

則 的最小值是

解：由向量的數(shù)量積知

故 （當(dāng)且僅當(dāng)<> =π時(shí)等號(hào)成立）

由得

（當(dāng)且僅當(dāng) <> =π時(shí)取等號(hào)）

故的最小值是

六、不等式與立體幾何交匯

例：如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）.

當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大。

解：在如圖1所示的△ABC中，設(shè)BD=x（0

由AD⊥BC，∠ACB=45°知，△ADC為等腰直角三角形，所以AD=CD=3-x.

由折起前AD⊥BC知，折起后（如圖2），AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC=D，

所以AD⊥平面BCD.又∠BDC=90°，所以.

于是

，

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)x=1，即BD=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大

以上是筆者對(duì)于不等式在高考中的交匯類型做的簡(jiǎn)單歸納，在不等式的學(xué)習(xí)中，不僅要注意不等式這一章縱向的聯(lián)系，更應(yīng)重視不等式與其他章節(jié)的橫向聯(lián)系，加強(qiáng)化歸思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練，要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用，高考中各方面都有可能涉及不等式的知識(shí)，以利于高考選拔功能的充分發(fā)揮，因此在學(xué)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘山.《高考備考工具書(shū)》.遼寧教育出版社，2010年3月

[2]胡磊.基本不等式的交匯問(wèn)題.《中學(xué)課程輔導(dǎo)》，2011年第4期