二階常微分方程邊值問題正解的存在性與唯一性

劉 艷

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

二階常微分方程邊值問題正解的存在性與唯一性

劉 艷

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

本文利用偏序集上的不動點定理，證明一類二階常微分方程邊值問題正解的存在性，通過對格林公式的分析獲得了唯一性結果。

邊值問題；偏序集；正解；唯一性

我們將研究如下的二階常微分方程多點邊值問題：

u″+f(t,u)=0,0

(1)

αu(0)-βu′(1)=0,γu(0)+δu′(1)=0.

(2)

其中，α,β,γ,δ≥0，且αγ+αδ+γδ>0.

關于二階多點邊值問題，最早是1987年由Il’in和Moiseev開始研究的，受Bitsadze和 Samarskii關于非局部的線性橢圓邊界值問題的工作的啟發，他們研究了二階線性微分方程的多點邊值問題，因為在理論和實際應用中，二階非線性微分方程的多點邊值問題更有意義.之后有許多數學家都圍繞二階非線性常微分多點邊值問題進行研究，其研究方法主要是使用不動點理論[1-4].雖然一些作者已經證明出關于非線性二階多點邊值問題解的存在性和多解性，但是對于多點邊值解的存在性和唯一性的結果相對較少. 因此，本文運用偏序集上的不動點定理研究二階多點邊值問題(1)和(2)，以獲得其正解的存在性和唯一性的結果.最近關于偏序集上的不動點定理見文獻[5-9].

1 預備引理

定理1.1[9]設(E,≤)是偏序集，在E中存在一個度量單位d，則(E,d)是一個完備的度量空間。假設E滿足下列條件：

如果{xn}在E中為一個單調非增數列，且xn→x， 那么xn≤x,?n∈N.

(3)

如果我們考慮(E,≤)滿足下面條件：

由于x和y是可以比較的，根據x,y∈E且存在z∈E.

(4)

定理1.2[5]假設定理1.1的條件和(4)成立，則得到邊值問題正解的唯一性.

這里

(5)

x,y∈C[0,1]，x≤y?x(t)≤y(t)，t∈[0,1].

2 主要結論及其證明

定理2.1 假設下列條件成立：(C1)當f(t,u(t))≠0，其中t∈Z?[0,1]，μ(z)>0(μ指的是測度)時，那么f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是關于第二個變量的單調非增的連續函數；(C2)當u，v∈[0,+∞)，且μ≥v，t∈[0,1]時，存在0<λ

由條件(C1)可知F(K)?K.最后將驗證滿足定理1.1和定理1.2所有的條件.

一方面，當u，v∈K且u≥v時，由條件(C1)可知

另一方面，當u≥v時，由條件(C2)可知

由于函數g(x)=ln(x+1)單調非減，從而可知

由定理1.1可知，問題(1)～(2)至少有一個正解.由于(K,≤)滿足條件(4)，則由定理1.2可知問題(1)～(2)具有唯一的正解.

[1]Z.Bai,Z.Du.Positive solutions for some second-order four-point boundary value problems[J].J. Math. Anal. Appl.,2007,330:34-50.

[2]E.R.Kaufmann,N.Kosmatov.A second order singular boundary value problem[J]. Compu.Math.Appl.,2004,47:1317-1326.

[3]C.P.Gupta.Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a second order ordinary differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1998,168:540-551.

[4]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南:山東科學技術出版社,1985.

[5]Nieto,J.J.,Rodríguez-López,R.:Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations[J].2005(22):223-239.

[6]Nieto,J.J.,Rodríguez-López,R.:Fixed point theorems in ordered abstract spaces[J].Proc.Am. Math.Soc.,2007, 135(8):2505-2517.

[7]Podlubny.I.Fractional Differential Equations[J].Mathematics in Sciences and Engineering.Academic Press, San Diego,1999,198.

[8]O’Regan,D.,Petrusel.A.:Fixed point theorems for generalized contractions in ordered metric spaces[J].J. Math. Anal.Appl.2008,341:1241-1252.

[9]Harjani,J.,Sadarangani.K.:Fixed point theorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets[J]. Nonlinear Anal.2009,71:3403-3410.

Existence and Uniqueness of Positive Solutions to the Multi-point Boundary Value Problems of Second- Order Ordinary Differential Equations

LIU Yan

(Suzhou Higher Infant Normal School，Suzhou Jiangsu 215008，China)

In this paper, we will study the existence of positive solutions for second order ordinary differential equation boundary value problem by using the fixed-point theorem in partially ordered sets. And through the analysis of Green’s formula the uniqueness is obtained.

boundary value problems; partially ordered sets; positive solution; uniqueness

2014-03-20

劉 艷(1977- )，女，江蘇蘇州人，蘇州高等幼兒師范學校高級講師，從事應用數學研究。

O175

A

2095-7602(2014)04-0001-03